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2024-11-12T13:40:26Z

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Ein '''Fastring''' ist in der [[Mathematik]] die Verallgemeinerung der [[algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] eines [[Ring (Algebra)|Ringes]], in der die Addition nicht mehr kommutativ sein muss und in der nur ein ''einseitiges'' [[Distributivgesetz]] gilt. Im Allgemeinen werden Fastringe verwendet, um algebraisch mit Funktionen auf Gruppen arbeiten zu können.

== Definitionen ==

=== Fastring ===

Ein '''Rechtsfastring''' oder kurz '''Fastring''' ist eine algebraische Struktur <math>(F,+,\cdot)</math> mit zwei [[zweistellige Verknüpfung|zweistelligen Verknüpfungen]] ''Addition'' <math>+</math> und ''Multiplikation'' <math>\cdot</math> für die gilt:
# <math>(F,+)\,</math> ist eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]].<ref><math>(F,+)</math> muss ''nicht'' [[kommutativ]] sein!</ref>
# <math>(F,\cdot)</math> ist eine [[Halbgruppe]].
# Das ''rechts''seitige [[Distributivgesetz]] ist gültig: <math>(a + b) \cdot c = (a \cdot c) + (b \cdot c)</math> für alle <math>a,b,c \in F.</math>

<math>(F,+,\cdot)</math> wird hingegen ein '''Linksfastring''' genannt, wenn ''an Stelle'' des rechtsseitigen Distributivgesetzes

:  3.′   das ''links''seitige Distributivgesetz gültig ist: <math>c \cdot (a + b) = (c \cdot a) + (c \cdot b)</math> für alle <math>a,b,c \in F.</math>

Erfüllt ein Fastring ''beide'' Distributivgesetze, so heißt er '''distributiver Fastring''', ist also Rechts- ''und'' Linksfastring.

Man nennt einen Fastring <math>(F,+,\cdot)</math>, bei dem die additive Gruppe <math>(F,+)\,</math> [[kommutativ]] ist, '''abelsch'''. Wenn jedoch die multiplikative Halbgruppe <math>(F,\cdot)</math> kommutativ ist, dann bezeichnet man dagegen <math>(F,+,\cdot)</math> als '''kommutativ'''. Kommutative Fastringe sind stets distributiv.

Produkte werden vereinfachend auch ohne das Multiplikationszeichen <math>ab := a\cdot b</math> für alle <math>a,b \in F</math> geschrieben und zur Klammerersparnis binde wie üblich im Folgenden die Multiplikation stets stärker als die Addition.

Definiert man auf einem Fastring <math>(F,+,\cdot)</math> eine zweistellige Verknüpfung ''Subtraktion'' <math>-</math> gemäß
: <math>a - b := a + (-b)\,</math> für alle <math>a,b \in F,</math>

so gilt auch für diese wegen
: <math>(a - b)c + bc = (a - b + b)c = (a + 0)c + 0 = ac - (bc) + bc\,</math>
: das rechtsseitige Distributivgesetz: <math>(a - b) \cdot c = (a \cdot c) - (b \cdot c)</math> für alle <math>a,b,c \in F.</math>

Analog gilt für einen Linksfastring das entsprechende linksseitige Distributivgesetz der Subtraktion.

=== Nullelement ===

Jeder Fastring <math>(F,+,\cdot)</math> besitzt gemäß der Definition ein [[neutrales Element]] 0 bezüglich der Addition, d. h.
:<math>0 + a = a + 0 = a\,</math> für alle <math>a \in F.</math>

Dieses heißt das '''Nullelement''' oder kurz die '''Null''' des Rechts- bzw. Linksfastringes. Es ist bei einem (Rechts-)Fastring bezüglich der Multiplikation ''[[Absorbierendes Element|linksabsorbierend]]'':
: <math>0 \cdot a = (a - a)a = aa - aa = 0</math> für alle <math>a \in F</math>

und bei einem Linksfastring ''rechtsabsorbierend'', jedoch ist die Null im Allgemeinen ''nicht'' beidseitig absorbierend.

=== Einselement ===

Hat ein Fastring <math>(F,+,\cdot)</math> auch ein [[neutrales Element]] 1 bezüglich der Multiplikation,
:<math>1 \cdot a = a \cdot 1 = a</math> für alle <math>a \in F,</math>

so nennt man dieses das '''Einselement''' oder kurz die '''Eins''' des Fastringes.

=== Fastkörper ===
{{Hauptartikel|Fastkörper}}
Bildet außerdem <math>(F\setminus\{0\},\cdot)</math> eine Gruppe, dann heißt der Fastring <math>(F,+,\cdot)</math> [[Fastkörper]]. Es lässt sich zeigen, dass die additive Gruppe dann [[Abelsche Gruppe|abelsch]] ist.

=== Halbfastring ===

Die Definition eines Fastrings lässt sich noch zu einem '''Halbfastring''' <math>(F,+,\cdot)</math> verallgemeinern, in dem ''an Stelle'' der Gruppeneigenschaft der Addition nur noch gefordert wird:

      1.′   <math>(F,+)\,</math> ist eine ''Halb''gruppe.

== Beispiele ==

* Typische Beispiele für Fastringe sind Mengen von [[Einstellige Verknüpfung|Selbstabbildungen]] auf Gruppen. Sei etwa <math>(G,+)\,</math> eine Gruppe und <math>G^G</math> bezeichne die Menge aller [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f\colon G \to G</math>, dann überträgt sich die Gruppenstruktur auf <math>G^G</math> durch
:<math>(f+g)(x) := f(x) + g(x)\,</math> für alle <math>x \in G.</math>
: Außerdem bildet <math>G^G</math> mittels der [[Komposition (Mathematik)|Komposition]] <math>\circ</math> ein [[Monoid]], so dass dann <math>\left(G^G,+,\circ\right)</math> ein Fastring mit Eins <math>\operatorname{id}_G</math> ist, da das rechtsseitige Distributivgesetz automatisch erfüllt ist:
:<math>((f + g) \circ h)(x) = (f + g)\left(h(x)\right) = f\left(h(x)\right) + g\left(h(x)\right) = (f \circ h)(x) + (g \circ h)(x) = (f \circ h + g \circ h)(x)</math> für alle <math>x \in G.</math>
* Ist <math>\ (F,+,0) </math> eine Gruppe und <math>\ A </math> eine Untergruppe der [[Automorphismus| Automorphismengruppe]] von <math>\ F </math>, die scharf-transitiv auf <math> F \setminus \{0\} </math> operiert, d. h. für zwei Elemente <math> x,y \in F \setminus \{0\} </math> gibt es genau ein <math> g \in A </math> mit <math>\ g(x) =y </math>, dann kann man wie folgt eine Operation <math>\ \circ </math> auf <math>F</math> definieren: Man wählt ein festes Element <math> e \in F \setminus \{0\} </math>. Sind <math>\ a,b \in F \setminus \{0\} </math>, so gibt es eindeutig bestimmte Elemente <math>\ g,h \in A </math> mit <math>\ g(e) =a </math> und <math>\ h(e) = b </math>. Man definiert dann <math>\ a \circ b := g(h(e)) </math>, ferner setzt man <math>\ 0 \circ a = a \circ 0 = 0 </math> für alle <math>\ a \in F </math>. Dann ist <math>\ (F,+,\circ,0,e) </math> ein Fastkörper, dessen multiplikative Gruppe [[Isomorphismus| isomorph]] zu <math>\ A </math> ist. Das rechtsseitige Distributivgesetz ist wegen <math> g(h(e) + k(e)) = g(h(e)) + g(k(e)) </math> für alle <math> g,h,k \in A </math> erfüllt. Ist <math>\ F =Z_3^2 </math>, so enthält die Automorphismengruppe von <math> F </math> eine Untergruppe, die isomorph zur [[Quaternionen | Quaternionengruppe ]] der Ordnung 8 ist. Diese Gruppe operiert scharf-transitiv auf <math> F \setminus \{0\} </math>. So erhält man ein minimales Beispiel für einen Fastkörper, der kein Körper ist.
* Die Menge aller abzählbaren [[Ordinalzahlen]] bildet mit der [[Transfinite Arithmetik|Ordinalzahladdition und Ordinalzahlmultiplikation]] einen Links-Halb-Fastring, d. h. die Addition bildet keine Gruppe, sondern nur ein (nicht kommutatives) Monoid und es gilt nur das linke Distributivgesetz.

== Eigenschaften ==

* Jeder Fastring <math>(F,+,\cdot)</math> hat einen 0-symmetrischen Teil <math>F_0 = \{a \in F \mid a \cdot 0 = 0\}</math> und einen konstanten Teil <math>F_c = \{a \in F \mid a \cdot 0 = a\},</math> so dass <math>F_0 \cap F_c = \{0\}</math> gilt.

== Siehe auch ==

* [[Körper (Algebra)]]
* [[Schiefkörper]]
* [[Halbring (Algebraische Struktur)]]

== Anmerkungen ==

<references/>

== Literatur ==

* [[Gerhard Betsch]] (Hrsg.): ''Near-rings and near-fields''. North-Holland, Amsterdam 1987, ISBN 0-444-70191-5.

* James R. Clay: ''Nearrings. Geneses and applications.'' Oxford University Press, Oxford 1992, ISBN 0-19-853398-5.
* John D. P. Meldrum: ''Near-rings and their links with groups.'' Pitman, Boston 1985, ISBN 0-273-08701-0.
* [[Günter Pilz]]: ''Near-Rings.'' North-Holland, Amsterdam–New York–Oxford 1977, ISBN 0-7204-0566-1 (Rev. ed. 1983).
* Heinz Wähling: ''Theorie der Fastkörper.'' Thales Verlag, 1987.

[[Kategorie:Algebraische Struktur]]
[[Kategorie:Algebra]]

Fastring - Versionsgeschichte

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