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2024-06-02T11:06:31Z

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Die '''Fenske-Gleichung'''<ref name="Fenske1932">{{Literatur |Autor=M. R. Fenske |Titel=Fractionation of Straight-Run Pennsylvania Gasoline |Sammelwerk=Industrial & Engineering Chemistry |Band=24 |Datum=1932 |Seiten=482–485 |DOI=10.1021/ie50269a003}}</ref> dient zur Abschätzung der Anzahl der minimal notwendigen theoretischen Böden bei der [[Rektifikation (Verfahrenstechnik)|Rektifikation]] eines binären chemischen Stoffgemischs unter der Bedingung des vollständigen Rücklaufs. Die Kolonne wird dabei ohne Zulauf und ohne Entnahme von Kopf- und Sumpfprodukt betrieben. Die berechnete Zahl ist daher stets niedriger als die Anzahl der tatsächlich benötigen Böden bei [[Kolonne (Verfahrenstechnik)|Trennkolonnen]] im Produktionsbetrieb.

== Bestimmungsgleichung ==
[[Datei:DestillationskolonneIdealFenske.svg|miniatur|250px|Destillationskolonne wie für die Fenske-Gleichung betrachtet]]
In der Fenske-Gleichung werden die Zusammensetzungen des Kopf- und des Sumpfprodukts in Beziehung gesetzt. Der Proportionalitätsfaktor ist dabei die wiederholt (auf den theoretischen Böden) ausgeführte Verdampfung und Kondensation, die über die [[relative Flüchtigkeit]] beschrieben wird. Die unterschiedliche Flüchtigkeit der Komponenten sorgt dafür, dass sich der [[Leichtsieder]] im Dampf und der [[Schwersieder]] in der Flüssigkeit anreichert. Die Anzahl der Böden ist dabei der Exponent der relativen Flüchtigkeit:

:<math>\frac{x_{\text{Kopf}, L}}{x_{\text{Kopf}, S}} = \alpha^{N_{\text{min}}}_{L,S} \frac{x_{\text{Sumpf}, L}}{x_{\text{Sumpf}, S}}</math>

mit

:<math>L</math> = Leichtsieder
:<math>S</math> = Schwersieder
:<math>x</math> = [[Stoffmengenanteil]] (Molenbruch)
:<math>\alpha_{L,S}</math> = Relative Flüchtigkeit des Leichtsieders im Verhältnis zum Schwersieder bei der Zusammensetzung des Zulaufs
:<math>N_{\text{min}}</math> = Mindestanzahl Böden

Diese Gleichung lässt sich umstellen, so dass direkt die theoretische Anzahl Böden bestimmt werden kann:

:<math>N_{\text{min}}=\frac{\log \left[\frac{x_{\text{Kopf}, L}}{x_{\text{Kopf}, S}} \cdot \frac{x_{\text{Sumpf}, S}}{x_{\text{Sumpf}, L}} \right]}{\log \alpha_{L,S}}</math>

Die relative Flüchtigkeit ist jedoch nicht über die gesamte Trennkolonne konstant, da sie sowohl von der Zusammensetzung des Gemischs abhängt, als auch temperatur- und druckabhängig ist; daher erfolgt zumeist eine Näherungsrechnung mittels des [[Geometrisches Mittel|geometrischen Mittels]] der relativen Flüchtigkeiten der Komponenten in Kopf und Sumpf der Kolonne:

:<math>\alpha_{\text{Mittel}} = \sqrt {\alpha^{\text{Kopf}}_{L,S} \cdot \alpha^{\text{Sumpf}}_{L,S}}</math>

== Beispielrechnung ==
Mit den willkürlich festgelegten Werten

:<math>\alpha_{L,S} = 1{,}1</math> (hier als konstant angenommen)
:<math>x_{\text{Kopf},L} = 0{,}98</math>
:<math>x_{\text{Kopf},S} = 0{,}02</math>
:<math>x_{\text{Sumpf},L} = 0{,}05</math>
:<math>x_{\text{Sumpf},S} = 0{,}95</math>

folgt

:<math>N_{\text{min}} =\frac{\log \left[\frac{0{,}98}{0{,}02} \cdot \frac{0{,}95}{0{,}05} \right]}{\log 1{,}1}</math>
:<math>N_{\text{min}} = 71{,}7</math>

Die Anzahl der berechneten theoretischen Böden steigt mit niedrigerer relativer Flüchtigkeit und mit höheren [[Stoffreinheit|Reinheitsgraden]] für den Leichtsieder im Kopf und für den Schwersieder im Sumpf der Kolonne.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Destillation]]

Fenske-Gleichung - Versionsgeschichte

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