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2025-01-07T15:16:45Z

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{{Dieser Artikel|behandelt das gaußsche Fehlerintegral, zur verwandten gaußsche Fehlerfunktion siehe [[Fehlerfunktion]].}}
Das '''gaußsche Fehlerintegral''' (nach [[Carl Friedrich Gauß]]) ist die [[Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]]. Es wird häufig mit <math>\Phi</math> bezeichnet und ist das Integral von <math>-\infty</math> bis <math>z</math> über die [[Dichtefunktion]] der Normalverteilung mit <math>\mu = 0</math> und <math>\sigma = 1</math>. Da die gesamte Fläche unterhalb der Dichtekurve (auch ''Gauß-Glocke'' genannt) gleich 1 ist, ist der Wert des Fehlerintegrals für <math>z\rightarrow\infty</math> ebenfalls 1 (siehe Abschnitt [[#Normierung|Normierung]]).

== Definition ==
Das Fehlerintegral ist durch
:<math>
\Phi(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt
</math>
definiert.

Lässt man das Integral erst bei <math>0</math> statt bei <math>-\infty</math> beginnen, so spricht man von <math>\Phi_0</math>:

:<math>\Phi_0(z)=\frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_0^z e^{-\frac 12 t^2} \mathrm dt = \Phi(z)-\tfrac 12.</math><ref>{{Literatur |Autor=[[Ilja Nikolajewitsch Bronstein]], [[Konstantin Adolfowitsch Semendjajew]] |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Datum=2000 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=477}}</ref>

== Zusammenhang mit der gaußschen Fehlerfunktion ==
Durch die Substitution <math>x=\tfrac t{\sqrt 2}</math> in den oben genannten Formeln und durch passende Umformungen lässt sich aus <math>\Phi</math> bzw. <math>\Phi_0</math> die [[Fehlerfunktion]]
:<math>\operatorname{erf}(z) = 2 \Phi(\sqrt 2\,z) - 1</math>
bzw.
:<math>\operatorname{erf}(z) = 2 \Phi_0(\sqrt 2\,z)</math>
herleiten.

== Anwendung ==
Das Fehlerintegral <math>\Phi(z)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine standardnormalverteilte [[Zufallsvariable]] einen Wert kleiner oder gleich <math>z</math> annimmt. Umgekehrt kann auch die Wahrscheinlichkeit für einen Wert größer oder gleich <math>z</math> ermittelt werden, indem man <math>\Phi(\infty)-\Phi(z)=1-\Phi(z)</math> bildet.

Als elektrotechnisches Beispiel sei ein gaußverteiltes Störrauschen der Streuung <math>\sigma=1{,}25\,\mathrm V</math> angenommen, das einem Übertragungskanal überlagert ist. Dieser Kanal arbeite fehlerfrei, solange die Störungen im Bereich −5 V ... +5 V liegen. Es klärt sich nun schnell die Frage, wie wahrscheinlich eine fehlerhafte Übertragung ist:

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert nicht größer als -5 V:

:<math>p_1 = \Phi(-5\,\mathrm V/\sigma) = \Phi(-4) = 0{,}317 \cdot 10^{-4}.</math>

Wahrscheinlichkeit für einen Rauschwert mindestens gleich +5 V:

:<math>p_2 = \Phi(\infty) - \Phi(5\,\mathrm V/\sigma) = 1-\Phi(4) = 0{,}317 \cdot 10^{-4}.</math>

Die Gesamtwahrscheinlichkeit für einen Übertragungsfehler ergibt sich dann aus <math>p=p_1+p_2</math>

== Normierung ==
Um die Normiertheit <math>\Phi( \infty )=1</math> nachzuweisen, berechnen wir
:<math>I := \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt.</math>

Auch wenn keine [[Stammfunktion]] des Integranden als [[elementare Funktion]] ausdrückbar ist, gibt es trotzdem mehr als ein halbes Dutzend Lösungswege, seinen Wert zu bestimmen, angefangen bei ersten Näherungen [[Abraham de Moivre|De Moivres]] aus dem Jahr 1733 über die Arbeiten von [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]] und [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] aus der Zeit um 1800 bis hin zu einem gänzlich neuen Lösungsansatz S. P. Evesons aus dem Jahr 2005.<ref>[https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf Peter M. Lee: ''The probability integral''; University of York, Department of Mathematics, 2011], zuletzt abgerufen am 14. Mai 2016.</ref> Einer der entscheidenden Tricks für seine Berechnung (angeblich von Poisson<ref>[https://ems.press/content/serial-article-files/4007 Denis Bell: ''Poisson’s remarkable calculation - a method or a trick?''; Elemente der Mathematik 65, 2010] (PDF; 248 kB)</ref>) ist es, auf eine höhere Dimension auszuweichen und das resultierende 2D-Integrationsgebiet anders zu parametrisieren:
:<math>\begin{align}
I^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}\mathrm dx\right)\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dy\right)\\
&= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 x^2}e^{-\frac 12 y^2}\mathrm dx\,\mathrm dy\\
&= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 \left(x^2 + y^2\right)}\mathrm dx\,\mathrm dy.
\end{align}</math>
Grundlage für die erste Umformung ist die [[Lineare Abbildung|Linearität]] des Integrals.

Statt längs kartesischer Koordinaten wird über <math>\R^2</math> nun längs [[Polarkoordinaten]] integriert, was der Substitution <math> x = r \cos \varphi, y = r \sin \varphi </math> und daraus <math>r^2 = x^2 + y^2</math> entspricht, und man erhält schließlich mit dem [[Transformationssatz]]

:<math>\begin{align}
I^2 &= \int_0^\infty \int_0^{2\pi} e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm d\varphi\,\mathrm dr\\
&= 2 \pi \int_0^\infty e^{-\frac 12 r^2} r\,\mathrm dr\\
&= -2 \pi \left[e^{-\frac 12 r^2}\right]_{r=0}^\infty\\
&= 2 \pi.
\end{align}</math>

Damit erhalten wir:
:<math>\lim_{z \to \infty} \Phi(z) = \frac 1{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12 t^2}\mathrm dt=\frac 1{\sqrt{2\pi}}I = 1.</math>

== Siehe auch ==
* [[Tabelle Standardnormalverteilung]]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Stochastik]]

Fehlerintegral - Versionsgeschichte

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