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2024-11-13T12:21:20Z

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'''Feller-Prozesse''' sind in der Theorie [[stochastischer Prozess]]e homogene [[Markow-Prozess]]e in stetiger Zeit mit allgemeinen Zustandsräumen, deren [[Übergangswahrscheinlichkeit]]en bestimmte Stetigkeitsforderungen, die sogenannte ''Feller-Stetigkeit'', erfüllen und für die ein Zugang über die funktionalanalytische [[stark stetige Halbgruppe|Hille-Yosida-Halbgruppen-Theorie]] möglich ist.

== Grundlagen ==
Grundgedanke der Theorie ist, die [[Chapman-Kolmogorow-Gleichung]]en der [[Übergangskern|Übergangswahrscheinlichkeiten]] <math>P_s(\cdot, \cdot)</math>,
: <math> P_{s+t}(x, A) = \int P_t(y, A) P_{s}(x, dy),\quad s,t \ge 0, A \text { messbar}</math>,
für die durch punktweise auf <math>C_0</math> durch
:<math>T f(x) := \int f(y)\, dP(x, dy), \quad f \in C_0 </math>
definierten Operatoren als Halbgruppeneigenschaft zu schreiben:
: <math>\forall s,t \ge 0 \colon T_{t+s} = T_t \circ T_s, \quad T_0 = \mathbf I.</math>
Hierbei bezeichnet <math>C_0</math> den Raum der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen und <math>\mathbf I</math> die [[Identität|identische Abbildung]].
Die Halbgruppeneigenschaft legt die Existenz eines Operators <math>A</math> nahe, welcher das Veränderungsverhalten in infinitesimaler Zeit erfasst und über
:<math> T_t = \mathrm e^{tA}</math>
die Rekonstruktion des langfristigen Verhaltens ermöglicht. Die Schwierigkeit besteht darin, dass nur für reine [[Sprungprozess]]e der Operator <math>A</math> beschränkt ist und damit die verallgemeinerte [[Exponentialfunktion]] definiert ist.

Damit die Rekonstruktion des langfristigen Verhaltens gelingt, muss die Feller-Eigenschaft
: <math> T_t C_0 \subset C_0, </math>
: <math> T_t f(x) \to f(x), \quad t \to 0</math>
vorausgesetzt werden, woraus dann folgt, dass <math> T</math> eine positive kontraktive [[stark stetige Halbgruppe]] ist und der [[Stark stetige Halbgruppe#Satz von Hille-Yosida|Satz von Hille und Yosida]] angewendet werden kann. Eine solche Halbgruppe heißt entsprechend ''Feller-Halbgruppe.'' Abhängig vom Kontext werden verschiedene Varianten dieser Feller-Stetigkeitseigenschaft betrachtet.

Eine bleibende Schwierigkeit ist, dass der Satz von Hille und Yosida die Halbgruppe mit dem [[abgeschlossener Operator|Abschluss]] von <math>A</math> in Beziehung setzt und dieser nicht immer leicht zu bestimmen ist. Bei (Feller-)Diffusionprozessen haben zum Beispiel Restriktionen des Generators die einfachere Gestalt von [[Differentialoperator]]en zweiter Ordnung.<ref>L. C. G. Rogers and David Williams: ''Diffusions, Markov Processes and Martingales. Vol. 1''. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.</ref>

== Geschichte ==
Der in der Theorie der Feller-Prozesse vorgenommene Zugang zu Markow-Prozessen über Halbgruppen findet sich im Kern implizit in der Pionierarbeit [[Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow]]s ''Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung''<ref>A. N. Kolmogorow: ''Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung''. In: ''Mathematische Annalen Nr. 104'', 1936, S. 415–458.</ref> von 1931.<ref>Olav Kallenberg: ''Foundations of Modern Probability''. 2. Ausgabe, Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 585.</ref>

[[William Feller]], der sich bereits zuvor mit dem Thema beschäftigt hatte, griff in Arbeiten von 1952 und 1954 Kolmogorows analytischen Zugang, in dem die Dynamik des Prozesses über Differentialgleichungen der Dichtefunktionen der Übergangswahrscheinlichkeiten erfasst wurde, auf und konnte mit Hilfe der auf Hille und Yosida zurückgehenden Halbgruppentheorie eindimensionale Diffusionsprozesse (Fellerprozesse mit stetigen Pfaden) über die [[Infinitesimaler Erzeuger|infinitesimalen Erzeuger]] der entsprechenden Halbgruppen vollständig charakterisieren.<ref>William Feller: ''Diffusion processes in one dimension.'' In: ''Trans. Amer. Math. Soc.'' Nr. 77, 1954, S. 1–13.</ref>

[[Eugene Dynkin|E. B. Dynkin]] initiierte und war treibende Kraft des systematischen Ausbaus der Theorie ab 1954 für allgemeine Zustandsräume und Übergangswahrscheinlichkeiten, welche eine [[stark stetige Halbgruppe]] positiver Kontraktionsoperatoren darstellen. Rogers und Williams schlagen daher die Bezeichnung Feller-Dynkin-Prozess für derartige Prozesse vor, wobei die starke Stetigkeit der Halbgruppe unter geeigneten Bedingungen aus der Feller-Stetigkeit der Übergangswahrscheinlichkeiten folgt.

Einen Abriss der Geschichte gibt Kallenberg.<ref>Kallenberg, ebd. S. 585f.</ref>

== Wichtige Ergebnisse ==
Für eine gegebene Feller-Halbgruppe kann ein stochastischer Prozess mit [[Càdlàg]]-Pfaden (J. R. Kinney, 1953) konstruiert werden, der eine Form der [[Starke Markow-Eigenschaft|starken Markow-Eigenschaft]] erfüllt (E. B. Dynkin, A. A. Juschkewitsch, R. M. Blumenthal), und als Konsequenz gilt die [[Dynkin-Formel]] für Stoppzeiten. Feller-Prozesse mit stetigen Pfaden, deren Generator auf den glatten Funktionen mit kompaktem Träger definiert ist, sind (Feller-)[[Diffusionsprozess]]e, deren Verhalten durch die lokalen Eigenschaften Drift, Streuung und Verlustrate (''killing'') in Form eines elliptischen Differentialoperators zweiter Ordnung beschrieben werden kann.

== Literatur ==
* Olav Kallenberg: ''Foundations of Modern Probability'', 2. Ausgabe. Springer, New York 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 585.

== Weblinks ==
* S. N. Smirnov: [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Feller_process Feller process] in Encyclopaedia of Mathematics (Springer Online Reference Works, engl.)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Markow-Prozesse]]

Feller-Prozess - Versionsgeschichte

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