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2022-06-16T04:53:58Z

Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

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Die '''fast sichere Konvergenz''', auch '''P-fast sichere Konvergenz''' oder '''fast sichere punktweise Konvergenz''' ist ein Begriff aus der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]], einem Teilgebiet der Mathematik. Die fast sichere Konvergenz ist neben der [[Konvergenz im p-ten Mittel]], der [[Stochastische Konvergenz|stochastischen Konvergenz]] und der [[Konvergenz in Verteilung]] einer der vier wichtigsten Konvergenzbegriffe für Folgen von [[Zufallsvariable]]n und ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Pendant zur [[Konvergenz μ-fast überall|Konvergenz fast überall]] der [[Maßtheorie]]. Die fast sichere Konvergenz findet beispielsweise Verwendung bei der Formulierung des [[Starkes Gesetz der großen Zahlen|starken Gesetzes der großen Zahlen]].

== Definition ==
=== Allgemeiner Fall ===
Sei <math> (\Omega, \mathcal A , P) </math> ein [[Wahrscheinlichkeitsraum]] und <math>(M ,d)</math> ein separabler, metrischer Raum (wie zum Beispiel der <math> \R^n </math> ) versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] <math> \mathcal B (M) </math> sowie <math> X, X_n </math> Zufallsvariablen von <math> (\Omega, \mathcal A , P) </math> nach <math> (M,\mathcal B (M))</math>.
Die Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n \in \N } </math> konvergiert dann ''fast sicher'' oder ''P-fast sicher'' gegen <math> X</math>, wenn eine Menge <math> N \in \mathcal A </math> existiert mit <math> P(N)=0 </math> und
:<math> \lim_{n \to \infty} d(X(\omega),X_n(\omega))=0 </math>

für alle <math> \omega \in \Omega \setminus N </math>. Man schreibt dann auch <math> X_n \xrightarrow[]{f.s.} X </math>, <math> X_n \xrightarrow[]{P\text{-f.s.}} X </math> oder <math> X_n \rightarrow X \; P</math>-f.s.

=== Für reelle Zufallsvariablen ===
Alternativ findet sich für reelle Zufallsvariablen auch die Formulierung, dass die Zufallsvariablen genau dann fast sicher konvergieren, wenn
:<math> P\left( \{\omega \in \Omega \colon \lim_{n \to \infty}X_n(\omega)=X(\omega)\}\right) =1 </math>

ist.

== Beispiele ==
Betrachte als Beispiel die Grundmenge der reellen Zahlen im Intervall von 0 bis 1, also <math> \Omega=[0,1] </math>, versehen mit der Borelschen σ-Algebra <math> \mathcal B ([0,1]) </math>. Das Wahrscheinlichkeitsmaß <math> P </math> sei das [[Diracmaß]] auf der 1, also
:<math> \delta_1(A) :=
\begin{cases}
1\ , & \text{falls } 1 \in A\ , \\
0\ , & \mathrm{sonst}\ .
\end{cases}
</math>

für <math> A \in \mathcal B ([0,1]) </math>. Gegeben seien zwei Zufallsvariablen von <math> ([0,1],\mathcal B ([0,1]),\delta_1) </math> nach <math> ([0,1],\mathcal B ([0,1])) </math> definiert durch
:<math> X(\omega):=\begin{cases} 1 & \text{falls } \omega =1 \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} </math>.

und
:<math>Y(\omega):=0 \text{ für alle } \omega \in [0,1] </math>

Eine Folge von Zufallsvariablen sei definiert durch
:<math> X_n(\omega):=\left(1-\tfrac{1}{n}\right)\chi_{[0,1)}(\omega) </math>.

Dabei bezeichnet <math> \chi </math> die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]].
Die Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n \in N} </math> konvergiert für <math>n</math> gegen unendlich für jedes <math> \omega \in [0,1) </math> gegen 1 und für <math> \omega=1 </math> gegen 0. Demnach ist
:<math> \{ \omega \in \Omega | \lim_{n \to \infty} X_n (\omega)=X(\omega) \} =\emptyset </math>,

daher konvergieren die <math> X_n </math> nicht fast sicher gegen <math> X(\omega) </math>, da für jedes Wahrscheinlichkeitsmaß <math> P(\emptyset)=0 </math> gilt. Es ist aber
:<math> \{ \omega \in \Omega \colon \lim_{n \to \infty} X_n (\omega)=Y(\omega) \} =\{1\} </math>

Da aber <math> \delta_1(\{1\})=1</math> ist, konvergieren die <math> X_n </math> fast sicher gegen <math> Y </math>, obwohl die punktweise Konvergenz nur in einem einzigen Punkt stattfindet. Dieser wird aber durch das Diracmaß maximal gewichtet.

== Eigenschaften ==
Die fast sichere Konvergenz der Folge <math> (X_n)_{n \in \N} </math> ist äquivalent dazu, dass
:<math> P \left( \bigcup_{m=n}^\infty \left\{ \omega \in \Omega \, | \, \vert X_m-X \vert \geq \epsilon \right\} \right) \xrightarrow[]{n \to \infty} 0 </math>

gilt. Mit der [[Bonferroni-Ungleichung]] erhält man dann das folgende hinreichende Kriterium für die fast sichere Konvergenz:
:<math> \sum_{m=1}^\infty P (|X-X_m| \geq \epsilon) \quad < \infty </math>

für alle <math> \epsilon > 0 </math>. Die Terme der Form <math>P( |X-X_m| \geq \epsilon )</math> können dann beispielsweise mit der [[Markow-Ungleichung (Stochastik)|Markow-Ungleichung]] abgeschätzt werden.

== Beziehung zu anderen Konvergenzarten der Stochastik ==
Allgemein gelten für die Konvergenzbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie die Implikationen
:<math> \begin{matrix} \text{Fast sichere} \\ \text{Konvergenz} \end{matrix} \implies
\begin{matrix} \text{Konvergenz in} \\ \text{Wahrscheinlichkeit} \end{matrix} \implies
\begin{matrix} \text{Konvergenz in} \\ \text{Verteilung} \end{matrix} </math>

und

:<math> \begin{matrix} \text{Konvergenz im} \\ \text{p-ten Mittel} \end{matrix} \implies
\begin{matrix} \text{Konvergenz in} \\ \text{Wahrscheinlichkeit} \end{matrix} \implies
\begin{matrix} \text{Konvergenz in} \\ \text{Verteilung} \end{matrix} </math>.

Die Fast sichere Konvergenz ist also einer der starken Konvergenzbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. In den unten stehenden Abschnitten sind die Beziehungen zu den andere Konvergenzarten genauer ausgeführt.
=== Konvergenz in Wahrscheinlichkeit ===
Aus der fast sicheren Konvergenz folgt die [[Konvergenz in Wahrscheinlichkeit]]. Um dies zu sehen, definiert man die Mengen
:<math> B_N:= \{ \omega \in \Omega \colon \vert X_n-X\vert < \epsilon\quad \forall n \geq N\} \text{ und } B:=\bigcup_{i=1}^\infty B_i </math>.

Die <math> B_N </math> bilden eine [[monoton wachsende Mengenfolge]], und die Menge <math> B </math> enthält die Menge
:<math> A:=\{\omega \in \Omega \colon \lim_{n \to \infty}X_n=X\} </math>

der Elemente, auf denen die Folge punktweise konvergiert. Nach Voraussetzung ist <math> P(A)=1 </math> und damit auch <math> P(B)=1 </math> und demnach <math> \lim_{N \to \infty} P(B_N)=1 </math>. Durch Komplementbildung folgt dann die Aussage.

Die Umkehrung gilt aber im Allgemeinen nicht. Ein Beispiel hierfür ist die Folge von unabhängigen [[Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilten]] Zufallsvariablen zum Parameter <math> \tfrac 1n </math>, also <math> X_n \sim \operatorname{Ber}_{\frac 1n} </math>. Dann ist
:<math> \lim_{n \to \infty}P(|X_n| \geq \epsilon)= 0 </math>

für alle <math> \epsilon > 0 </math> und somit konvergiert die Folge in Wahrscheinlichkeit gegen 0. Die Folge konvergiert aber nicht fast sicher, man zeigt dies mit dem hinreichenden Kriterium für fast sichere Konvergenz und dem [[Borel-Cantelli-Lemma]].

Bedingungen, unter denen aus der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit die fast sichere Konvergenz folgt sind:
* Die Konvergenzgeschwindigkeit der Konvergenz in Wahrscheinlichkeit ist ausreichend schnell, sprich es gilt
:<math> \sum_{i=1}^\infty P( \vert X_i-X \vert \geq \epsilon) < \infty </math>.
* Der Grundraum <math> \Omega </math> lässt sich als abzählbare Vereinigung von [[Atom (Maßtheorie)|μ-Atom]]en darstellen. Dies ist bei Wahrscheinlichkeitsräumen mit höchstens abzählbarer Grundmenge immer möglich.
* Ist die Folge der Zufallsvariablen fast sicher streng monoton fallend und konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen 0, so konvergiert die Folge fast sicher gegen 0.

Allgemeiner besitzt jede in Wahrscheinlichkeit konvergierende Folge eine [[Teilfolge]], die fast sicher konvergiert.

=== Konvergenz in Verteilung ===
Die [[Skorochod-Darstellung]] trifft eine Aussage darüber, unter welchen Bedingungen aus der [[Konvergenz in Verteilung]] auf die fast sichere Konvergenz geschlossen werden kann.

=== Konvergenz im p-ten Mittel ===
Im Allgemeinen folgt aus der [[Konvergenz im p-ten Mittel]] ''nicht'' die fast sichere Konvergenz. Betrachtet man beispielsweise eine Folge von Zufallsvariablen mit
:<math> P(X_n=0)=1-P(X_n=1)=1-\tfrac 1n </math>,

so ist für alle <math> p > 0 </math>
:<math> \operatorname E(|X_n|^p)=P(X_n=1)=\tfrac{1}{n} </math>,
was gegen null konvergiert. Somit konvergieren die Zufallsvariablen im <math>p</math>-ten Mittel gegen 0. Jedoch kann die Abhängigkeits-Struktur der <math> X_n </math> untereinander (das heißt das Zusammenspiel der Träger der <math> X_n </math> in <math> \Omega </math>) so gestaltet sein, dass die <math> X_n </math> nicht fast sicher konvergieren. Ein [[Konvergenz (Stochastik)#Beispiel|ähnliches aber detaillierteres und konkreteres Beispiel]] ist im Artikel [[Konvergenz (Stochastik)]] zu finden.

Konvergiert allerdings eine Folge von Zufallsvariablen <math> (X_n)_{n \in \N } </math> im p-ten Mittel gegen <math> X </math> und gilt
:<math> \sum_{n=1}^\infty \operatorname{E}(|X_n-X|^p) < \infty </math>,

dann konvergiert die Folge auch fast sicher gegen <math> X </math>. Die Konvergenz muss also „schnell genug“ sein. (Alternativ kann man auch nutzen, dass bei Gültigkeit des [[Konvergenzsatz von Vitali]] die Konvergenz nach Wahrscheinlichkeit und die fast sichere Konvergenz zusammenfallen. Sind somit die Voraussetzungen dieses Satzes erfüllt, so folgt aus Konvergenz im <math>p</math>-ten Mittel die fast sichere Konvergenz, da aus der Konvergenz im <math>p</math>-ten Mittel automatisch die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit folgt.)

Umgekehrt folgt aus der fast sicheren Konvergenz auch nicht die Konvergenz im <math>p</math>-ten Mittel. Betrachtet man beispielsweise auf dem Wahrscheinlichkeitsraum <math> ([0,1], \mathcal B ([0,1]), \mathcal U_{[0,1]}) </math> die Zufallsvariablen
:<math> X_n(\omega)=n^2 \cdot \mathbf 1_{\left[0,\tfrac 1n \right]}(\omega) </math>,

so konvergiert diese für <math> \omega \in (0,1] </math> punktweise gegen 0 und damit auf ganz <math> [0,1] </math> fast sicher gegen 0 (<math> \mathcal U_{[0,1]} </math> bezeichnet hier die Gleichverteilung auf <math> [0,1] </math>).

Es ist aber <math> \operatorname E (|X_n|^p)=n^{2p-1} </math> und die Folge ist demnach unbeschränkt für alle <math> p \geq 1 </math>, kann also nicht konvergieren.

Allerdings liefert der [[Satz von der majorisierten Konvergenz]] ein Kriterium, unter dem diese Folgerung korrekt ist. Konvergieren die <math>X_n</math> fast sicher und existiert eine Zufallsvariable <math> Y </math> mit <math> \operatorname{E}(\vert Y\vert^p)<\infty </math> und ist <math> X_n \leq Y </math> fast sicher, so konvergieren die <math>X_n</math> im <math>p</math>-ten Mittel gegen <math> X </math> und auch für <math>X</math> gilt <math> \operatorname{E}(\vert X\vert^p)<\infty </math>.

== Literatur ==
*{{Literatur|Autor=[[Christian Hesse (Mathematiker)|Christian Hesse]]|Titel=Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=1.|Verlag=Vieweg|Ort=Wiesbaden|Jahr=2003|ISBN=3-528-03183-2 |Seiten=216–238| DOI=10.1007/978-3-663-01244-3 }}
*{{Literatur|Autor=[[Achim Klenke]]|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Konvergenzbegriff]]

Fast sichere Konvergenz - Versionsgeschichte

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