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2024-01-13T09:48:54Z

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Das '''Fehlerkorrekturmodell''' (kurz: ''FKM'') ist ein [[Statistik|statistisches]] Modell aus dem Bereich der [[Ökonometrie]] und [[Zeitreihenanalyse]]. Es wurde von [[Clive W. J. Granger|Clive Granger]] entwickelt, der dafür 2003 mit dem [[Alfred-Nobel-Gedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften]] ausgezeichnet wurde. Mit einem Fehlerkorrekturmodell wird die kurzfristige [[Systemeigenschaften#Dynamik|Dynamik]] eines sonst langfristig gleichgewichtigen [[System]]s ausgewiesen, um so die Möglichkeit zu eröffnen, diese getrennt voneinander zu betrachten. Im Englischen wird es als ''Error Correction Model'' oder kurz ''ECM'' bezeichnet, diese Abkürzung ist auch im deutschen Sprachraum üblich. Ein [[Vektor-Fehlerkorrekturmodell]] (kurz: ''VECM'', für ''Vector Error Correction Model'') ist vor allem geeignet, wenn ein System aus Zeitreihen zwar nicht stationär in den Niveaus, aber stationär in den Differenzen ist. Würde die Langfristdynamik ohne Vektor-Fehlerkorrekturmodell getestet, würde starke [[Autokorrelation]] zwischen den [[Störgröße und Residuum|Residuen]] auftreten, da sie die Kurzfristdynamik enthalten würden.

== Anwendung ==
[[Datei:Fehlerkorrekturmodell BSP Land X Y.jpg|mini|280px|Mögliche Kointegration von zwei Variablen und damit Anwendung des Fehlerkorrekturmodelles]]

Voraussetzung für eine sinnvolle Anwendung des Fehlerkorrekturmodelles sind:

* Es sind 2 oder mehr Variablen (Merkmale) vorhanden.
* Diese Variablen müssen eine zeitliche Reihenfolge besitzen, sie stellen damit [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihen]] dar. Ein Beispiel ist die Entwicklung eines Aktienkurses über eine gewisse Zeitspanne.
* Die Variablen stehen in einem sinnvollen Zusammenhang zueinander. Der Zusammenhang sollte möglichst auch inhaltlich begründbar sein. Ein Beispiel ist ein Zusammenhang zwischen der Entwicklung der Bruttosozialprodukte zweier Länder. Falls diese Länder wirtschaftlich verbunden sind, können sich die BSP mit einer gemeinsamen Tendenz ([[Trend (Statistik)|Trend]]) entwickeln. Eine Krise in dem einen Land führt ebenfalls zu einer Krise im anderen Land, ebenso für wirtschaftliche Aufschwünge.
* Die Variablen (Zeitreihen) sind dann zueinander [[Kointegration|kointegriert]]. Dies bedeutet zunächst, dass jede Zeitreihe für sich nicht[[Stationärer stochastischer Prozess|stationär]] ist. Nichtstationarität bedeutet in der Praxis, dass die Zeitreihen meist einen Trend haben. Zusätzlich können ungleichmäßige Schwankungen ([[Heteroskedastizität]]) oder streng periodische Schwankungen auf Nichtstationarität hinweisen. In der Praxis haben die Zeitreihen meist einen ungefähren Gleichlauf über die Zeit, damit sind sie gemeinsam integriert, also kointegriert. Der Begriff Integration bedeutet, dass die nichtstationären Zeitreihen durch Differenzenbildung auf neue stationäre Zeitreihen zurückgeführt werden können.

== Vorgehensweise ==
Es ist zu beachten, dass bei numerisch bekannten [[Kointegrationsvektor]] sich die Gleichgewichtsabweichungen, die eine Fehlerkorrektur auslösen, aus den Beobachtungen der einzelnen Zeitreihen berechnen lassen. Dieser ist aber meist (immer) unbekannt, daher ersetzt man die Abweichungen zum Gleichgewicht durch Proxywerte, um mithilfe einer einfachen [[KQ-Regression]] die Koeffizienten des Fehlerkorrekturmodells approximativ schätzen zu können. Nachfolgend werden die dafür notwendigen Schritte erklärt:

[[Datei:Fehlerkorrekturmodell BSP Residuen.jpg|mini|280px|[[Störgröße und Residuum|Residuen]] der langfristigen Beziehung]]

* Es ist zuerst die '''langfristige Beziehung''' der Variablen zu schätzen. Dazu wird ein [[Lineare Einfachregression|einfaches lineares Modell]] ([[lineare Regression]]) verwendet, welches mit der [[Methode der kleinsten Quadrate]] bestimmt wird in der Form:

:<math>Y = \alpha + \beta X + \varepsilon_t </math>.

: Es ergeben sich <math>\varepsilon_t </math> als die Störgrößen der [[Regressionsanalyse|Regression]]. Diese bilden eine neue [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] und müssen hier stationär sein. Ein gängiger Test auf Stationarität ist der [[Dickey-Fuller-Test]]. Die abgebildeten Residuen sind hier nicht stationär, das Verfahren müsste abgebrochen werden.

* Zur Bestimmung der '''kurzfristigen Abweichungen''' von der langfristigen Beziehung wird eine neue Regression benötigt. Zuerst werden die ersten Differenzen <math>\Delta X</math> und <math>\Delta Y</math> der Zeitreihen <math>X</math> und <math>Y</math> gebildet. Sind die originalen Zeitreihen <math>X</math> und <math>Y</math> kointegriert, müssen die ersten Differenzen stationär sein. Es folgt eine weitere lineare Regression unter Verwendung der Residuen aus der langfristigen Beziehung (deshalb der Name Fehlerkorrekturmodell) und den beiden ersten Differenzen als [[Einflussgröße und Zielgröße|erklärende Variable]] in der Form:

:<math>\Delta Y = \gamma + \phi \Delta X + \chi \varepsilon_{t-1} + u_t</math>.

Die Darstellung ist ebenfalls in [[Multiple lineare Regression#Das klassische Modell der linearen Mehrfachregression|Matrixschreibweise]] möglich. Das populärste Verfahren zur [[Schätzmethode (Statistik)|Schätzung]] eines Vektor-Fehlerkorrekturmodells geht zurück auf [[Søren Johansen|Johansen]] und [[Katarina Juselius|Juselius]] (1988) und definiert das Modell wie folgt:

:<math>\Delta Z_t = \Pi \cdot Z_{t-1} + \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta Z_{t-i} + u_t </math>.

Hierbei stellt <math>Z</math> den Vektor der [[Exogene und endogene Variable|endogenen Variablen]] dar, der erste Teil der Summe enthält die Langfristdynamik in Form der Matrix <math>\Pi</math>, die den Kointegrationsvektor enthält, der zweite Teil die Vektoren <math>\Gamma_i</math>, die die Kurzfristdynamik beschreiben. Es ist möglich, in die Langfristbeziehung eine Konstante und/oder einen deterministischen Trend zu integrieren.<ref>{{Literatur |Autor=Kirchgässner, Gebhard., Wolters, Jürgen., Hassler, Uwe. |Titel=Introduction to Modern Time Series Analysis |Auflage=2nd ed |Verlag=Springer |Ort=Berlin |Datum=2013 |ISBN=978-3-642-33436-8 |Seiten=226}}</ref><ref>{{Literatur |Autor= [[Helmut Lütkepohl]], Markus Krätzig, 1974- |Titel=Applied time series econometrics |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge, UK |Datum=2004 |ISBN=0-511-20844-8 |Seiten=89}}</ref>

== Umsetzung ==
* Software [http://www.jmulti.de/ jMulti]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zeitreihenanalyse]]
[[Kategorie:Ökonometrie]]

Fehlerkorrekturmodell - Versionsgeschichte

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