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In der [[Mathematik]] ist der Begriff der '''fastkomplexen Mannigfaltigkeit''' eine Abschwächung des Begriffs [[komplexe Mannigfaltigkeit]]. Während komplexe Mannigfaltigkeiten lokal wie der komplexe Raum aussehen, tun dies fastkomplexe nur „infinitesimal“, das heißt die [[Tangentialraum|Tangentialräume]] sind (auf untereinander verträgliche Art) komplexe Vektorräume. Um einen reellen Vektorraum zu einem komplexen zu machen, muss man festlegen, was das Produkt eines Vektors mit der imaginären Einheit <math>i</math> sein soll. Dies ist im Fall des Tangentialraums <math>T_pM</math> die Aufgabe der Abbildung <math>J_p</math>.

Das Konzept wurde 1948/49 von [[Charles Ehresmann]]<ref>Ehresmann, Sur la théorie des espaces fibrés, in: Topologie algébrique, Colloques Internationaux du Centre National de la Recherche Scientifique, No. 12, Paris, 1949.</ref> und [[Heinz Hopf]]<ref>Hopf, Zur Topologie der komplexen Mannigfaltigkeiten, in: Essays presented to R. Courant on his 60th birthday, Interscience 1948, S. 167–185</ref> eingeführt.

== Definition ==
=== Fastkomplexe Struktur ===
Eine '''fastkomplexe Struktur''' auf einer [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> ist eine glatte Abbildung <math>J \colon TM\to TM</math> mit der Eigenschaft, dass die Einschränkung <math>J_p:=J|_{T_pM}</math> auf den Tangentialraum zu jedem Punkt <math>p\in M</math> eine bijektive lineare Abbildung ist, die
:<math>J_p \circ J_p = - \mathrm{id}</math>
erfüllt. (Dies entspricht der Gleichheit <math>i^2 = -1 </math>.)

=== Fastkomplexe Mannigfaltigkeit ===
Eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit ist eine glatte Mannigfaltigkeit <math>M</math> zusammen mit einer fastkomplexen Struktur auf <math>M</math>.

== Eigenschaften ==
* Seien <math>M</math> und <math>N</math> zwei fastkomplexe Mannigfaltigkeiten mit den jeweiligen fastkomplexen Strukturen <math>J_M</math> und <math>J_N</math>. Eine stetig differenzierbare Abbildung <math>f\colon M\to N</math> heißt holomorph (oder pseudo-holomorph), wenn der [[Pushforward]] <math>df\colon TM\to TN</math> von <math>f</math> mit den fastkomplexen Strukturen von <math>M</math> und <math>N</math> verträglich ist, das heißt, es muss
::<math>df\circ J_M = J_N\circ df</math>
:gelten.

* Eine [[komplexe Mannigfaltigkeit]] ist automatisch auch eine fastkomplexe. Durch die komplexe Struktur werden die Tangentialräume zu komplexen Vektorräumen und durch <math>J v := i v</math> für <math>v \in TM</math> wird eine fastkomplexe Struktur definiert. Umgekehrt braucht eine fastkomplexe Mannigfaltigkeit im Allgemeinen keine komplexe Struktur zu besitzen. Falls es aber einen Atlas gibt mit Karten, deren Zielbereich ein komplexer Vektorraum ist und die im Sinne der fastkomplexen Struktur holomorph sind, dann ist dieser Atlas ein komplexer Atlas, der die fastkomplexe Struktur induziert. Man kann deshalb komplexe Mannigfaltigkeiten auch definieren als fastkomplexe Mannigfaltigkeiten, die einen holomorphen Atlas besitzen.

== Integrierbarkeit ==
{{Hauptartikel|Satz von Newlander-Nirenberg}}
Eine fastkomplexe Struktur heißt integrierbar, wenn sie einen holomorphen Atlas besitzt, das heißt eine [[komplexe Struktur]] ist. Der Satz von Newlander-Nirenberg besagt, dass eine fastkomplexe Struktur genau dann integrierbar ist, wenn der [[Nijenhuis-Tensor]] verschwindet.

== Beispiele ==

* Für jede natürliche Zahl <math>n</math> gibt es komplexe Strukturen auf dem <math>\R^{2n}</math>, zum Beispiel (<math>1\leq i, j \leq 2n</math>): <math>J_{ij} = -\delta_{i,j-1} </math> für ungerade <math>i</math> und <math>J_{ij} = \delta_{i,j+1} </math> für gerade <math>i</math>.
* Fastkomplexe Strukturen gibt es nur auf Mannigfaltigkeiten gerader Dimension. (Andernfalls hätte <math>J:TM\rightarrow TM</math> mindestens einen reellen Eigenwert im Widerspruch zu <math>J^2=-1</math>.)
* Im reell zweidimensionalen (das heißt im komplex-eindimensionalen) ist jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit eine komplexe Mannigfaltigkeit, also eine [[riemannsche Fläche]]. Dies kann man durch das Lösen der [[Beltrami-Gleichung]] zeigen.
* Die einzigen Sphären mit fastkomplexen Strukturen sind <math>S^2</math> und <math>S^6</math> ([[Armand Borel]], [[Jean-Pierre Serre]] 1953)<ref>[[Armand Borel]], [[Jean-Pierre Serre]]: ''Groupes de Lie et et puissances réduites de Steenrod.'' In: ''[[American Journal of Mathematics]].'' Band 75, Nummer 3, 1953, S. 409–448, {{doi|10.2307/2372495}}.</ref>. Die bekannte fastkomplexe Struktur – hergeleitet aus der Geometrie der [[Oktonion]]en – auf der <math>S^6</math> ist nicht integrierbar. Es ist nicht bekannt, ob es auf der <math>S^6</math> eine komplexe Struktur gibt. Im Allgemeinen wird aber vermutet, dass dies nicht so ist, wenn es auch Versuche gab, eine solche zu konstruieren. Beweisversuche der Nicht-Existenz gab es zum Beispiel von [[C. C. Hsiung]] (1986) und [[S. S. Chern]] (2003)<ref>[[Robert L. Bryant]]: ''S.-S. Chern's study of almost-complex structures on the six-sphere.'' [https://arxiv.org/abs/1405.3405 Arxiv 2014].</ref> und 2016 von [[Michael Atiyah]]<ref>[[Michael Atiyah]]: ''The Non-Existent Complex 6-Sphere.'' [https://arxiv.org/abs/1610.09366 Arxiv 2016].</ref>.
* Jede [[symplektische Mannigfaltigkeit]] ist fastkomplex.

== Hermitesche Metrik ==

Eine ''hermitesche Metrik'' <math>g</math> auf einer fastkomplexen Mannigfaltigkeit ist eine <math>J</math>-invariante [[riemannsche Metrik]], d. h. eine riemannsche Metrik, die
:<math>g(JX,JY)=g(X,Y)</math>
für alle <math>X,Y \in TM</math> erfüllt.

Die 2-Form
:<math>\Omega(X,Y):=g(X,JY)</math>
heißt ''fundamentale 2-Form'' der fast-hermitschen Mannigfaltigkeit. <math>(M,J,g)</math> heißt ''fast-kählersch'' wenn <math>d\Omega=0</math>.

<math>(M,J,g)</math> heißt ''hermitesche Mannigfaltigkeit'' wenn <math>J</math> integrierbar ist. Eine hermitesche Mannigfaltigkeit mit <math>d\Omega=0</math> ist eine [[Kählermannigfaltigkeit]].

== Literatur ==
* [[Klaus Fritzsche]], [[Hans Grauert]]: ''From Holomorphic Functions to Complex Manifolds'' (= ''[[Graduate Texts in Mathematics]].'' 213). Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95395-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Komplexe Mannigfaltigkeit]]

Fastkomplexe Mannigfaltigkeit - Versionsgeschichte

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