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2026-04-05T15:37:10Z

Homotopie-Hochhebungseigenschaft: revert

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Der Begriff der '''Faserung''' verallgemeinert den Begriff eines [[Faserbündel]]s und spielt in der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]], einem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der Mathematik eine wichtige Rolle. Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in [[Postnikow-Turm|Postnikow-Systemen]] oder der [[Obstruktionstheorie]].

In diesem Artikel sind alle Abbildungen [[Stetige Funktion|stetige]] Abbildungen zwischen [[Topologischer Raum|topologischen Räumen]].

== Definitionen ==
=== Homotopie-Hochhebungseigenschaft ===
{{Hauptartikel|Homotopie-Hochhebungseigenschaft}}
Eine Abbildung <math>p \colon E \to B</math> erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum <math>X</math>, falls:

* für jede [[Homotopie]] <math>h \colon X \times [0, 1] \to B</math> und
* für jede Abbildung (auch ''Lift'' genannt) <math>\tilde h_0 \colon X \to E ,</math> die <math>h_0 = h|_{X \times {0}}</math> hochhebt (bzw. ''liftet'') (d. h. <math>h_0 = p \circ \tilde h_0</math>),

existiert eine Homotopie <math>\tilde h \colon X \times [0, 1] \to E,</math> die <math>h</math> hochhebt (d. h. <math>h = p \circ \tilde h</math>) mit <math>\tilde h_0 = \tilde h|_{X \times {0}}.</math>

Das folgende [[Kommutatives Diagramm|kommutative Diagramm]] zeigt die Situation:<ref name=":1">{{Literatur |Autor=Edwin Henry Spanier |Titel=Algebraic topology |Auflage=1. corr. Springer ed |Verlag=Springer |Ort=New York Berlin Barcelona Budapest |Datum=1995 |ISBN=978-0-387-94426-5 |Seiten=66 |Abruf=2026-04-05}}</ref>
[[Datei:Homotopie-Hochhebungseigenschaft.svg|rahmenlos|zentriert|240x240px]]

=== {{Anker|Hurewicz}} Faserung ===
Eine '''Faserung''' (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung <math>p \colon E \to B ,</math> welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume <math>X</math> erfüllt. Der Raum <math>B</math> wird '''Basisraum''' und der Raum <math>E</math> wird '''Totalraum''' genannt. Als '''Faser''' '''über''' <math>b \in B</math> bezeichnet man den Unterraum <math>p^{-1}(b) = F_b \subseteq E .</math><ref name=":1" />

=== {{Anker|Serre}} Serre-Faserung ===
Eine '''Serre-Faserung''' (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung <math>p \colon E \to B ,</math> welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle [[Zellkomplex|CW-Komplexe]] erfüllt.<math>^{[1]S.375-376}</math>

Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

=== Quasifaserung ===
Eine Abbildung <math>p \colon E \to B</math> wird '''Quasifaserung''' genannt, falls für jedes <math>b \in B,</math> <math>e \in p^{-1}(b)</math> and <math>i \geq 0</math> gilt, dass die induzierte Abbildung <math>p_* \colon \pi_i (E, p^{-1}(b), e) \to \pi_i(B, b)</math> ein [[Isomorphismus]] ist.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.<math>^{[5] S. 241-242}</math>

== Beispiele ==

* Die [[Projektion (Mengenlehre)|Projektion]] auf den ersten Faktor <math>p \colon B \times F \to B</math> ist eine Faserung.
* Jede [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]] <math>p \colon E \to B</math> erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum <math>X.</math> Speziell gibt es für jede Homotopie <math>h \colon X \times [0, 1] \to B</math> und jeden Lift <math>\tilde h_0 \colon X \to E</math> einen eindeutig definierten Lift <math>\tilde h \colon X \to B</math> mit <math>p \circ \tilde h = h .</math><math>^{[2]S.159}</math><math>^{[3]S.50}</math>
* [[Faserbündel]] <math>p \colon E \to B</math> erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe.<math>^{[1]S.379}</math>
* Ein Faserbündel mit [[Parakompakter Raum|parakompaktem]] Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume.<math>^{[1]S.379}</math>
* Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion <math>i \colon \partial I^k \to I^k</math> induzierte Abbildung <math>i^* \colon X^{I^k} \to X^{\partial I^k},</math> wobei <math>k \in \N ,</math> <math>X</math> ein topologischer Raum und <math>X^{A} = \{f \colon A \to X\}</math> der Raum aller stetigen Abbildungen mit der [[Kompakt-Offen-Topologie]] ist.<math>^{[2]S.198}</math>
* Die [[Hopf-Faserung]] <math>S^1 \to S^3 \to S^2</math> ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

== Grundlegende Konzepte ==
=== Faser-Homotopieäquivalenz ===
Eine Abbildung <math>f \colon E_1 \to E_2</math> zwischen Totalräumen von zwei Faserungen <math>p_1 \colon E_1 \to B</math> und <math>p_2 \colon E_2 \to B</math> mit gleichem Basisraum ist ein '''Faserungs-Homomorphismus''', falls das Diagramm
[[Datei:Fibration homomorphism.svg|rahmenlos|200|zentriert]]

[[Kommutatives Diagramm|kommutiert]]. Die Abbildung <math>f</math> ist eine '''Faser-Homotopieäquivalenz''', falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus <math>g \colon E_2 \to E_1</math> existiert, sodass die Verknüpfungen <math>f \circ g</math> bzw. <math>g \circ f</math> homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten <math>Id_{E_2}</math> bzw. <math>Id_{E_1}</math>sind.<ref name=":0">{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic topology |Auflage=14th printing 2015 |Verlag=Cambridge University Press |Ort=Cambridge |Datum=2015 |ISBN=978-0-521-79160-1 |Seiten=405-406}}</ref>

=== Pullback-Faserung ===
Gegeben seien eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> und eine Abbildung <math>f \colon A \to B</math>. Die Abbildung <math>p_f \colon f^*(E) \to A</math> ist eine Faserung, wobei <math>f^*(E) = \{(a, e) \in A \times E | f(a) = p(e)\}</math> der [[Pullbackbündel|Pullback]] ist und die Projektionen von <math>f^*(E)</math> auf <math>A</math> und <math>E</math> das kommutative Diagramm liefern:
[[Datei:Pullback fibration.svg|rahmenlos|140x140px|zentriert]]
Die Faserung <math>p_f</math> wird '''Pullback-Faserung''' oder auch induzierte Faserung genannt.<ref name=":0" />

=== Wegeraum-Faserung ===
Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den [[Definitionsmenge|Definitionsbereich]] der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann '''Wegeraum-Faserung''' genannt.

Der Totalraum <math>E_f</math> der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung <math>f \colon A \to B</math> zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren <math>(a, \gamma)</math> mit <math>a \in A</math> und [[Weg (Mathematik)|Wegen]] <math>\gamma \colon I \to B</math> mit Startpunkt <math>\gamma (0) = f(a)~</math>, wobei <math>I = [0, 1]</math> das [[Einheitsintervall]] ist. Der Raum <math>E_f = \{ (a, \gamma) \in A \times B^I | \gamma (0) = f(a) \}</math> trägt die [[Teilraumtopologie]] von <math>A \times B^I ,</math> wobei <math>B^I</math> den Raum aller Abbildungen <math>I \to B</math> beschreibt und die [[Kompakt-Offen-Topologie]] trägt.

Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung <math>p \colon E_f \to B</math> mit der Abbildungsvorschrift <math>p(a, \gamma) = \gamma (1)</math> gegeben. Die Faser <math>F_f</math> wird auch [[Homotopie-Faser]] von <math>f</math> genannt und besteht aus den Paaren <math>(a, \gamma)</math> mit <math>a \in A</math> und Wegen <math>\gamma \colon [0, 1] \to B ,</math> wobei <math>\gamma(0) = f(a)</math> und <math>\gamma(1) = b_0 \in B</math> gilt.

Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes <math>i \colon b_0 \to B ,</math> ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum <math>E_i</math> besteht aus allen Wegen in <math>B,</math> die am Punkt <math>b_0</math> starten. Dieser Raum wird mit <math>PB</math> gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung <math>p \colon PB \to B</math> ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser <math>p^{-1}(b_0)</math> aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit <math>\Omega B</math> gekennzeichnet und [[Schleifenraum]] genannt.<math>^{[1]S.407-408}</math>

== Eigenschaften ==
* Die Fasern <math>p^{-1}(b)</math> über <math>b \in B</math> sind für die einzelnen [[Wegzusammenhangskomponente]]n von <math>B</math> [[Homotopieäquivalenz|homotopieäquivalent]].<math>^{[1] S. 405}</math>
* Für eine Homotopie <math>f \colon [0, 1] \times A \to B</math> sind die Pullback Faserungen <math>f^*_0(E) \to A</math> und <math>f^*_1(E) \to A</math> Faser homotopieäquivalent.<math>^{[1] S. 406}</math>
* Ist der Basisraum <math>B</math> [[Zusammenziehbarer Raum|zusammenziehbar]], dann ist <math>p \colon E \to B</math> Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung <math>B \times F \to B.</math><math>^{[1] S. 406}</math>
* Die Wegeraum-Faserung von <math>p</math> ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion <math>E \hookrightarrow E_p</math> ist eine Faser-Homotopieäquivalenz.<math>^{[1] S. 408}</math>
* Ist der Totalraum <math>E</math> zusammenziehbar, dann gibt es eine [[schwache Homotopieäquivalenz]] <math>F \to \Omega B.</math><math>^{[1] S. 408}</math>

== Puppe-Sequenz ==
Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> und Basispunkt <math>b_0 \in B</math> ist die Inklusion <math>F \hookrightarrow F_p</math> der Faser in die Homotopie-Faser eine [[Homotopieäquivalenz]]. Die Abbildung <math>i \colon F_p \to E</math> mit <math>i (e, \gamma) = e,</math> wobei <math>e \in E</math> und <math>\gamma \colon I \to B</math> ein Weg von <math>p(e)</math> nach <math>b_0</math> im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback-Faserung der Wege-Faserung <math>PB \to B.</math> Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung <math>i</math> angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:
: <math> \cdots \to F_j \to F_i \xrightarrow j F_p \xrightarrow i E \xrightarrow p B.</math>
Die Faser von <math>i</math> über einem Punkt <math>e_0 \in p^{-1}(b_0)</math> besteht aus genau den Paaren <math>(e_0, \gamma)</math> mit geschlossenen Wegen <math>\gamma</math> und Startpunkt <math>b_0</math>, also dem Schleifenraum <math>\Omega B .</math> Die Inklusion <math>\Omega B \to F</math> ist eine Homotopieäquivalenz und durch [[Iteration]] ergibt sich die Sequenz:
: <math>\cdots \Omega^2B \to \Omega F \to \Omega E \to \Omega B \to F \to E \to B.</math>
Durch die Dualität von Faserung und [[Kofaserung]] existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen [[Puppe-Sequenz]]en oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt.<math>^{[1] S. 407-409}</math>

== Hauptfaserung ==
Eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> wird '''Hauptfaserung''' genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:
[[Datei:Principal fibration.svg|rahmenlos|zentriert|250x250px]]
Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei [[Postnikow-Turm|Postnikow-Türmen]].<math>^{[1] p. 412}</math>

== Lange exakte Homotopiesequenz ==
Für eine Serre-Faserung <math>p \colon E \to B</math> existiert eine lange [[exakte Sequenz]] von [[Homotopiegruppe]]n. Für Basispunkte <math>b_0 \in B</math> und <math>x_0 \in F = p^{-1}(b_0)</math> ist diese gegeben durch:
: <math>\cdots \rightarrow \pi_n(F,x_0) \rightarrow \pi_n(E, x_0) \rightarrow \pi_n(B, b_0) \rightarrow \pi_{n - 1}(F, x_0) \rightarrow \cdots \rightarrow \pi_0(F, x_0) \rightarrow \pi_0(E, x_0).</math>
Die [[Homomorphismus|Homomorphismen]] <math>\pi_n(F, x_0) \rightarrow \pi_n(E, x_0)</math> und <math>\pi_n(E, x_0) \rightarrow \pi_n(B, b_0)</math> sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion <math>i \colon F \hookrightarrow E</math> und der Projektion <math>p \colon E \rightarrow B .</math><math>^{[1] S. 376}</math>

=== Hopf-Faserungen ===
Unter den [[Hopf-Faserung]]en versteht man eine Familie von [[Faserbündel]]n, deren Faser, Totalraum und Basisraum [[Sphäre (Mathematik)|Sphären]] sind:
: <math>S^0 \hookrightarrow S^1 \rightarrow S^1,</math>

: <math>S^1 \hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2 ,</math>

: <math>S^3 \hookrightarrow S^7 \rightarrow S^4 ,</math>

: <math>S^7 \hookrightarrow S^{15} \rightarrow S^8 .</math>
Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung <math>S^1 \hookrightarrow S^3 \rightarrow S^2</math> liefert:
: <math>\cdots \rightarrow \pi_n(S^1,x_0) \rightarrow \pi_n(S^3, x_0) \rightarrow \pi_n(S^2, b_0) \rightarrow \pi_{n - 1}(S^1, x_0) \rightarrow \cdots \rightarrow \pi_1(S^1, x_0) \rightarrow \pi_1(S^3, x_0) \rightarrow \pi_1(S^2, b_0).</math>
Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser <math>S^1</math> in <math>S^3</math> zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:
: <math>0 \rightarrow \pi_i(S^3) \rightarrow \pi_i(S^2) \rightarrow \pi_{i-1}(S^1) \rightarrow 0 .</math>
Diese kurze exakte Sequenz [[Zerfallende kurze exakte Sequenz|zerfällt]] wegen des [[Einhängung]]shomomorphismus <math> \phi \colon \pi_{i - 1}(S^1) \to \pi_i(S^2)~</math>und es gibt Isomorphismen:
: <math>\pi_i(S^2) \cong \pi_i(S^3) \oplus \pi_{i - 1}(S^1) .</math>
Die Homotopiegruppen <math>\pi_{i - 1}(S^1)</math> sind für <math>i \geq 3</math> trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen <math>\pi_i(S^2)</math> und <math>\pi_i(S^3)</math> ab <math>i = 3</math> gibt. Analog kann die Faser <math>S^3</math> in <math>S^7</math> und die Faser <math>S^7</math> in <math>S^{15}</math> zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:
: <math>\pi_i(S^4) \cong \pi_i(S^7) \oplus \pi_{i - 1}(S^3)</math> und <math>\pi_i(S^8) \cong \pi_i(S^{15}) \oplus \pi_{i - 1}(S^7) .</math><math>^{[6] S. 111}</math>

== Spektralsequenz ==
[[Spektralsequenz]]en sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.

Die [[Spektralsequenz#Leray-Serre-Spektralsequenz|Leray-Serre-Spektralsequenz]] stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math>, wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven [[Homologietheorie]] <math>G_*</math> existiert eine Spektralsequenz:
: <math>H_k (B; G_q(F)) \cong E^2_{k, q} \implies G_{k + q}(E).</math><math>^{[7] S. 242}</math>
Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math>, wobei Basisraum und Faser [[wegzusammenhängend]] sind, die [[Fundamentalgruppe]] <math>\pi_1(B)</math> auf <math>H_*(F)</math> trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen <math>H_p(B) = 0</math> für <math>0<p<m</math> und <math>H_q(F) = 0</math> für <math>0<q<n</math> gelten, existiert eine exakte Sequenz:
: <math>H_{m+n-1}(F) \xrightarrow {i_*} H_{m+n-1}(E) \xrightarrow {f_*} H_{m+n-1} (B) \xrightarrow \tau H_{m+n-2} (F) \xrightarrow {i^*} \cdots \xrightarrow {f_*} H_1 (B) \to 0.</math><math>^{[7] S. 250}</math>
Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den [[Hurewicz-Theorem|Satz von Hurewicz]] zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form <math>\Omega S^n</math> zu berechnen:
: <math>H_k (\Omega S^n) = \begin{cases} \Z & \exist q \in \Z \colon k = q (n-1)\\
0 & sonst\end{cases}.</math><math>^{[8] S. 162}</math>
Für den Spezialfall einer Faserung <math>p \colon E \to S^n,</math> bei welcher der Basisraum eine <math>n</math>-Sphäre mit Faser <math>F</math> ist, existieren exakte Sequenzen (auch [[Wang-Sequenz|Wang Sequenzen]] genannt) für Homologie und Kohomologie:
: <math>\cdots \to H_q(F) \xrightarrow{i_*} H_q(E) \to H_{q-n}(F) \to H_{q-1}(F) \to \cdots</math>

: <math>\cdots \to H^q(E) \xrightarrow{i^*} H^q(F) \to H^{q-n+1}(F) \to H^{q+1}(E) \to \cdots</math><math>^{[4] S.456}</math>

== Orientierbarkeit ==
Für eine Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> und einem festen kommutativen Ring <math>R</math> mit Eins existiert ein [[kontravarianter Funktor]] von dem [[Fundamentalgruppoid]] von <math>B</math> zur Kategorie von [[Graduierter Modul|graduierten]] <math>R</math>-Moduln, welcher jedem <math>b \in B</math> den Modul <math>H_*(F_b, R)</math> und der Wegeklasse <math>[\omega]</math> den Homomorphismus <math>h [\omega]_* \colon H_*(F_{\omega (0)}, R) \to H_*(F_{\omega(1)}, R)</math> zuordnet, wobei <math>h[\omega]</math> eine Homotopieklasse in <math>[F_{\omega(0)}, F_{\omega(1)}]</math> ist.

Eine Faserung wird '''orientierbar''' über <math>R</math> genannt, falls für jeden geschlossenen Weg <math>\omega</math> in <math>B</math> gilt: <math>h[\omega]_* = 1.</math><math>^{[4] S. 476}</math>

== Euler-Charakteristik ==
Für eine über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> orientierbare Faserung <math>p \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> und wegzusammenhängendem Basisraum ist die [[Euler-Charakteristik]] des Totalraums definiert durch:
: <math>\chi(E) = \chi(B)\chi(F).</math>
Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper <math>\mathbb{K}</math> definiert.<math>^{[4] S. 481}</math>

== Literatur ==
* [1] {{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X}}
* [2] {{Literatur |Autor=Gerd Laures, Markus Szymik |Titel=Grundkurs Topologie |Auflage=2 |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014-10 |ISBN=978-3-662-45952-2 |DOI=10.1007/978-3-662-45953-9}}
* [3] {{Literatur |Autor=J.P. May |Titel=A Concise Course in Algebraic Topology}}
* [4] {{Literatur |Autor=Edwin H. Spanier |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Springer Science & Business Media |ISBN=978-0-387-94426-5 |DOI=10.1007/978-1-4684-9322-1}}
* [5] {{Literatur |Autor=Albrecht Dold, René Thom |Titel=Quasifaserungen und Unendlich Symmetrische Produkte |Verlag=Annals of Mathematics |Datum=1958 |DOI=10.2307/1970005}}
* [6] {{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Hrsg= |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0}}
* [7] {{Literatur |Autor=James F. Davis, Paul Kirk |Titel=Lecture Notes in Algebraic Topology |Datum=1991}}
* [8] {{Literatur |Autor=Ralph L. Cohen |Titel=The Topology of Fiber Bundles Lecture Notes |Datum=1998-08}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Homotopietheorie]]

Faserung - Versionsgeschichte

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