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2025-10-27T23:53:09Z

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[[Datei:Missing Square Animation.gif|miniatur]]
[[Datei:Missing square puzzle.svg|miniatur|Fehlendes-Quadrat-Rätsel: die bunten Teile werden unterschiedlich angeordnet. In der unteren Anordnung fehlt ein Quadrat. Wie kann das sein?]]
Das '''Fehlendes-Quadrat-Rätsel''' ist eine [[optische Täuschung]] aus der [[Geometrie]]. Dabei sieht es so aus, als sei die Fläche eines Dreiecks unterschiedlich groß, je nachdem, wie man die einzelnen Teilflächen anordnet. Das Rätsel hat sich vermutlich 1953 der Amateurzauberer [[Paul Curry]] in New York ausgedacht.

== Lösung ==
Die obere Anordnung ist kein Dreieck.

Zum Beweis betrachten wir die Steigungen des roten und des blauen Dreiecks. Die Hypotenuse des roten Dreiecks hat die Steigung 3/8 = 37,5 %, die des blauen hat die Steigung 2/5 = 40 %. Aus der Ungleichheit der Steigungen folgt, dass der Berührpunkt der beiden Dreiecke ein weiterer Eckpunkt der Anordnung ist. Die Anordnung ist ein Viereck, lax formuliert: das scheinbare Dreieck ist geringfügig nach innen eingebeult. Das sieht man kaum, ist aber so. Nun ist es nicht verwunderlich, dass der Tausch der Dreiecke aus der Einbeulung eine Ausbeulung macht, und dieser Unterschied macht gerade die Fläche des fehlenden Quadrates aus.

Zum Nachrechnen bezeichnen wir in der oberen Anordnung den linken unteren Eckpunkt mit A, den rechten unteren mit B und den oberen mit C. Das Dreieck ABC ist rechtwinklig, also ist sein Flächeninhalt die Hälfte des Produktes der Kathetenlängen, unter der Annahme, dass das Rastermaß 1 cm ist, also: <math>13\cdot5\cdot\frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32{,}5\ \mathrm{cm^2}</math>

Im Gegenzug betrachten wir die farbigen Teilflächen:
* ein rechtwinkliges Dreieck (hier: blau) mit einer Fläche von <math>5 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ =\ 5\ \mathrm{cm^2}</math>
* einem weiteren Dreieck (hier: rot) mit einer Fläche von <math>8 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ =\ 12\ \mathrm{cm^2}</math>
* zwei weiteren Flächen (hier: gelb und grün), die zusammen ein Rechteck mit der Größe von <math>5\cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 15\ \mathrm{cm^2}</math> bilden; hiervon entfallen <math>1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 2\ \mathrm{cm^2}\ =\ 7\ \mathrm{cm^2}</math> auf gelb und <math>1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 8\ \mathrm{cm^2}</math> auf grün

Die farbigen Teile haben also eine Gesamtfläche von nur

<math>5\ \mathrm{cm^2}+12\ \mathrm{cm^2}+7\ \mathrm{cm^2}+8\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32\ \mathrm{cm^2}</math>. [[Datei:Missing Square Puzzle.svg|miniatur|Darstellung der Flächenabweichung]]
Bezeichnen wir den Berührpunkt in der oberen Anordnung mit D, so hat das Dreieck ADC eine Fläche von 0,5 Quadratzentimetern. Dieses Dreieck ergänzt die obere Anordnung, also das Viereck ABCD, zu dem Dreieck ABC.

== Alternative Lösung ==
Der Zuschauer wird optisch getäuscht: Die zwei Gesamtgebilde sind keine Dreiecke, sondern tatsächlich [[Viereck]]e. Der Trick liegt darin, dass das rote und blaue Dreieck nur scheinbar [[Ähnlichkeit (Geometrie)|ähnlich]] im geometrischen Sinn sind. Ihre Winkel sind in Wirklichkeit verschieden. Mathematisch lässt sich dies wie folgt beweisen:
* blaues Dreieck: <math>\arctan\left(\frac{2}{5}\right)=\arctan\left(0{,}4\right) \approx 21{,}8\,^{\circ}</math>
* rotes Dreieck: <math>\arctan\left(\frac{3}{8}\right)=\arctan\left(0{,}375\right) \approx 20{,}56\,^{\circ}</math>
* zum Vergleich der Winkel eines Dreiecks mit Katheten der Länge von 13 und 5 (also entsprechend dem Gesamtdreieck): <math>\arctan\left(\frac{5}{13}\right) \approx \arctan\left(0{,}385\right) \approx 21{,}04\,^{\circ}</math>

Die beiden Gesamtdreiecke haben folglich nicht drei, sondern vier Ecken; davon ist eine Ecke allerdings kaum sichtbar. Sie befindet sich aber dennoch am Übergang vom roten zum blauen Dreieck. Die oberen Kanten des roten und blauen Dreiecks erscheinen im angeblichen Gesamtdreieck als eine lange Gerade, als [[Hypotenuse]] des angeblichen Gesamtdreiecks. In Wirklichkeit hat die scheinbare lange Gerade einen Knick, das ist die vierte Ecke.

Das scheinbare obere Gesamtdreieck ist ein konkaves (eingedrücktes) [[Viereck]], und das scheinbare untere Gesamtdreieck ein konvexes (aufgebogenes) Viereck. Die Flächeninhalte dieser beiden Vierecke unterscheiden sich um 1 cm². Dies entspricht dem fehlenden Quadrat.

Es handelt sich um eine optische Täuschung insofern, als die obere Kante nur scheinbar eine Gerade ist. Das Auge vermutet im Gesamtgebilde ein Dreieck und ist daher geneigt, den Knick zu übersehen. Es geht von einer einheitlichen Gesamtsteigung aus.

Man kann von dieser optischen Täuschung auch eine Papierversion herstellen. Dabei wird der Knick durch eine dick gezeichnete Randlinie verdeckt. Außerdem ist das Ausschneiden und Zusammenfügen zu ungenau, als dass man den Unterschied sehen könnte.

== Ähnliche Rätsel ==
[[Datei:Loyd64-65-dis b.svg|miniatur]]
{{Hauptartikel|Schachbrett-Paradoxon}}
Eine spezielle geometrische Anordnung von [[Sam Loyd]] illustriert ein erweitertes [[Paradoxon]]. Es scheint so, als könnten dieselben geometrischen Teile in unterschiedlichen Anordnungen drei verschiedene Gesamtflächen einnehmen. In Wirklichkeit berühren sich die Teile allerdings nicht komplett und ragen teilweise auch über die karierten Grenzen hinaus. Durch diesen [[Verschnittplanung|Verschnitt]] können die unterschiedlichen Gesamtflächen erreicht werden.

== Literatur ==
* Martin Gardner: ''Mathematics, Magic and Mystery''. Courier (Dover), 1956, ISBN 978-0-486-20335-5, S. 129–155

== Weblinks ==
{{commonscat|Missing square puzzle}}
* [http://www.mathematik.uni-bielefeld.de/~sillke/PUZZLES/jigsaw-paradox.html ''Jigsaw Paradox'']
* {{MathWorld |id=TriangleDissectionParadox|title=Triangle Dissection Paradox}}
* [https://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Fallacies/CurryParadox.shtml Curry's Paradox: How Is It Possible?] (englisch)
* [http://www.archimedes-lab.org/page3b.html Triangles and Paradoxes] (englisch)

[[Kategorie:Optische Täuschung]]

Fehlendes-Quadrat-Rätsel - Versionsgeschichte

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