imported>1234qwer1234qwer4: /* Definition */ falsches Komma

2024-04-15T10:37:08Z

Definition: falsches Komma

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'''Fast sicher''' ist ein Begriff der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] und Spezialfall des Begriffs ''[[fast überall]]'' aus der [[Maßtheorie]]. Ein zufälliges [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignis]], das mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt, wird ''fast sicher'' genannt. Entsprechend heißt ein Ereignis '''fast unmöglich''', wenn die Wahrscheinlichkeit seines Eintretens null ist. Diese Begriffe spielen beispielsweise bei der [[Fast sichere Konvergenz|fast sicheren Konvergenz]] von [[Zufallsvariable]]n eine wichtige Rolle, wie sie in der Situation des [[Gesetz der großen Zahlen|Gesetzes der großen Zahlen]] auftritt.

== Definition ==

In einem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega, \Sigma, P)</math> heißt ein Ereignis <math>E \in \Sigma</math> ''fast sicher'', wenn
:<math>P(E) \; = \; 1</math>
gilt. Äquivalent hierfür ist die Bedingung <math>P(E^C)=0</math>.

Es heißt ''fast unmöglich'', wenn gilt:
:<math>P(E) \; = \; 0.</math>
Äquivalent hierfür die Bedingung <math>P(E^C)=1</math>.

Nicht jedes fast sichere Ereignis muss notwendig eintreten, sondern es tritt auf einer Menge vom Maß eins auf. Das sichere Ereignis <math>E = \Omega</math> ist auch fast sicher, da es mit Wahrscheinlichkeit eins eintritt.

Ein fast unmögliches Ereignis kann möglicherweise eintreten, aber nur auf einer Menge vom Maß null. Das unmögliche Ereignis <math>E = \empty</math> ist auch fast unmöglich.

== Beispiele ==
Bei einer [[Gleichverteilung]] auf dem [[Intervall (Mathematik)|Intervall]] <math>[0,1] \subset \mathbb R</math> gilt:
* Die Wahrscheinlichkeit, genau eine bestimmte Zahl <math>x \in [0,1]</math> zufällig zu treffen, ist 0, obwohl dieses Ereignis nicht unmöglich ist. Entsprechend ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine Zahl außer <math>x</math> zu treffen, gleich 1, aber dieses Ereignis wird nicht notwendig eintreten.
* Auch die Wahrscheinlichkeit, irgendeine [[rationale Zahl]] in <math>[0,1]</math> zu treffen, ist 0, da es in diesem Bereich nur abzählbar unendlich viele rationale Zahlen gibt, deren Menge also nur das [[Lebesgue-Maß]] 0 hat. Dagegen ist die Wahrscheinlichkeit, irgendeine [[irrationale Zahl]] zu treffen, gleich 1, obwohl dieses Ereignis nicht eintreten muss.

== Literatur ==
* Manfred Precht, Karl Voit, Roland Kraft: ''Mathematik 1 für Nichtmathematiker.'' 7. Auflage. Oldenbourg, München, Wien 2006, ISBN 3-486-27407-4, Abschnitt 5.6, S. 178 ({{Google Buch|BuchID=P8269gAr1BwC|Seite=178|Linktext=eingeschränkte Online-Kopie|Land=DE}})
* Gerd Christoph, Horst Hackel: ''Starthilfe Stochastik.'' Teubner, Stuttgart u. a. 2002, ISBN 3-519-00341-4, Abschnitt 2.6, S. 32 ({{Google Buch|BuchID=Hiw25tqvScsC|Seite=32|Linktext=eingeschränkte Online-Kopie|Land=DE}})

[[Kategorie:Stochastik]]

Fast sicher - Versionsgeschichte

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