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2022-09-26T11:11:11Z

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Die Sprechweise, dass eine Eigenschaft '''fast überall''' gilt, stammt aus der [[Maßtheorie]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]], und ist eine Abschwächung dafür, dass die Eigenschaft [[Allquantor|für alle]] Elemente einer Menge gilt.

Sie bezeichnet häufig bei unendlichen Grundmengen, dass die Eigenschaft für alle außer für endliche viele Elemente gilt (siehe [[Fast alle]]). Im Folgenden wird die Definition in der Maßtheorie behandelt.

== Definition ==
Gegeben sei ein [[Maßraum]] <math> (\Omega, \mathcal{A}, \mu) </math> und eine Eigenschaft <math> E </math>, die für alle Elemente von <math> \Omega </math> sinnvoll definiert werden kann. Man sagt nun, dass die Eigenschaft <math> E </math> ''fast überall'' (oder <math>\mu</math>''-fast überall'' oder für <math>\mu</math>''-fast alle'' Elemente) gilt, wenn es eine [[Nullmenge|<math> \mu </math>-Nullmenge]] <math> N </math> gibt, sodass alle Elemente im [[Komplement (Mengenlehre)|Komplement]] <math> N^C </math> der Nullmenge die Eigenschaft haben.

== Bemerkung ==
Wichtig ist, dass die Eigenschaft <math> E </math> wirklich für alle <math> \omega \in \Omega </math>, also die Elemente der Grundmenge definiert werden kann. Außerdem wird insbesondere nicht gefordert, dass die Menge, auf der <math> E </math> ''nicht'' gilt, messbar ist. Diese Menge muss nur in einer Nullmenge enthalten sein. Bei [[Vollständiges Maß|vollständigen Maßen]] fällt beides zusammen.

== Beispiele ==
=== Lebesgue-Maß ===
Betrachten wir als Beispiel den Maßraum <math> ([0,1],\mathcal{B} ([0,1]), \lambda) </math>, das heißt das [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Einheitsintervall]] von 0 bis 1, versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|Borelschen σ-Algebra]] und dem [[Lebesgue-Maß]]. Betrachtet man nun die Funktionenfolge
:<math> f_n(x)=x^n </math>,

so konvergiert diese auf <math> [0,1) </math> gegen 0, auf der Punktmenge <math> \{1\} </math> ist sie konstant 1. Da aber jede Punktmenge eine Lebesgue-Nullmenge ist, und die Funktionenfolge auf dem Komplement (im Maßraum) der 1 gegen 0 konvergiert, so konvergiert sie <math> \lambda </math>-fast überall gegen 0.

Die [[Dirichlet-Funktion]]
:<math>D(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{wenn }x\mbox{ rational,} \\ 0, & \mbox{wenn }x\mbox{ irrational.} \end{cases}</math>
auf dem Einheitsintervall ist <math>\lambda</math>-fast überall gleich 0, denn <math>\lambda(\{x\in[0,1]; D(x) \not=0\}) = \lambda([0,1]\cap\Q)=0</math>.

=== Dirac-Maß ===
Wir wählen wieder denselben Maßraum wie oben, diesmal versehen mit dem [[Dirac-Maß]] auf der 1 <big>(</big><math> \mu_2=\delta_1 </math><big>)</big>. Bei Untersuchung derselben Funktionenfolge liefert dieses Maß genau das gegenteilige Ergebnis: Das Intervall <math> [0,1) </math> ist eine <math> \delta_1 </math>-Nullmenge und die Funktionenfolge ist auf der Menge <math> \{1\} </math> mit Maß 1 konstant. Damit ist die Funktionenfolge <math> \delta_1 </math>-fast überall konstant.

Die Dirichlet-Funktion ist <math>\delta_1</math>-fast überall gleich 1, denn <math>\delta_1(\{x\in[0,1]; D(x)\not = 1\}) = \delta_1([0,1]\setminus\Q) = 0</math>.

Die Wahl und Angabe des verwendeten Maßes ist also essentiell für die Verwendung der Sprechweise „fast überall“.

=== Abzählbar-Maß ===
Für eine beliebige Menge <math>X</math> ist <math>(X,\mathcal{P}(X),\mu_{\le\aleph_0})</math> ein Maßraum, wobei für alle <math>A\subseteq X</math> definiert wird:
:<math>\mu_{\le\aleph_0}(A) =\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }A\mbox{ abzählbar,} \\ \infty, & \mbox{wenn }A\mbox{ überabzählbar.} \end{cases}</math>

Der Begriff „<math>\mu_{\aleph_0}</math>-fast alle“ bedeutet dann: Für alle Elemente, mit Ausnahme von höchstens abzählbar vielen.

Ein analoger Maßbegriff zu „fast alle“ mit der Bedeutung „für alle Elemente bis auf ''endlich'' viele Ausnahmen“ ist über Maße nicht möglich. Eine derartige Funktion
:<math>\mu_{<\aleph_0}(A) =\begin{cases} 0, & \mbox{wenn }A\mbox{ endlich,} \\ \infty, & \mbox{wenn }A\mbox{ unendlich,} \end{cases}</math>
ist für unendliche <math>X</math> nicht σ-additiv.

== Fast sicher ==
In der [[Stochastik]] wird auf dem [[Wahrscheinlichkeitsraum]] <math>(\Omega,\mathcal{A},P)</math> eine Eigenschaft, die ''fast überall'' gilt, auch als [[Fast sichere Eigenschaften | ''fast sichere'']] (oder <math>P</math>''-fast sichere'') Eigenschaft bezeichnet.

== Anwendung ==
Als typische und wichtige Anwendung des hier vorgestellten Begriffs betrachten wir wieder den Maßraum <math> ([0,1],\mathcal{B} ([0,1]), \lambda) </math> und eine messbare Funktion <math>f\colon[0,1]\rightarrow \R</math>.
:Aus   <math>\int_{[0,1]}|f|\mathrm{d}\lambda = 0</math>   folgt   <math>f=0</math>   fast überall.

Beweis: Wäre nicht <math>f=0</math> fast überall, so wäre <math>\textstyle 0<\lambda(\{x\in[0,1]; f(x) \not= 0\}) = \lambda(\bigcup_{n\in\N}\{x\in[0,1];|f(x)|>\tfrac{1}{n}\})</math> und es gäbe ein <math>n\in\N</math> mit <math>\textstyle 0<\lambda(\{x\in[0,1];|f(x)|>\frac{1}{n}\})</math>. Da <math>\textstyle |f| \ge \tfrac{1}{n}\chi_{\{x\in[0,1];|f(x)|>\frac{1}{n}\}}</math>, folgt <math>\textstyle \int_{[0,1]}|f|\mathrm{d}\lambda \ge \int_{[0,1]}\frac{1}{n}\chi_{\{x\in[0,1];|f(x)|>\frac{1}{n}\}}\mathrm{d}\lambda = \frac{1}{n}\cdot \lambda(\{x\in[0,1];|f(x)|>\tfrac{1}{n}\}) > 0</math>, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss <math>f=0</math> fast überall sein.

== Siehe auch ==
* [[Punktweise Konvergenz μ-fast überall]]
* [[Gleichmäßige Konvergenz μ-fast überall]]
* [[Fast alle]] (bei [[Abzählbare Menge|abzählbar]] unendlichen Grundmengen)

== Literatur ==
* [[Jürgen Elstrodt]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'' 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2.

[[Kategorie:Maßtheorie]]

Fast überall - Versionsgeschichte

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