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[[Datei:01 Dreieck, 1. Fermat-Punkt-1.svg|rahmenlos|rechts|hochkant=1.5|Erster Fermat-Punkt]]
Der '''erste Fermat-Punkt''' und der '''zweite Fermat-Punkt''', benannt nach dem [[Frankreich|französischen]] Richter und [[Liste von Mathematikern|Mathematiker]] [[Pierre de Fermat]], gehören zu den [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|besonderen Punkten]] eines [[Dreieck]]s. Der erste Fermat-Punkt ist derjenige Punkt, für den die Summe der Abstände zu den drei Eckpunkten minimal ist.

Beide ''Fermat-Punkte'' sind [[Isogonal konjugierte Punkte|isogonal konjugiert]] zu den beiden [[Isodynamischer Punkt|isodynamischen Punkten]]. Sie liegen auch auf der [[Kiepert-Hyperbel]]. In der einschlägigen Literatur wird der wesentlich bekanntere ''erste Fermat-Punkt'' meist als ''Fermat-Punkt'' bezeichnet.

== Geschichte ==
Es war vermutlich das Jahr 1646, als Fermat das Manuskript „MAXIMA ET MINIMA“ verfasste,<ref>{{Internetquelle |autor=Pierre de Fermat |url=https://quod.lib.umich.edu/cache/a/b/r/abr8792.0001.001/00000201.tif.20.pdf#page=1&zoom=auto,-14,67 |titel=Œvres de Fermat. Tom Premier. Œvres math ́ematiques diverses. — Observations sur Diophante. |titelerg=MAXIMA ET MINIMA |hrsg=Universität Michigan Library Digital Collections |seiten=153 |datum=1841 |format=PDF |abruf=2019-09-08}}</ref> indem er an die Gelehrten seiner Zeit die folgende Aufgabe stellte:<ref name="Eckhardt">{{Internetquelle |autor=Ulrich Eckhardt |url=https://www.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Standort.pdf |titel=Kürzeste Wege und optimale Standorte – Von Industriestandorten, Bomben und Seifenblasen |titelerg=2.1 Die Aufgabe von Fermat |hrsg=Universität Hamburg Department Mathematik |seiten=13 |datum=2008-04-11 |format=PDF |abruf=2019-09-08 |archiv-datum=2020-07-11 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20200711164326/https://www.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Standort.pdf |offline= }}</ref>

{{Zitat
|Text=''Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta,summa trium harum rectarum sit minima quantitas''
|Sprache=fr
|Übersetzung=''Gegeben sind drei Punkte, gesucht ist ein vierter Punkt, so dass die Summe seiner Abstände von den drei gegebenen Punkten ein Minimum wird.''}}

Noch im selben Jahr fand [[Evangelista Torricelli]] drei elementare Lösungen, die Torricellis Schüler [[Vincenzo Viviani]], zusammen mit einer eigenen, im Jahre 1659 veröffentlichte.<ref name="Eckhardt" />

Torricelli lieferte u. a. eine geometrische Lösung (Bild 1, 3 und 4), die mit [[Zirkel und Lineal]] darstellbar ist. Die Umkreise der drei gleichseitigen Dreiecke, errichtet über die Seiten des Ausgangsdreiecks (Standortdreieck), schneiden sich in einem Punkt. Der auf diese Art und Weise generierte Fermat-Punkt wird auch ''Torricelli-Punkt'' genannt.<ref name="Ulrich">{{Internetquelle |autor=Ulrich Eckhardt |url=https://www.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Standort.pdf |titel=Kürzeste Wege und optimale Standorte – Von Industriestandorten, Bomben und Seifenblasen |titelerg=2.1 Die Aufgabe von Fermat |hrsg=Universität Hamburg Department Mathematik |seiten=15 |datum=2008-04-11 |format=PDF |abruf=2019-09-08 |archiv-datum=2020-07-11 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20200711164326/https://www.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Standort.pdf |offline= }}</ref> Seine Methode eignet sich übrigens sowohl für den ersten Fermat-Punkt <math>F_1</math> als auch für den ''zweiten Fermat-Punkt'' <math>F_2</math> (Bild 5, 7 und 8).

Schließlich bewies [[Thomas Simpson (Mathematiker)|Thomas Simpson]], ''daß die drei Linien, die von je einem der gleichseitigen Dreiecke zu der gegenüberliegenden Ecke des Standortdreiecks verlaufen, sich in dem Torricelli-Punkt treffen''.<ref name="Ulrich" /> Diese drei Linien werden deshalb auch die ''Simpson-Linien'' genannt.

== Erster Fermat-Punkt ==
Bereits im Jahr 1647 zeigte [[Bonaventura Cavalieri]]: Wenn alle Winkel des Dreiecks <math>ABC</math> kleiner als 120° sind, dann ist der erste Fermat-Punkt <math>F_1</math> des Dreiecks derjenige Punkt im Inneren des Dreiecks, von dem aus alle drei Seiten unter einem 120°-Winkel gesehen werden (Bild 1 und 4);<ref name="Ulrich" /> dies bedeutet
: (1) <math>\angle AF_1B=\angle BF_1C=\angle CF_1A=120^\circ.</math>

=== Eigenschaften 1 ===
* Sind alle Winkel des gegebenen Dreiecks <math>ABC</math> kleiner als 120° (Bild 1 und 4), so ist der erste Fermat-Punkt <math>F_1</math> derjenige Punkt, für den die Summe der Entfernungen von den Ecken des Dreiecks <math>ABC</math> (also die Summe <math>\overline{F_1A} + \overline{F_1B} + \overline{F_1C}</math>) den kleinstmöglichen Wert annimmt.
: Der Beweis dieser Tatsache stammt von dem Italiener Evangelista Torricelli. Daher spricht man gelegentlich auch vom ''Fermat-Torricelli-Punkt''.
* Ist dagegen einer der Winkel des Dreiecks <math>ABC</math> größer oder gleich 120° (Bild 3), ''dann ist die Lösung gerade der Punkt, in dem sich dieser Winkel befindet'',<ref>{{Internetquelle |autor=Ulrich Eckhardt |url=https://www.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Standort.pdf |titel=Kürzeste Wege und optimale Standorte – Von Industriestandorten, Bomben und Seifenblasen |titelerg=2.1 Die Aufgabe von Fermat |hrsg=Universität Hamburg Department Mathematik |seiten=14 |datum=2008-04-11 |format=PDF |abruf=2019-09-08 |archiv-datum=2017-05-17 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20170517132607/https://www.math.uni-hamburg.de/home/eckhardt/Standort.pdf |offline= }}</ref> d. h. der erste Fermat-Punkt <math>F_1</math> stimmt mit dem Scheitel des 120°-Winkels überein.
* Bei einem gleichseitigen Dreieck <math>ABC</math> (Bild 4) entspricht der erste Fermat-Punkt <math>F_1</math> dem [[Gleichseitiges Dreieck#Ausgezeichnete Punkte|Inkreismittelpunkt]].
* Der erste Fermat-Punkt <math>F_1</math> liegt auf der [[Kiepert-Hyperbel]].

=== Konstruktion 1 ===
Über den Seiten eines gegebenen Dreiecks <math>ABC</math> errichtet man die drei [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitige Dreiecke]] <math>\triangle AC_1B,\;\triangle BA_1C</math> und <math>\triangle CB_1A</math>, im Folgenden mit Aufsatzdreiecke bezeichnet. Nun gibt es zwei Möglichkeiten, um den ersten Fermat-Punkt <math>F_1</math> zu bestimmen (beide Möglichkeiten sind in den Bildern 1, 3 und 4 eingearbeitet):

A) Man verbindet die neu dazu gekommenen Punkte <math>A_1, B_1</math> und <math>C_1</math> mit den gegenüberliegenden Ecken des Dreiecks (also mit <math>A, B</math> und <math>C</math>), so schneiden sich diese Verbindungsstrecken in einem Punkt <math>F_1.</math> Dieser wird als ''erster Fermat-Punkt'' des Dreiecks bezeichnet.

B) Man ermittelt die Umkreise der drei Aufsatzdreiecke. Sie liefern als Schnittpunkt den ersten Fermat-Punkt <math>F_1</math>, wie oben in ''Geschichtliches'' beschrieben, auch ''Torricelli-Punkt'' genannt.

Die Darstellung des ersten Fermat-Punktes <math>F_1</math> auf der Kiepert-Hyperbel (Bild 2) ist eine Weiterführung der Konstruktion (Bild 1). Ist der erste Fermat-Punktes <math>F_1</math> des Ausgangsdreiecks (Startdreieck) bestimmt, werden über dessen drei Seiten gleichschenklige ähnliche Dreiecke (gleiche Basiswinkel) <math>\triangle AFB,\; \triangle BEC</math> und <math>\triangle ECD</math> nach außen errichtet. Nach dem Einzeichnen des Kiepert-Dreiecks <math>\triangle FED</math><ref name="Kiepert-Dreieck">Haben die drei Aufsatzdreiecke – wie dargestellt – je zwei Basiswinkel gleich 30°, so ist das Kiepert-Dreieck gleichseitig.</ref> folgen die Geraden <math>AE, FC</math> und <math>BD</math> (gestrichelte Linien, hellblau). Die drei Geraden schneiden sich im [[Zentralkollineation|Perspektivitätszentrum]] <math>P</math>. Abschließend kann die Kiepert-Hyperbel auch alternativ mithilfe der verwendeten [[Dynamische Geometrie|Dynamische-Geometrie-Software (DGS)]] durch Eingabe des Befehls ''Kegelschnitt'' <math>(A, B, C, P, F_1)</math> generiert werden.<ref>{{Internetquelle |autor=Hans Walser |url=https://walser-h-m.ch/hans/Vortraege/20230413/Skript.html |titel=Bewegte Figuren |titelerg=8.1 Kiepert-Hyperbel |datum=2023-04-13 |abruf=2024-09-30}}</ref>

<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Dreieck, 1. Fermat-Punkt-1.svg|mini|230px|ohne|Bild 1: Allgemeines Dreieck, erster Fermat-Punkt bzw. Torricelli-Punkt <math>F_1</math>]]</div><div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Kiepert-Hyperbel 1. Fermat-Punkt.svg|mini|232px|ohne|Bild 2: Startdreieck <math> \triangle ABC </math>, Kiepert-Dreieck: <math> \triangle FED </math>, Perspektivitätszentrum <math>P</math>,<br />Fermat-Punkt <math>F_1</math> (hellblau), gleich große Basiswinkel (grün), Kiepert-Hyperbel (rot)]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Dreieck, 1. Fermat-Punkt-120°.svg|mini|230px|ohne|Bild 3: Dreieck, Winkel ≥120°, erster Fermat-Punkt bzw. Torricelli-Punkt <math>F_1,</math> liegt auf Scheitel ≥120°]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Dreieck, 1. Fermat-Punkt-gleichseitig.svg|mini|232px|ohne|Bild 4: Gleichseitiges Dreieck, erster Fermat-Punkt bzw. Torricelli-Punkt <math>F_1,</math> auch Inkreismittelpunkt]]</div>
{{Absatz}}

=== Anwendung ===
Der erste Fermat-Punkt <math>F_1</math> findet in der [[Wirtschaftsmathematik]], speziell in der [[Standortplanung]] Anwendung. Angenommen drei Unternehmen wollen ein Zentrallager derart bauen, dass die Transportkosten zu diesem Zentrallager minimal sind. Das Zentrallager müsste an der Stelle des Fermat-Punkts <math>F_1</math> gebaut werden, wenn man sich die Lage der drei Unternehmen als Dreieck vorstellt, da für den Fermat-Punkt <math>F_1</math> die Summe der Abstände zu den Ecken des Dreiecks minimal ist (wobei alle Winkel im Dreieck kleiner als 120° sein müssen).

== Zweiter Fermat-Punkt ==
Für den zweiten Fermat-Punkt <math>F_2</math> (Scheitel) in einem Dreieck <math>ABC</math> ohne Innenwinkel gleich <math>60^{\circ}</math> (Bild 4) gilt:
: <math>\angle AF_2B = \angle BF_2C = 60^{\circ}</math> und <math>\angle AF_2C = 120^{\circ}.</math>

=== Eigenschaften 2 ===
* Der zweite Fermat-Punkt <math>F_2</math> besitzt, im Gegensatz zum ersten Fermat-Punkt <math>F_1</math>, im Allgemeinen nicht die Minimumeigenschaft (siehe [[Fermat-Punkt#Eigenschaften 1|Eigenschaften 1]] und Bild 4). ''Er erfüllt sie nur dann, wenn er mit einem der Eckpunkte des Ausgangsdreiecks <math> \triangle{ABC} </math> zusammen fällt''.<ref>{{Internetquelle |autor=Tasja Werner |url=http://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Veranstaltungen/Aarchiv/GeoPeitg08/Material/HAEx_Fermatpunkt.pdf#page=57&zoom=auto,-13,835 |titel=Der Fermatpunkt – eine Erweiterung der Schulgeometrie |titelerg=7.4 Der 2. Fermatpunkt |hrsg=Universität Bremen, Fachbereich Mathematik / Informatik |seiten=51 |datum=2008-04-21 |format=PDF |abruf=2019-09-08}}</ref>
* Besitzt das Dreieck <math>ABC</math> einen 60°-Winkel (Bild 5), dann entspricht der zweite Fermat-Punkt <math>F_2</math> dem Scheitel des 60°-Winkels.
* Ist das Dreieck <math>ABC</math> gleichseitig (Bild 6), ist es kongruent zu den drei (gleichseitigen) Aufsatzdreiecken, d. h. die vier Dreiecke liegen übereinander, somit entspricht <math>A_1 = A,</math> <math>B_1 = B</math> und <math>C_1 = C.</math> Infolgedessen kann jeder der drei Eckpunkte <math>A, B</math> oder <math>C</math> quasi ein zweiter Fermat-Punkt <math>F_2</math> sein.
* Der zweite Fermat-Punkt <math>F_2</math> liegt auf der [[Kiepert-Hyperbel]]

=== Konstruktion 2 ===
Der zweite Fermat-Punkt <math>F_2</math> eines Dreiecks ergibt sich nach der gleichen Konstruktion wie der des ersten Fermat-Punktes <math>F_1,</math> nur muss man die drei Aufsatzdreiecke <math>\triangle AC_1B,\;\triangle BA_1C</math> und <math>\triangle CB_1A</math> jeweils nicht „nach außen“ über den Dreiecksseiten errichten, sondern „nach innen“. Die Umkreise der drei Aufsatzdreiecke schneiden sich in diesem Fall im Fermat-Punkt bzw. Torricelli-Punkt <math>F_2</math>.

Die Darstellung des zweiten Fermat-Punktes <math>F_2</math> auf der Kiepert-Hyperbel (Bild 6) ist eine Weiterführung der Konstruktion (Bild 5). Sie ist analog der, die im Abschnitt [[Fermat-Punkt#Konstruktion 1|Konstruktion 1]] beschrieben ist<ref name="Kiepert-Dreieck" />.

<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Dreieck, 2. Fermat-Punkt.svg|mini|230px|ohne|Bild 5: Allgemeines Dreieck, zweiter Fermat-Punkt bzw. Torricelli-Punkt <math>F_2</math>]]</div><div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Kiepert-Hyperbel 2. Fermat-Punkt.svg|mini|230px|ohne|Bild 6: Startdreieck <math> \triangle ABC </math>, Kiepert-Dreieck: <math> \triangle FED </math>, Perspektivitätszentrum <math>P</math>,<br />Fermat-Punkt <math>F_2</math> (hellblau), gleich große Basiswinkel (grün), Kiepert-Hyperbel (rot)]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Dreieck, 2. Fermat-Punkt-2.svg|mini|230px|ohne|Bild 7: Dreieck, Innenwinkel 60°, zweiter Fermat-Punkt bzw. Torricelli-Punkt <math>F_2,</math> liegt auf Scheitel 60°]]</div><div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 Dreieck, 2. Fermat-Punkt-3.svg|mini|230px|ohne|Bild 8: Gleichseitiges Dreieck, zweiter Fermat-Punkt bzw. Torricelli-Punkt <math>F_2</math> liegt auf A, B oder C]]</div>
{{Absatz}}

== Beweise ==
Wir nutzen in ''Lemma 1'' und ''Lemma 2'' die Eigenschaften von [[Vektor]]en und ihrem [[Skalarprodukt]] in der [[Euklidischer Raum|euklidischen Ebene]].

=== Lemma 1 ===
[[Datei:A b c 0.svg|mini|hochkant=1.25|Geometrisch bedeutet die Bedingung für die Vektoren, dass die skalierten Vektoren ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge 1 bilden, dessen Außenwinkel den Winkeln zwischen den Vektoren entsprechen.<br/> In gleichseitigen Dreiecken gilt:<br/> Innenwinkel (grün) betragen <math>60^\circ</math> <br/> Außenwinkel (rot) betragen <math>120^\circ</math>]]

: Für alle Vektoren <math>\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\neq\overrightarrow{0},</math> ist
:<math>\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}
+ \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}
+ \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}=\overrightarrow{0}</math>
: äquivalent zu der Aussage, dass
:<math>\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|},
\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|},
\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}</math> jeweils einen Winkel von 120° zueinander haben.
; Beweis von Lemma 1
: Wir definieren [[Einheitsvektor]]en <math>\overrightarrow{e_{i}} \ (i = 0,1,2)</math> durch
:<math>\overrightarrow{e_{0}} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|},
\overrightarrow{e_{1}} = \frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|},
\overrightarrow{e_{2}} = \frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}.</math>
: und bezeichnen mit <math>\theta_{ij}</math> den Winkel zwischen den zwei Einheitsvektoren <math>\overrightarrow{e_{i}}, \overrightarrow{e_{j}}</math>.
: Dann haben wir zum Beispiel
:<math>1=| -\overrightarrow{e_2}|^2 =| \overrightarrow{e_0}+\overrightarrow{e_1}|^2=|\overrightarrow{e_0}|^2+2\overrightarrow{e_0}\cdot\overrightarrow{e_1}+|\overrightarrow{e_1}|^2=2+2\overrightarrow{e_0}\cdot\overrightarrow{e_1}</math>,
: also <math>\overrightarrow{e_0}\cdot\overrightarrow{e_1}=-\tfrac{1}{2}</math>, genauso für die anderen Punktepaare.
: So bekommen wir <math>\theta_{ij}=\theta_{ji}</math> und die Werte des inneren Produkts als
:<math>\overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{j}}=\cos\theta_{ij}=\begin{cases}1 & (i=j) \\ -\frac{1}{2} & (i \ne j).\end{cases}</math>
: Damit erhalten wir <math>\theta_{ij} = 120^\circ \ (i \ne j).</math>
: Umgekehrt, wenn Einheitsvektoren <math>\overrightarrow{e_{i}} \ (i = 0,1,2)</math> einen Winkel von 120° zueinander haben, erhält man
:<math>|\overrightarrow{e_{0}}+\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}|^{2}=\sum_{i=j}^{} \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{j}}+\sum_{i \neq j}^{} \overrightarrow{e_{i}}\cdot\overrightarrow{e_{j}}
=3 \times 1 + 6 \times \left( -\frac{1}{2} \right) =0.</math>
: Deshalb erhalten wir
:<math>\overrightarrow{e_{0}}+\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}=\overrightarrow{0}.</math> [[Q.e.d.]]

=== Lemma 2 ===
: Für alle Vektoren <math>\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}</math> und <math>\overrightarrow{x}</math> gilt
:<math>|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x}| \ge |\overrightarrow{a}|-\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\cdot\overrightarrow{x}.</math>
; Beweis von Lemma 2
: Das folgt aus der für alle Vektoren <math>\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}</math> geltenden [[Cauchy-Schwarzsche Ungleichung]] <math>|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \ge \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}</math> durch Einsetzen von <math>\overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}, \overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{x}.</math> [[Q.e.d.]]

Wenn im Dreieck <math>ABC</math> alle [[Innenwinkel]] kleiner als 120° sind, können wir den Fermat-Punkt <math>F_1</math> im Inneren des Dreiecks <math>ABC</math> konstruieren. Dann setzen wir <math>\overrightarrow{a}=\overrightarrow{F_1A}, \overrightarrow{b}=\overrightarrow{F_1B}, \overrightarrow{c}=\overrightarrow{F_1C}, \overrightarrow{x}=\overrightarrow{F_1X}.</math>

Wenn <math>F_1</math> der Fermat-Punkt ist, dann gilt per Definition <math>\angle AF_1B=\angle BF_1C=\angle CF_1A=120^\circ,</math> so dass wir die Gleichung aus Lemma 1 bekommen.

Aus Lemma 2 sehen wir, dass
:<math>|\overrightarrow{XA}| \ge |\overrightarrow{F_1A}|-\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}\cdot\overrightarrow{x},</math>
:<math>|\overrightarrow{XB}| \ge |\overrightarrow{F_1B}|-\frac{\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\cdot\overrightarrow{x},</math>
:<math>|\overrightarrow{XC}| \ge |\overrightarrow{F_1C}|-\frac{\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{c}|}\cdot\overrightarrow{x}.</math>

Aus diesen drei Ungleichungen und der Gleichung von Lemma 1 folgt
:<math>|\overrightarrow{XA}| + |\overrightarrow{XB}| + |\overrightarrow{XC}| \ge |\overrightarrow{F_1A}| + |\overrightarrow{F_1B}| + |\overrightarrow{F_1C}|.</math>
Dies gilt für jeden Punkt X in der euklidischen Ebene. Damit haben wir gezeigt: wenn X = <math>F_1</math>, dann wird der Wert <math>|\overrightarrow{XA}| + |\overrightarrow{XB}| + |\overrightarrow{XC}|</math> minimal.
[[Q.e.d.]]

=== Hofmann-Beweis ===
Der folgende Beweis für Dreiecke mit Innenwinkeln kleiner als <math>120^\circ</math> stammt von [[Joseph Ehrenfried Hofmann]], aus seinem im Jahr 1929 erschienenen Artikel ''Elementare Lösung einer Minimumsaufgabe'' in der ''Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht''.<ref name="Coxeter">H.S. Coxeter: ''Unvergängliche Geometrie, Dreiecke''. Springer Basel, 1981, ISBN 978-3-0348-5152-7, S. 38 [https://books.google.de/books?id=ehCeBgAAQBAJ&pg=PA38&lpg=onepage&q&f=false Google]</ref> Wenn auch weniger bekannt als die klassischen, analytischen Beweise, so überzeugt er doch durch seine Einfachheit und Nachvollziehbarkeit.

Der Ansatz ist die Rotation ([[Koordinatentransformation#Drehung (Rotation)|Koordinatentransformation]]) eines beliebigen Punktes <math>P</math> innerhalb eines Dreiecks <math>ABC</math> mit dem Zentrum ([[Koordinatensystem|Koordinatenursprung]]) <math>M.</math> Als Definition der [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] in der [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] gilt
:<math>f_M\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2,\; f_M\left(P \right)=P'</math><ref>{{Internetquelle |autor=Peter Andree |url=https://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/texte/punkt-von-fermat-main.pdf |titel=Der Punkt von Fermat |titelerg=9.3 Der Hofmann–Beweis. Die Rotation und der Punkt von Fermat |hrsg=Zentrale für Unterrichtsmedien im Internet e. V. |seiten=4 |datum=2004-01-15 |format=PDF |abruf=2019-09-15 |archiv-datum=2011-03-22 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20110322172308/https://www.zum.de/Faecher/Materialien/rubin/texte/punkt-von-fermat-main.pdf |offline= }}</ref>
Ist der Punkt <math>A</math> des Dreiecks <math>ABC</math> das Zentrum und der Rotationswinkel <math>60^\circ</math>, ergibt sich (Bild 6)
: <math>f_A\left(P \right)= P'</math> und
: <math>f_A\left(C \right)= B_1.</math>

<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 1. Fermat-Punkt, Hofmann-Beweis-1.svg|mini|240px|ohne|Bild 6: Hofmann-Beweis des ersten Fermat-Punktes, ''gebrochene Linie'']]</div>
<div class="tleft" style="clear:none;">[[Datei:01 1. Fermat-Punkt, Hofmann-Beweis.svg|mini|240px|ohne|Bild 7: Hofmann-Beweis des ersten Fermat-Punktes, ''kürzest mögliche Länge'', [[:Datei:01 1. Fermat-Punkt, Hofmann-Beweis.gif|siehe Animation]]]]</div>
{{Absatz}}

Aufgrund der gleichseitigen Dreiecke <math>APP'</math> und <math>ACB_1</math> sowie der deckungsgleichen Dreiecke <math>APC</math> und <math>AP'B_1</math> ([[Kongruenzsatz#Kongruenzsätze|zweiter Kongruenzsatz SWS]]) kann man folgern
:<math> d = d(P,A) + d(P,B) + d(P,C) = |PA| + |PB| + |PC| = |PP'| + |PB| + |P'B_1|.</math>

Mit Worten: <math> d </math> steht für die Summe der drei [[Abstand|Abstände]], d. h. für die Länge der gebrochenen Linie <math>B_1P'PB.</math> Sie ist gleich lang wie die Summe der Verbindungslinien von <math> P </math> zu den Ecken des Dreiecks <math>ABC.</math>

Die kürzest mögliche Länge von <math>d</math> wird erreicht, wenn die Punkte <math>B_1,P',P</math> und <math>B</math> auf einer gemeinsamen Geraden liegen, denn dadurch ergibt sich (Bild 7)
: <math>\angle{B_1P'P} = 180^\circ</math> und <math>\angle{P'PB} = 180^\circ,</math>
wegen
: <math>\angle{AP'P} = 60^\circ,</math> ''oder'' wegen <math>P</math> auf Umkreis des <math>\triangle ACB_1</math><ref name="Coxeter" /> ([[Kreiswinkel#Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)|Kreiswinkelsatz]] mit Mittelpunktswinkel <math>120^\circ</math>)
folgt
: <math>\angle{B_1P'A} = \angle{CPA} = 120^\circ;</math>
folglich ist auch
: <math>\angle{APB} = \angle{BPC} = \angle{CPA} = 120^\circ.</math>
Setzt man für <math>P</math> gleich <math>F_1</math> (Bild 1), ist damit bewiesen
: (1) <math>\angle AF_1B=\angle BF_1C=\angle CF_1A=120^\circ.</math>

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] der Fermat-Punkte sind
:<math>\csc\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3} \right) \, : \, \csc\left(\beta\pm\frac{\pi}{3} \right) \, : \, \csc\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3} \right).</math><ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X13 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(13), X(14) |sprache=en |abruf=2025-01-26}}</ref>

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind
:<math>\left( a \cdot \csc\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3} \right) \right) : \left( b \cdot \csc\left(\beta\pm\frac{\pi}{3} \right) \right) : \left( c \cdot \csc\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3} \right) \right)</math>.

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel. Die Pluszeichen gelten für den 1. Fermat-Punkt (<math>X_{13}</math>), die [[Minuszeichen]] für den 2. Fermat-Punkt (<math>X_{14}</math>).

== Siehe auch ==
* [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

== Literatur ==
* [[Joseph Ehrenfried Hofmann]]: ''Elementare Lösung einer Minimumsaufgabe.'' In: ''Zeitschrift für den mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht.'' Band 60, 1929, S. 22–23.
* Harold Scott MacDonald Coxeter: ''Unvergängliche Geometrie.'' (= ''Wissenschaft und Kultur''. Band 17). Birkhäuser, Basel/Stuttgart 1963, S. 39–39.
* Hans Schupp: ''Elementargeometrie'' (= ''Uni-Taschenbücher.'' 669 ''Mathematik''). Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 79–82.
* Hans Schupp: ''Figuren und Abbildungen'' (= ''Studium und Lehre Mathematik''). Franzbecker, Hildesheim 1998, ISBN 3-88120-288-9, S. 54–55.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=FermatPoints |title=Fermat Points}}
* [http://www.matifutbol.com/en/triangle.eng.html Ein praktisches Beispiel für den Fermat-Punkt] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]
[[Kategorie:Pierre de Fermat]]

Fermat-Punkt - Versionsgeschichte

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