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2023-01-18T01:22:27Z

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Ein '''Fastkörper''' ist eine [[algebraische Struktur]], die in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] als Koordinatenbereich für gewisse [[Affine Translationsebene|affine und projektive Translationsebenen]] dient. Er verallgemeinert den Begriff [[Schiefkörper]] insofern, als nur eines der [[Distributivgesetz]]e gefordert wird: Für einen '''Linksfastkörper''' das Links-, für einen '''Rechtsfastkörper''' das Rechtsdistributivgesetz. Ein Fastkörper, der nur eines der Distributivgesetze erfüllt, wird auch als '''echter Fastkörper''' bezeichnet. Zur Unterscheidung von abweichenden Bedeutungen des Begriffes werden die hier beschriebenen Strukturen manchmal (etwa von [[Hans Julius Zassenhaus|Zassenhaus]]<ref name="Zassenhaus">Zassenhaus (1935)</ref>) '''vollständige Fastkörper''' genannt.

Die [[Projektive Ebene|projektiven Ebenen]] der Klassen IVa.2 in der [[Klassifikation projektiver Ebenen|Lenz-Barlotti-Klassifikation projektiver Ebenen]] können stets durch einen echten Linksfastkörper koordinatisiert werden, ebenso die (bis auf Isomorphie) einzige Ebene der Klasse IVa.3. Die dualen Klassen IVb.2 und IVb.3 können durch echte Rechtsfastkörper koordinatisiert werden. Daneben kann man aus angeordneten Fastkörpern durch eine Änderung der Multiplikation, die mit der [[Moulton-Ebene]]n-Konstruktion verwandt ist, Modelle für angeordnete [[Ternärkörper]] konstruieren, die Ebenen der Lenz-Klasse I koordinatisieren.<ref>Prieß-Crampe (1983) V.§5 Lenz-Barlotti-Klassifizierung angeordneter projektiver Ebenen</ref>

Auf einem ''endlichen'' Fastkörper als Koordinatenbereich kann man stets einen [[Schwach affiner Raum|schwach affinen Raum]]<ref>Sperner (1960)</ref> aufbauen.

Jeder Schiefkörper ist ein Fastkörper. Jeder Fastkörper ist ein [[Quasikörper]] und damit erst recht eine [[Kartesische Gruppe]] und ein Ternärkörper.

== Definition ==
Ein '''Linksfastkörper''' oder kurz '''Fastkörper''' ist eine algebraische Struktur <math>(F, +, \cdot),</math> sodass auf der Menge <math>F</math> zwei [[zweistellige Verknüpfung]]en ''Addition'' <math>+</math> und ''Multiplikation'' <math>\cdot</math> definiert sind, für die gilt:<ref name="Zassenhaus" /><ref name="Zemmer_1969">Zemmer (1969)</ref>
# <math>(F, +)</math> ist eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] mit dem neutralen Element <math>0.</math>
# <math>(F\setminus\{0\}, \cdot)</math> ist eine Gruppe mit dem neutralen Element <math>1.</math>
# Die Null ist [[Absorbierendes Element|absorbierend]]: <math> a\cdot 0 = 0\cdot a=0</math> gilt für alle <math>a\in F</math>.
# Es gilt das [[Distributivgesetz|Linksdistributivgesetz]]: <math>a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c</math> für alle <math>a, b, c \in F.</math>

Gilt anstelle des Linksdistributivgesetzes das Rechtsdistributivgesetz, dann spricht man von einem ''Rechts''fastkörper.<ref>In der englischsprachigen Fachliteratur wird häufiger den „Rechts“-Versionen, in der deutschsprachigen eher den „Links“-Versionen der Vorzug gegeben. In allen Fällen werden die qualifizierenden Angaben („''Links''quasikörper“ usw.) allenfalls am Anfang bei der Definition der Strukturen verwendet. Vergleiche Weibel (2007) S. 1300.</ref>

Gleichwertig kann man einen Linksfastkörper definieren als einen Linksquasikörper mit [[Assoziativgesetz|assoziativer]] Multiplikation.<ref name="HKlein_Nearfields">{{Internetquelle |url=http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/math/geometry/nearfield.html |titel=Nearfields |autor=Hauke Klein |hrsg=Universität Kiel |werk=Geometry |datum=2002-11-29 |zugriff=2011-12-15 |sprache=en |format=}}</ref> Entsprechendes gilt natürlich auch für die jeweiligen „Rechts“-Strukturen.

=== Kern des Fastkörpers ===
Wie bei einem [[Quasikörper]] wird auch für einen Fastkörper die Menge
:<math>\operatorname{Kern}(F) := \{x \in F \mid \forall a,b \in F\colon (a+b)x = ax+bx\}</math> für Linksfastkörper bzw.
:<math>\operatorname{Kern}(F) := \{x \in F \mid \forall a,b \in F\colon x(a+b) = xa+xb\}</math> für Rechtsfastkörper
als '''Kern''' des Fastkörpers definiert.

== Eigenschaften und Bemerkungen ==
* Ein Fastkörper ist ein [[Fastring]] <math>(F, +, \cdot),</math> bei dem <math>(F\setminus\{0\}, \cdot)</math> eine Gruppe ist.
* Die Addition eines Fastkörpers ist stets [[Kommutativgesetz|kommutativ]],<ref name="Zassenhaus" /><ref name="Zemmer_1969" /><ref>Neumann (1940)</ref> mit anderen Worten: <math>(F, +)</math> ist eine [[abelsche Gruppe]].
* Der Begriff „(vollständiger) Fastkörper“ der Geometrie steht zwischen den Begriffen „Quasikörper“ und „Schiefkörper“:
:* Jeder Fastkörper ist ein Quasikörper und ein Quasikörper ist genau dann ein Fastkörper, wenn in ihm das [[Assoziativgesetz]] der Multiplikation gilt.
:* Jeder Schiefkörper ist ein Fastkörper und ein Fastkörper ist genau dann ein Schiefkörper, wenn in ihm ''beide'' Distributivgesetze gelten.
* Ebenfalls zwischen „Quasikörper“ und „Schiefkörper“ stehen die Begriffe „[[Halbkörper (Geometrie)|Halbkörper]]“ (im Sinne der Geometrie) und der schärfere Begriff „[[Alternativkörper]]“, beide Begriffe beschreiben auch Strukturen, die keine Fastkörper sind und ein Fastkörper braucht kein Halbkörper und damit erst recht kein Alternativkörper zu sein.
:* Ein Halbkörper ist genau dann ein Fastkörper, wenn in ihm das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt, er ist dann sogar ein Schiefkörper. Mit anderen Worten: Eine algebraische Struktur, die zugleich Halbkörper und Fastkörper ist, ist zwingend ein Schiefkörper.
:* Die beiden vorigen Aussage gelten wortgleich für „Alternativkörper“ an Stelle von „Halbkörper“.
* Der Kern eines Fastkörpers ist ein Schiefkörper und der Fastkörper ist ein [[Modul (Mathematik)|Modul]] über seinem Kern. (Für geometrische Folgerungen aus dieser Tatsache siehe [[Affine Translationsebene]]!)
* Der Kern eines ''endlichen'' Fastkörpers ist nach dem [[Satz von Wedderburn]] ein [[endlicher Körper]]. Also ist jeder endliche Fastkörper ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem solchen endlichen Körper und hat daher <math>p^n</math> Elemente (<math>p</math> Primzahl, <math>n\in\mathbb{N}</math>).
* Ein Fastkörper ist genau dann ein Halbkörper – und damit auch ein Schiefkörper – wenn er mit seinem Kern übereinstimmt.

== Beispiele ==
* Jeder Schiefkörper und erst recht jeder Körper liefert natürlich ein Beispiel für einen Fastkörper.
* Der neunelementige Quasikörper <math> J_9</math>, der im Artikel [[Ternärkörper]] (im Abschnitt [[Ternärkörper#Beispiele der Ordnung 9|Beispiele der Ordnung 9]]) genauer beschrieben wird, ist ein Beispiel für einen endlichen Rechtsfastkörper, der kein Halbkörper ist.
* Für jede ungerade [[Primzahl]] <math>p</math> kann man im [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] mit <math> p^{2n}</math> Elementen, <math>\mathbb{F}_{p^{2n}},\; (n\in \mathbb{N}\setminus \lbrace 0\rbrace )</math> die Multiplikation so modifizieren, dass ein „echter“ vollständiger Linksfastkörper <math>F</math> der Ordnung <math>p^{2n}</math> entsteht, der ein zweidimensionaler [[Vektorraum]] über seinem Kern <math>\mathrm{Kern}(F)=\mathbb{F}_{p^n}</math> ist.<ref>Hughes (1957)</ref> Eine mögliche Konstruktion ist im Artikel [[Quasikörper]] im Abschnitt [[Quasikörper#Quasikörper endlicher Moulton-Ebenen|Quasikörper endlicher Moulton-Ebenen]] ausführlich beschrieben. Um das Assoziativgesetz der Multiplikation zu erfüllen, kann man dort der modifizierten Multiplikation den involutorischen Körperautomorphismus <math>\varphi: \mathbb{F}_{p^{2n}}\rightarrow \mathbb{F}_{p^{2n}}; x\mapsto x^{(p^n)}</math> zugrunde legen und erhält so einen Linksfastkörper der beschriebenen Art.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Daniel R. Hughes
|Titel=A class of non-Desarguesian projective planes
|Sammelwerk=Canadian Journal of Mathematics
|Band=9
|Verlag=London Mathematical Society
|Datum=1957
|ISSN=0008-414X
|Seiten=378–388
|Online=http://www.cms.math.ca/cjm/v9/p378
|DOI=10.4153/CJM-1957-045-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Bernhard Neumann (Mathematiker)|B. H. Neumann]]
|Titel=On the commutativity of addition
|Sammelwerk=Journal of the London Mathematical Society
|Band=s1-15
|Nummer=3
|Verlag=London Mathematical Society
|Datum=1940
|Seiten=203–208
|DOI=10.1112/jlms/s1-15.3.203}}
* {{Literatur
|Autor=Günter Pilz
|Titel=Near-Rings
|Verlag=North-Holland
|Ort=Amsterdam / New York / Oxford
|Datum=1977
|ISBN=0-7204-0566-1}}
* {{Literatur
|Autor=[[Sibylla Prieß-Crampe]]
|Titel=Angeordnete Strukturen
|TitelErg=Gruppen, Körper, projektive Ebenen
|Reihe=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
|BandReihe=98
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin / Heidelberg / New York
|Datum=1983
|ISBN=3-540-11646-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Emanuel Sperner]]
|Titel=Affine Räume mit schwacher Inzidenz und zugehörige algebraische Strukturen
|Sammelwerk=Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)
|Band=204
|Verlag=Universität Berlin
|Datum=1960
|ISSN=1435-5345
|Seiten=205–215
|DOI=10.1515/crll.1960.204.205}}
* {{Literatur
|Autor=[[Charles Weibel]]
|Titel=Survey of Non-Desarguesian Planes
|Sammelwerk=Notices of the [[American Mathematical Society]]
|Band=54
|Verlag=American Mathematical Society
|Datum=2007-11
|Seiten=1294–1303
|Online=http://www.ams.org/notices/200710/tx071001294p.pdf
|Format=PDF
|KBytes=702}}
* {{Literatur
|Autor=[[Hans Zassenhaus]]
|Titel=Über endliche Fastkörper
|Sammelwerk=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
|Nummer=11
|Verlag=Springer
|Datum=1935
|Seiten=187–220}}
* {{Literatur
|Autor=J. L. Zemmer
|Titel=The additive group of an infinite near-field is abelian
|Sammelwerk=Journal of the London Math. Soc.
|Band=s1-44
|Nummer=1
|Verlag=London Mathematical Society
|Datum=1969
|Seiten=65–67
|Sprache=en
|Online=[http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-44/1/65.extract Anfang des Artikels]
|DOI=10.1112/jlms/s1-44.1.65}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4221664-3}}

{{SORTIERUNG:Fastkorper}}
[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Verallgemeinerter Körper]]

Fastkörper - Versionsgeschichte

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