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2024-03-07T17:44:59Z

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{{Dieser Artikel|1=beschreibt Fehlergrenzen in der Messtechnik und Fehlerrechnung. Zur Ausnahmebehandlung in Computerprogrammen siehe [[Ausnahmebehandlung#Abfangen_von_Exceptions|Abfangen von Exceptions]].}}

'''Fehlerschranken''', auch Fehlergrenzen genannt, finden in der [[Fehlerrechnung]], in der [[Messtechnik]] sowie in der [[Numerik]] Verwendung. Eine Fehlerschranke wird mit dem griechischen Buchstaben <math>\epsilon</math> (Epsilon) angegeben und definiert eine vereinbarte oder garantierte, zugelassene äußerste Abweichung von einem Sollwert. Eine Fehlerschranke kann mit einem Toleranzwert gleichgesetzt werden.

== Definition ==

Sei <math>x</math> ein exakter Wert ''(Sollwert)'' und <math>\tilde{x}</math> ein Näherungswert des exakten Wertes, so dass <math>\tilde{x} \approx x</math>:
:<math> \Delta_x=\tilde{x}-x</math> heißt ''absoluter Fehler''.{{Anker|Absoluter Fehler}}<ref>Bronstein-Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 19. Aufl. 1979, S. 151.</ref>

:<math>\delta_x=\frac{\Delta_x}x</math> heißt im Falle <math>x \ne 0</math> ''relativer Fehler''.{{Anker|Relativer Fehler}}
Wenn <math>|\Delta_x| \le \epsilon </math> ist, so heißt <math>\epsilon</math> absolute Fehlerschranke.

Wenn <math>\frac {\epsilon}{\mid x \mid} \le \rho </math> gilt, so heißt <math>\rho</math> relative Fehlerschranke.

=== Bemerkungen ===
# Im Allgemeinen ist der [[Wahrer Wert|wahre Wert]] nicht bekannt, sondern nur der Näherungswert, welcher z. B. in der Messtechnik durch eine [[Messung]] gewonnen wird.
# Die relative Fehlerschranke ist dimensionslos, d. h. sie kann der [[Maßeinheit#Eigenschaften|Einheit]] 1 zugeordnet werden und wird oft in Prozent ausgedrückt. Wenn zum Beispiel der [[Messwert]] einer Messung nur um 1 % vom wahren Wert abweichen darf, so ist <math>\rho = 0{,}01</math>.
# In der Literatur taucht teilweise zusätzlich der Begriff ''wahrer Fehler'' auf, der (mit den oben verwendeten Variablen) als <math display="inline">x-\tilde{x}</math> definiert wird und somit das ''umgekehrte Vorzeichen'' des oben erklärten absoluten Fehlers <math display="inline">\Delta_x</math> hat. In solchen Fällen wird der ''Betrag des wahren Fehlers'', also <math display="inline">|x-\tilde{x}|</math>, als ''absoluter Fehler'' bezeichnet. Entsprechend ist der relative Fehler der Betrag des oben erklärten relativen Fehlers, d. h. mit unseren Variablen <math display="inline">\delta_x= |\frac{x-\tilde{x}}{x}|</math>.<ref>{{Literatur|Autor=[[Gisela Engeln-Müllges]], Fritz Reutter| Titel=Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit Standard-FORTRAN-77-Programmen| Seiten=1| Auflage=5.| Verlag=Bibliographisches Institut| Ort=Zürich| Jahr=1986| ISBN=3-411-03125-5}}</ref> Ein Vorteil der oben verwendeten Definition liegt darin, dass <math display="inline">\Delta_x > 0</math> sowie <math display="inline">\delta_x > 0</math> [[Logische Äquivalenz|''genau dann'']] gilt, wenn <math display="inline">\tilde{x} > x</math> (d. h. genäherter Wert ist ''größer'' als der exakte Wert).

Dem Begriff Fehlerschranke entsprechend, aber durch [[Normung]] abgestützt sind die Begriffe
* in der Messtechnik: „[[Fehlergrenze]]“<ref>DIN 1319-1:1995-01 ''Grundlagen der Messtechnik – Grundbegriffe''</ref> und in einer neueren Norm „Grenzabweichung“<ref>DIN EN 60751:2009-05 ''Industrielle Platin-Widerstandsthermometer und Platin-Temperatursensoren''</ref>
* in Qualitätsmanagement und Statistik: „Abweichungsgrenzbetrag“.<ref>DIN 55350-12:1989:03 ''Begriffe der Qualitätssicherung und Statistik – Merkmalsbezogene Begriffe''</ref>

== Anwendung ==
=== Messtechnik ===
Die Fehlergrenze ist in der Messtechnik von größter Bedeutung. Es ist nicht möglich, eine hundertprozentig genaue Messung durchzuführen. Eine Messung ist grundsätzlich mit einer [[Messabweichung]] (früherer Begriff: Messfehler) behaftet. Die Grenzabweichung gibt hier die bei den gegebenen Möglichkeiten zu tolerierende Messabweichung an.

=== Numerik ===
Beim Rechnen mit [[Gleitkommazahlen]] treten unweigerlich [[Rundungsfehler]] auf, da die Anzahl der Stellen (Größe der [[Mantisse]]) begrenzt ist. Müssen im Rahmen eines [[Algorithmus]] oder einer Rechenvorschrift zwei Gleitkommazahlen miteinander verglichen werden, so sollte die Fehlerschranke bei dem Vergleich berücksichtigt werden. Insbesondere bei numerischen Verfahren, die gegen einen bestimmten Wert konvergieren, ist die Verwendung einer Fehlerschranke unabdingbar, da aufgrund der begrenzten Anzahl von Stellen einer Gleitkommazahl der Wert in der Regel nie den Sollwert exakt erreichen wird.

== Belege ==
<references />

== Literatur ==
* [[Lothar Papula]]: ''Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd.3, Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Statistik, Fehlerrechnung und Ausgleichsrechnung'', Vieweg Verlag, ISBN 3-528-14937-X
* [[Gisela Engeln-Müllges]], Fritz Reutter: ''Numerik-Algorithmen. Entscheidungshilfe zur Auswahl und Nutzung'', Springer Verlag, ISBN 3-18-401539-4
* Gisela Engeln-Müllges, Fritz Reutter: ''Formelsammlung zur Numerischen Mathematik mit C-Programmen'', Springer Verlag, ISBN 3-411-03112-3
* Reinhard Lerch: ''Elektrische Messtechnik. Analoge, digitale und computergestützte Verfahren'', Springer Verlag, ISBN 3-540-73610-7

== Weblinks ==
* [https://books.google.de/books?id=WUHf2Eebv5kC&printsec=frontcover&dq=Numerik-Algorithmen:+Verfahren,+Beispiele,+Anwendungen&source=gbs_summary_r&hl=de#PPT7,M1 ''Numerik-Algorithmen: Verfahren, Beispiele, Anwendungen'' Gisela Engeln-Müllges, Klaus Niederdrenk, Reinhard Wodicka] auf books.google.de

{{Normdaten|TYP=s|GND=4199964-2}}

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Fehlermanagement]]

Fehlerschranke - Versionsgeschichte

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