imported>Mathze: /* Komplementäre Fehlerfunktion */ Fehlende Matheumgebung ergänzt

2026-03-11T10:33:02Z

Komplementäre Fehlerfunktion: Fehlende Matheumgebung ergänzt

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{{Dieser Artikel|behandelt die Gaußsche Fehlerfunktion, zur Fehlerfunktion in der [[Approximationstheorie]], welche die [[Subtraktion|Differenz]] zwischen einer Funktion und ihrer besten Approximation beschreibt, siehe [[Approximationstheorie]] und [[Verlustfunktion (Statistik)]].}}
[[Datei:Error function.svg|360px|mini|Graph der Fehlerfunktion]]

Als '''Fehlerfunktion''' oder ''Gaußsche Fehlerfunktion'' bezeichnet man in der Theorie der [[Spezielle Funktion|speziellen Funktionen]] die durch das Integral
: <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-t^2}\,\mathrm dt</math>
definierte Funktion.<ref>Bronstein, Semendjajew, ''Taschenbuch der Mathematik'', 6. Auflage, S. 782</ref> Damit ist die Fehlerfunktion eine [[Stammfunktion]] von <math>\tfrac 2{\sqrt\pi} e^{-t^2}</math>, und zwar die einzige ungerade (gerade Funktionen mit Stammfunktion besitzen genau eine ungerade solche).

Für ein reelles Argument <math>x</math> ist <math>\operatorname{erf}</math> eine [[reellwertige Funktion]]; zur Verallgemeinerung auf komplexe Argumente [[#Komplexe Fehlerfunktion|siehe unten]].

Die Fehlerfunktion ist eine [[Sigmoidfunktion]], findet Anwendung in der [[Statistik]] und in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] und hängt eng mit dem [[Fehlerintegral]] zusammen.

== Bezeichnungen ==

Die Bezeichnung <math>\textrm{erf}(x)</math> kommt von '''''er'''ror '''f'''unction''.

=== Taylor-Reihe ===
Der Integrand der Fehlerfunktion hat folgende Reihendarstellung:
: <math>e^{-t^2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math>
Auf Kreisschreiben <math>\overline{D_r(0)} \subset \mathbb{C}</math> konvergieren die Taylorsummen <math>\textstyle f_{_N}(t) = \sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{n!} \cdot t^{2n}</math> [[gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen den Integranden <math>e^{-t^2}</math> der Fehlerfunktion. Daher kann man die Stammfunktion auf <math>\overline{D_r(0)}</math> bilden und mit dem [[Identitätssatz für holomorphe Funktionen|Identitätssatz]] kann man die Stammfunktion des Integranden als [[ganze Funktion]] auf <math>\mathbb{C}</math> erweitern. Dies liefert eine [[Stammfunktion]] von <math>e^{-t^2}</math>:
: <math>F(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1}</math>
Mit <math>F(0)=0</math> kann man diese Potenzreihendarstellung für <math>\operatorname{erf}(x)</math> verwenden.
: <math>\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!\cdot (2n+1)} \cdot x^{2n+1} </math>

=== Komplementäre Fehlerfunktion ===
Die ''komplementäre'' (bzw. ''konjugierte'') ''Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ist gegeben durch
: <math>
\begin{array}{rcl}
\operatorname{erfc}(x)
& = &
1 - \operatorname{erf}(x)
\\
& = &
\displaystyle
\frac 2{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-t^2}\,\mathrm dt.
\end{array}
</math>

=== Punktsymmetrie des Graphen ===
Die Punktsymmetrie des Graphen der Fehlerfunktion ergibt sich direkt über die ungeraden Exponenten mit <math>F(-x)=-F(x)</math>. Daher erfüllt sowohl <math>\operatorname{erf}</math> als auch <math>\operatorname{erfc}</math> die folgende Eigenschaften:
: <math>
\operatorname{erf}(-x) = -\operatorname{erf}(x)
\quad
\operatorname{erfc}(-x) = -\operatorname{erfc}(x) </math>

=== Verallgemeinerte Fehlerfunktion ===
Die ''verallgemeinerte Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erf}(a,b)</math> wird durch das [[Integralrechnung|Integral]]
: <math>\operatorname{erf}(a,b) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_a^b e^{-t^2}\,\mathrm dt = \frac 2{\sqrt\pi} \cdot (F(b)-F(a))</math>
definiert.

== Eigenschaften ==
Es gilt:
: <math>\operatorname{erf}(a,b)=\operatorname{erf}(b)-\operatorname{erf}(a)</math>

Die Fehlerfunktion ist [[Gerade und ungerade Funktionen|ungerade]]:
: <math>\operatorname{erf} (-x) = -\operatorname{erf} (x)</math>
Das uneigentliche Integral von <math>-\infin</math> bis <math>+\infin</math> ist

: <math>\frac 2{\sqrt\pi} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{-t^2}\,\mathrm dt = 2</math>

Außerdem gilt:

: <math> \operatorname{erf}(x)^2 = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{1-\exp[-x^2(y^2+1)]}{y^2+1} \mathrm{d}y </math>

== Verwendung ==

=== Verwandtschaft mit der Normalverteilung ===

Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der [[Verteilungsfunktion]] der [[Normalverteilung]]. Sie hat jedoch eine [[Zielmenge]] von <math>(-1,1)</math>, während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich <math>[0,1]</math> annehmen muss.

Es gilt für die [[Standardnormalverteilung]]
: <math>
\begin{array}{rcl}
\Phi(x)
& = &
\frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right)
\\
& = &
\displaystyle
\frac{1}{2} +
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot

\sum_{n=0}^\infty
\frac{1}{n!\cdot (2n+1)} \cdot \left(\frac{-1}{2}\right)^n
\cdot
x^{2n+1}
\end{array}
</math>
bzw. für die Verteilungsfunktion <math>F</math> einer beliebigen Normalverteilung mit [[Standardabweichung (Stochastik)|Standardabweichung]] <math>\sigma</math> und [[Erwartungswert]] <math>\mu</math>
: <math>F(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt 2}\right)\right).</math>

=== Messreihe - Messfehler ===
Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer [[Messreihe]] vom gemeinsamen [[Mittelwert]] durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung <math>\sigma</math> und Erwartungswert 0 beschrieben werden können, dann ist <math>\textstyle \operatorname{erf}\left(\frac a{\sigma \sqrt 2}\right)</math> die Wahrscheinlichkeit, mit der der [[Messfehler]] einer einzelnen Messung zwischen <math>-a</math> und <math>+a</math> liegt (für positives <math>a</math>).

=== Pseudozufallszahlen ===
Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der [[Inversionsmethode]] normalverteilte [[Pseudozufallszahl]]en zu generieren.<ref>Für eine konkrete Implementierung siehe z. B. Peter John Acklam: {{Webarchiv |url=http://home.online.no/~pjacklam/notes/invnorm/ |text=''An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function''. |wayback=20070505093933}}</ref>

=== Wärmeleitungsgleichung ===

Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der [[Wärmeleitungsgleichung]] vor, wenn [[Randwertproblem|Randwertbedingungen]] durch die [[Heaviside-Funktion]] vorgegeben sind.

== Numerische Berechnung ==
Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss [[Numerische Mathematik|numerisch]] bestimmt werden.

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der [[Taylorreihe|Reihenentwicklung]]
: <math>\operatorname{erf}(x)
= \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}
= \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left(
x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - \dotsb \right),</math>

für große reelle Werte mit der [[Kettenbruch]]<nowiki />entwicklung
: <math>\operatorname{erf}(x)
= 1 - \frac{1}{\sqrt\pi}\cdot\frac{e^{-x^2}}{x + \frac 1{2x + \frac 2{x + \frac 3{2x + \frac 4{x + \dotsb}}}}}.</math>

Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von <math>1{,}2\cdot10^{-7}</math>:<ref>''Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing''. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.</ref>
: <math>\operatorname{erf}(x)\approx\begin{cases}
1-\tau(x)\text{,} & \text{falls }x\ge 0 \text{,} \\
\tau(-x)-1 & \text{sonst,}
\end{cases}</math>
mit
: <math>\begin{array}{rcl}
\tau(x) & = & t\cdot\exp\bigl(-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\\
& & \qquad-0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^7\\
& & \qquad-0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}\bigr)
\end{array}</math>
und
: <math>t=\frac{1}{1+0{,}5\,|x|}.</math>
Eine für alle reellen Werte von <math>x</math> schnell konvergierende Entwicklung<ref>H. M. Schöpf, P. H. Supancic: [http://www.mathematica-journal.com/2014/11/on-burmanns-theorem-and-its-application-to-problems-of-linear-and-nonlinear-heat-transfer-and-diffusion/#more-39602/ ''On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion''.] In: ''The Mathematica Journal'', 2014. [[doi:10.3888/tmj.16-11]].</ref> erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:<ref>{{ADB|47|392|394|Bürmann, Heinrich|Moritz Cantor|ADB:Bürmann, Heinrich}}</ref><ref>E. W. Weisstein: [http://mathworld.wolfram.com/BuermannsTheorem.html ''Bürmann’s Theorem''.] mathworld</ref>
: <math>\begin{align}\operatorname{erf}(x)&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(1-\frac{1}{12}\left(1-e^{-x^2}\right)-\frac{7}{480}\left(1-e^{-x^2}\right)^2-\frac{5}{896}\left(1-e^{-x^2}\right)^3-\frac{787}{276 480}\left(1-e^{-x^2}\right)^4-\ \cdots\right) \\
&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k e^{-k \, x^2}\right)\end{align}</math>
Durch geeignete Wahl von <math>c_{1}</math> und <math>c_{2}</math> ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei <math>\textstyle x=\pm 1{,}3796 </math> kleiner als <math>\textstyle 3{,}6127\cdot10^{-3}</math> ist:
:<math>\operatorname{erf}(x)\approx \frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{31}{200}\,e^{-x^2}-\frac{341}{8000}\,e^{-2\,x^2}\right)</math>

== Wertetabelle ==
{| class="wikitable" style="margin-left:2em"
|- class="hintergrundfarbe6"
!<math>x</math>
!<math>\operatorname{erf}(x)</math>
!<math>\operatorname{erfc}(x)</math>
|rowspan=24 style="width:2px;background-color:#000000;padding:0px;"|
!<math>x</math>
!<math>\operatorname{erf}(x)</math>
!<math>\operatorname{erfc}(x)</math>
|-
|0,00
|0,0000000
|1,0000000
|1,30
|0,9340079
|0,0659921
|-
|0,05
|0,0563720
|0,9436280
|1,40
|0,9522851
|0,0477149
|-
|0,10
|0,1124629
|0,8875371
|1,50
|0,9661051
|0,0338949
|-
|0,15
|0,1679960
|0,8320040
|1,60
|0,9763484
|0,0236516
|-
|0,20
|0,2227026
|0,7772974
|1,70
|0,9837905
|0,0162095
|-
|0,25
|0,2763264
|0,7236736
|1,80
|0,9890905
|0,0109095
|-
|0,30
|0,3286268
|0,6713732
|1,90
|0,9927904
|0,0072096
|-
|0,35
|0,3793821
|0,6206179
|2,00
|0,9953223
|0,0046777
|-
|0,40
|0,4283924
|0,5716076
|2,10
|0,9970205
|0,0029795
|-
|0,45
|0,4754817
|0,5245183
|2,20
|0,9981372
|0,0018628
|-
|0,50
|0,5204999
|0,4795001
|2,30
|0,9988568
|0,0011432
|-
|0,55
|0,5633234
|0,4366766
|2,40
|0,9993115
|0,0006885
|-
|0,60
|0,6038561
|0,3961439
|2,50
|0,9995930
|0,0004070
|-
|0,65
|0,6420293
|0,3579707
|2,60
|0,9997640
|0,0002360
|-
|0,70
|0,6778012
|0,3221988
|2,70
|0,9998657
|0,0001343
|-
|0,75
|0,7111556
|0,2888444
|2,80
|0,9999250
|0,0000750
|-
|0,80
|0,7421010
|0,2578990
|2,90
|0,9999589
|0,0000411
|-
|0,85
|0,7706681
|0,2293319
|3,00
|0,9999779
|0,0000221
|-
|0,90
|0,7969082
|0,2030918
|3,10
|0,9999884
|0,0000116
|-
|0,95
|0,8208908
|0,1791092
|3,20
|0,9999940
|0,0000060
|-
|1,00
|0,8427008
|0,1572992
|3,30
|0,9999969
|0,0000031
|-
|1,10
|0,8802051
|0,1197949
|3,40
|0,9999985
|0,0000015
|-
|1,20
|0,9103140
|0,0896860
|3,50
|0,9999993
|0,0000007
|}

== Komplexe Fehlerfunktion ==
[[Datei:Erf(z).png|mini|Die komplexe Fehlerfunktion <math>\operatorname{erf}(z)</math> im Bereich <math>-3 < \operatorname{Im}(z) < 3</math> und <math>-3 < \operatorname{Re}(z) < 3</math>. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.]]
Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente <math>z</math> ausgeweitet werden:

: <math>\operatorname{erf}(z) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau</math>

In diesem Fall ist <math> \operatorname{erf} </math> eine [[komplexwertige Funktion]]. Unter [[Komplexe Konjugation|komplexer Konjugation]] gilt
: <math>\operatorname{erf} (z^{*}) = \operatorname{erf}(z)^{*} </math>.

=== Imaginäre Fehlerfunktion ===
Die ''imaginäre Fehlerfunktion'' <math>\operatorname{erfi}(x)</math> ist gegeben durch

: <math>\operatorname{erfi}(x) = \frac{\operatorname{erf}(\mathrm ix)}{\mathrm i}</math>

mit der Reihenentwicklung

: <math>\operatorname{erfi}(x)
= \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^{2n+1}}{n!(2n+1)}
= \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left(
x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} + \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} + \dotsb \right)</math>.

Zur Berechnung können <math>\operatorname{erf, erfi, erfc}</math> und weitere verwandte Funktionen auch durch die [[Faddeeva-Funktion]] <math>w(z)</math> ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den [[Dawson-Integral]]en und dem [[Voigt-Profil]] verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek ''libcerf'' zur Verfügung.<ref>Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: [https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf libcerf.]</ref>

== Literatur ==

* [[Milton Abramowitz]], [[Irene Stegun|Irene A. Stegun]] (Hrsg.): ''[[Abramowitz-Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables]].'' Dover, New York 1972, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm Chapter 7.]
* William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: ''[[Numerical Recipes in C]]''. 2. Auflage. Cambridge 1992, [http://www.nrbook.com/a/bookcpdf/c6-2.pdf S. 220 ff.] (PDF; 76 kB)
* [[Ilja Nikolajewitsch Bronstein|Bronstein, I.N.]] und [[Konstantin Adolfowitsch Semendjajew|Semendjajew, K.A.]], ''[[Taschenbuch der Mathematik]]'', 6. Auflage, [[Verlag Harri Deutsch]], Frankfurt am Main 2005, S. 782

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Fehlerfunktion - Versionsgeschichte

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