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2026-02-17T13:40:26Z

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{{Dieser Artikel|behandelt den Begriff ''fast alle'' in der Bedeutung ''alle bis auf endlich viele''. Für den Gebrauch in der Maß- und Integrationstheorie und in der Wahrscheinlichkeitstheorie siehe [[fast überall]] bzw. [[fast sicher]].}}

'''Fast alle''' (von frühneuhochdeutsch ''fast'' als später von ''sehr'' abgelöste und älteres ''schier'' ersetzende Verstärkung<ref>[[Friedrich Kluge]], [[Alfred Götze (Philologe)|Alfred Götze]]: ''[[Etymologisches Wörterbuch der deutschen Sprache]].'' 20. Auflage. Herausgegeben von [[Walther Mitzka]]. De Gruyter, Berlin / New York 1967; Neudruck („21. unveränderte Auflage“) ebenda 1975, ISBN 3-11-005709-3, S. 186.</ref>) ist in der [[Mathematik]] meist eine [[Abkürzung]] für ''alle bis auf endlich viele'', meist im Zusammenhang mit [[abzählbare Menge|abzählbaren]] Grundmengen.
Man sagt, eine Eigenschaft <math>\mathcal{E}</math> werde von ''fast allen'' Elementen einer unendlichen [[Menge (Mathematik)|Menge]] erfüllt, wenn nur endlich viele Elemente <math>\mathcal{E}</math> nicht erfüllen. Teilmengen, die ''fast alle'' Elemente einer Menge enthalten, heißen auch ''koendlich'' oder ''kofinit'', weil ihr [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] endlich ist.

Es gibt aber auch abweichende Verwendungen des Begriffs, wie unten weiter ausgeführt wird.

== Spezialisierung auf Folgen ==
Die Eigenschaft <math>\mathcal{E}</math> trifft auf ''fast alle'' Glieder einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] zu, wenn höchstens endlich viele Folgenglieder Gegenbeispiele sind.

Dies lässt sich auch so charakterisieren: Es gibt ein Folgenglied, von dem an die Eigenschaft für ''alle'' nachfolgenden Glieder gilt.

Formal: <math>\exists N\in\mathbb{N}\colon \forall n>N\colon \mathcal{E}(a_n)</math>.

Dies darf nicht verwechselt werden mit der Forderung
<math>\forall N\in\mathbb{N}\colon \exists n>N\colon \mathcal{E}(a_n)</math>, die bedeutet, dass <math>\mathcal{E}</math> für [[Unendliche Menge|unendlich viele]] Folgenglieder gilt. Dies ist eine echt schwächere Forderung, denn sie schließt nicht aus, dass <math>\mathcal{E}</math> für unendlich viele Folgenglieder auch ''nicht'' gilt.

== Beispiele und Gegenbeispiele ==

# Es gibt unendlich viele durch 3 teilbare [[natürliche Zahl]]en, denn zu jeder vorgegebenen natürlichen Zahl <math>N</math> kann man eine größere finden, die durch 3 teilbar ist, denn eine der Zahlen <math>N+1, N+2</math> oder <math>N+3</math> muss diese Eigenschaft haben. Genauso gibt es aber unendlich viele ''nicht'' durch 3 teilbare Zahlen. Der Begriff ''fast alle'' greift hier nicht.
# ''Fast alle'' der durch drei teilbaren positiven Zahlen sind größer als 15 Billionen, denn es gibt endlich viele (nämlich 5 Billionen) durch 3 teilbare Zahlen, die nicht größer als 15 Billionen sind; die unendlich vielen anderen durch drei teilbaren Zahlen sind aber größer als 15 Billionen.
# Eine reelle Zahlenfolge <math>(a_n \mid n \in \N)</math>:
#* hat einen [[Häufungspunkt]] <math>b</math>, wenn für jedes <math>\varepsilon > 0</math> unendlich viele Folgenglieder im offenen Intervall <math>]b-\varepsilon,b+\varepsilon[</math> liegen. Es können aber auch unendlich viele Folgenglieder außerhalb des Intervalls liegen und es kann sogar weitere Häufungspunkte geben.
#* hat den [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]] <math>b</math>, wenn für jedes <math>\varepsilon > 0</math> ''fast alle'' Folgenglieder im offenen Intervall <math>]b-\varepsilon,b+\varepsilon[</math> liegen – also nur endlich viele außerhalb.
# Es gibt erheblich mehr [[reelle Zahl]]en als ganze Zahlen. Dennoch kann man nicht sagen, dass ''fast alle'' reellen Zahlen nicht ganz sind, da es ja unendlich viele ganze reelle Zahlen gibt (wenn auch nur [[Abzählbare Menge|abzählbar]] viele).
# Ist <math>I</math> eine beliebige [[Indexmenge (Mathematik)|Indexmenge]] und hat man zu jedem Index <math>i\in I</math> eine (z. B. reelle) Zahl <math>a_i</math>, so kann man ohne Rückgriff auf einen Konvergenzbegriff die Summe aller <math>a_i</math> nur sinnvoll definieren, wenn ''fast alle'' <math>a_i = 0</math> sind, nämlich als Summe der endlich vielen von 0 verschiedenen Zahlen.

== Verallgemeinerung ==

Sei <math>F</math> ein [[Mengenfilter]] auf einer Menge <math>X</math>. Eine Eigenschaft <math>\mathcal E</math> gilt ''<math>F</math>-fast überall auf <math>X</math>'' (oder ''für <math>F</math>-fast alle <math>x</math> in <math>X</math>''), wenn die Menge jener <math>x</math> in <math>X</math>, die die Eigenschaft <math>\mathcal E</math> erfüllen, im Filter <math>F</math> liegt.

Der oben erklärte Begriff ''fast alle'' ist genau der Begriff ''<math>F</math>-fast alle'' für den Spezialfall des aus allen kofiniten Teilmengen von <math>X</math> bestehenden [[Fréchet-Filter]]s.

In der [[Maß (Mathematik)|Maßtheorie]] wird oft ein anderer Spezialfall betrachtet; wenn man den Filter <math>F</math> jener Mengen zugrunde legt, deren Komplement Maß 0 hat, so bedeutet ''<math>F</math>-fast alle'' dasselbe wie [[fast überall]] und ist nützlich, weil ''fast überall'' nicht auf Elemente von Mengen bezogen werden kann.

==Zahlentheorie==
In der [[Zahlentheorie]] spricht man auch davon, dass ''fast alle'' natürlichen Zahlen in einer Menge <math>A</math> sind, falls <math>\lim_{n \to \infty} \frac {A(n)}{n} =1</math>, wobei <math> A(n)</math> die Anzahl der Elemente <math>x</math> in <math>A</math> mit <math>x < n</math> ist.<ref>Hardy, Wright, An Introduction to the theory of numbers, 4. Auflage, Oxford, Clarendon Press 1975, S. 8</ref> Das lässt sich auch mit den [[Landau-Symbol]]en ausdrücken: <math> \bar A (n) \in o(n)</math>, mit <math>\bar A (n)=n-A(n)</math>. Außer den natürlichen Zahlen können auch andere unendliche Mengen als Basis gewählt werden. Beispielsweise sind fast alle natürlichen Zahlen zusammengesetzt und fast alle Primzahlen [[Primzahlzwilling#Isolierte Primzahl|isoliert]].

==Einzelnachweise==
<references />

[[Kategorie:Mathematik]]

Fast alle - Versionsgeschichte

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