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2025-06-20T07:48:22Z

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Das '''Faserprodukt''' (auch ''Pullback, kartesisches Quadrat'' oder ''Pullback-Quadrat)'' ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[Kategorientheorie]]. Zentrale Bedeutung kommt dem Faserprodukt in der [[Algebraische Geometrie|algebraischen Geometrie]] zu.

Der Begriff des Faserproduktes ist dual zum Begriff des [[Pushout]].

== Faserprodukt von Mengen ==
Sind <math>\xi\colon X\to S</math> und <math>\upsilon\colon Y\to S</math> zwei Abbildungen von Mengen, so ist das '''Faserprodukt''' von <math>X</math> und <math>Y</math> über <math>S</math> die Teilmenge
:<math>\{(x,y)\in X\times Y\mid \xi(x)=\upsilon(y)\}</math>
des [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produktes]] von <math>X</math> und <math>Y</math>.

== Faserprodukte in beliebigen Kategorien ==
=== Definition über Objekte ===
Sind [[Morphismus|Morphismen]] <math>\xi: X \rightarrow S</math> und <math>v: Y\rightarrow S</math> in einer [[Kategorientheorie|Kategorie]] gegeben, so heißt ein Objekt <math>X\times_SY</math> zusammen mit Morphismen
:<math>\mathrm{pr}_1\colon X\times_SY\to X</math> und <math>\mathrm{pr}_2\colon X\times_SY\to Y,</math>
den sogenannten kanonischen Projektionen, ein '''Faserprodukt''' von <math>X</math> und <math>Y</math> '''über''' <math>S</math>, wenn <math>\xi \circ \mathrm{pr}_1 = v \circ \mathrm{pr}_2</math> und die folgende [[universelle Eigenschaft]] erfüllt ist:
:Zu jedem Paar von Morphismen <math>(f:T\rightarrow X,\, g:T\rightarrow Y)</math> von einem ''Testobjekt'' <math>T</math> nach <math>X</math> bzw. <math>Y</math>, für das
::<math>\xi f=\upsilon g</math> (als Morphismen <math>T\rightarrow S</math>)
:gilt, gibt es genau einen Morphismus
::<math>c\colon T\to X\times_SY,</math>
:so dass
::<math>f=\mathrm{pr}_1\circ c</math> und <math>g=\mathrm{pr}_2\circ c</math>
:gilt.

Anders formuliert: die Funktoren
:<math>\mathrm{Hom}(T,X\times_SY)</math> und <math>\mathrm{Hom}(T,X)\times_{\mathrm{Hom}(T,S)}\mathrm{Hom}(T,Y)</math>
sind via <math>\mathrm{pr}_1</math> und <math>\mathrm{pr}_2</math> natürlich äquivalent.

=== Definition über Morphismen ===
Bei einer allgemeineren Herangehensweise werden derartige Paare von Morphismen <math>f\operatorname{\colon}T\rightarrow X</math> und <math>g\operatorname{\colon}T\rightarrow Y</math> von einem Objekt <math>T</math> nach <math>X</math> bzw. <math>Y</math> als Faserprodukt, ''Pullback,'' ''kartesisches'' oder ''Pullback-Quadrat'' bezeichnet, für die gilt:
#<math>\xi f=\upsilon g</math> (als Morphismen <math>T\to S</math>)
#jedes weitere Paar von Morphismen <math>f'\operatorname{\colon}T'\rightarrow X</math> und <math>g'\operatorname{\colon}T'\rightarrow Y</math> von einem Objekt <math>T'</math> nach <math>X</math> bzw. <math>Y</math>, für die <math>\xi f'=\upsilon g'</math> gilt, ist über einen eindeutig bestimmten Morphismus <math>e\operatorname{\colon}T'\rightarrow T</math> mit dem ersten Paar von Morphismen vertauschbar, d. h. <math>g' = ge</math> und <math>f' = fe.</math>
Die Morphismen von Pullbacks bilden ein [[Kommutatives Diagramm|kommutatives]] Diagramm:

<math>\begin{array}{rcl} T&\xrightarrow[]{f}&X\\ g\!\downarrow&&\downarrow\!\xi\\ Y&\xrightarrow[\upsilon]{}&S\\ \end{array}</math>

Dieses Diagramm stellt einen [[Kegel (Kategorientheorie)|Kegel]] über dem Diagramm <math>X\xrightarrow{\xi}S\xleftarrow{\upsilon}Y</math> dar, bei dem der „mittlere“ Pfeil (der zwischen <math>T</math> und <math>S</math>) weggelassen wurde. Die zweite Bedingung drückt aus, dass das Pullback ein [[Limes (Kategorientheorie)|Limes]] aller solchen Kegel ist. Man sagt, <math>f</math> entstehe durch Zurückziehen (engl. ''pull back)'' von <math>\upsilon</math> entlang <math>\xi</math> und <math>g</math> entstehe durch Zurückziehen von <math>\xi</math> entlang <math>\upsilon</math> <ref name="goldblatt_topoi_3.13">{{Literatur |Autor=R. Goldblatt u. a. |Titel=Topoi – The Categorial Analysis of Logic |TitelErg=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |Band=Vol. 98 |Verlag=North-Holland Publishing Company |Ort=Amsterdam / New York / Oxford |Datum=1979 |ISBN=0-444-85207-7 |Kapitel=Kap. 3.13 |Seiten=63 |Sprache=en |Kommentar=Beschreibung von Pullbacks.}}</ref><ref name="goldblatt_topoi_3.11">{{Literatur |Autor=R. Goldblatt u. a. |Titel=Topoi – The Categorial Analysis of Logic |TitelErg=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |Band=Vol. 98 |Verlag=North-Holland Publishing Company |Ort=Amsterdam / New York / Oxford |Datum=1979 |ISBN=0-444-85207-7 |Kapitel=Kap. 3.11 |Seiten=58 |Sprache=en |Kommentar=Beschreibung von Limites und Co-Limites.}}</ref><ref name="ehrigpfender_katundaut_3.34">{{Literatur |Autor=Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik |Titel=Kategorien und Automaten |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Datum=1972 |ISBN=3-11-003902-8 |Kapitel=Def. 3.34 |Seiten=60 |Kommentar=Definition von Pullbacks.}}</ref>

[[Datei:Pullback-Quadrat-Limes.svg|Pullback-Quadrat / Limes]]

=== Pullback-Kegel ===
Gelegentlich werden auch derartige Paare von Morphismen (<math>f\colon T\to X, g\colon T\to Y</math>) von einem Objekt <math>T</math> nach <math>X</math> bzw. <math>Y</math>, für die lediglich
:<math>\xi f=\upsilon g</math> (als Morphismen <math>T\to S</math>)
gilt, als ''Pullback-Kegel'' bezeichnet; Morphismen von Pullback-Kegeln sind über entsprechende kommutative Diagramme definiert. Das Faserprodukt ist dann ein [[Endobjekt]] der Kategorie der möglichen Pullback-Kegel über dem Diagramm <math style="vertical-align:text-bottom;">X\xrightarrow{\xi}S\xleftarrow{\upsilon}Y.</math><ref name="goldblatt_topoi_3.6">{{Literatur |Autor=R. Goldblatt u. a. |Titel=Topoi – The Categorial Analysis of Logic |TitelErg=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |Band=Vol. 98 |Verlag=North-Holland Publishing Company |Ort=Amsterdam / New York / Oxford |Datum=1979 |ISBN=0-444-85207-7 |Kapitel=Kap. 3.6 |Seiten=44 |Sprache=en |Kommentar=Definition von Endobjekten.}}</ref><ref name="ehrigpfender_katundaut_1.25">{{Literatur |Autor=Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik |Titel=Kategorien und Automaten |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Datum=1972 |ISBN=3-11-003902-8 |Kapitel=Def. 1.25 |Seiten=19 |Kommentar=Definition von Endobjekten.}}</ref>

=== Eindeutigkeit ===
Die Komponenten <math>T, f</math> und <math>g</math> des Faserproduktes aus der Definition über Morphismen müssen nicht eindeutig bestimmt sein, sind aber eindeutig bis auf Isomorphie. D. h., ist <math>T'</math> zusammen mit Abbildungen <math>f'</math> und <math>g'</math> ein weiteres derartiges Faserprodukt, so sind <math>T</math> und <math>T'</math> isomorph und <math>f'</math> und <math>g'</math> eindeutig durch <math>f</math> und <math>g</math> bestimmt. Für ein und dasselbe Objekt <math>T</math> kann es ebenfalls verschiedene Möglichkeiten für die Morphismen <math>f</math> und <math>g</math> geben. Die verschiedenen Varianten sind dann aber wiederum durch einen Isomorphismus (von <math>T</math> auf sich selbst) eindeutig durch einander bestimmt.

Auch <math>X\times_SY</math> aus der Definition über Objekte ist im Allgemeinen nur ein Symbol für mehrere mögliche, jeweils zueinander isomorphe Objekte. Es wird jedoch gewöhnlich eine Standarddarstellung für <math>X\times_SY</math> angegeben; z. B. in der Kategorie der Mengen die Menge:
:<math>D = \{(x,y)|x\in X, y\in Y\ \mathrm{und}\ \xi(x)=\upsilon(y)\} \cong X\times_SY</math><ref name="goldblatt_topoi_3.13" />

=== Bezeichnung ===
Die Bezeichnungen werden nicht ganz einheitlich verwendet. Gemeinhin wird in mathematischen Texten mit ''Faserprodukt'' eher das sich ergebende Objekt der Produktbildung bezeichnet, während mit ''Pullback'' das sich ergebende Paar von Abbildungen bezeichnet wird. Hinzu kommt noch die verallgemeinerte Bezeichnung des Faserproduktes als ''Produkt über ….'' Mit ''kartesisches'' oder ''Pullback-Quadrat'' wird dann auch eher die Gesamtkonstruktion oder das Pullback-Diagramm bezeichnet. Letztlich werden die Bezeichnungen jedoch synonym gedeutet und werden nur unterschiedlich eingesetzt, um jeweils einen bestimmten Aspekt des Faserproduktes ins Zentrum der Betrachtung zu rücken.<ref name="goldblatt_topoi">{{Literatur |Autor=R. Goldblatt u. a. |Titel=Topoi – The Categorial Analysis of Logic |TitelErg=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics |Band=Vol. 98 |Verlag=North-Holland Publishing Company |Ort=Amsterdam / New York / Oxford |Datum=1979 |ISBN=0-444-85207-7 |Sprache=en}}</ref><ref name="ehrigpfender_katundaut">{{Literatur |Autor=Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik |Titel=Kategorien und Automaten |Verlag=Walter de Gruyter |Ort=Berlin / New York |Datum=1972 |ISBN=3-11-003902-8}}</ref><ref name="maclane_kategorien">{{Literatur |Autor=Saunders Mac Lane |Titel=Kategorien |TitelErg=Begriffssprache und mathematische Theorie |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin / Heidelberg / New York |Datum=1972 |ISBN=3-540-05634-3 |Originaltitel=[[Categories for the Working Mathematician]] |Originalsprache=en-US |Übersetzer=Klaus Schürger}}</ref>

== Eigenschaften ==
* Ist <math>X\to Y</math> ein beliebiger Morphismus, so ist
::<math>X\times_YY\cong X</math>.
* Sind <math>\xi</math> und <math>\upsilon</math> injektive Mengenabbildungen (allgemein [[Monomorphismus|Monomorphismen]]), so ist das Faserprodukt der Schnitt (der Bilder) von <math>X</math> und <math>Y</math>
* Ist <math>S</math> eine einelementige Menge, so ist das Faserprodukt isomorph zum [[Kartesisches Produkt|kartesischen Produkt]]. Die Standarddarstellung (s. o.) des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist dann identisch mit dem kartesischen Produkt. Ist allgemein <math>S</math> ein [[Endobjekt]], so ist das Faserprodukt isomorph zum allgemeinen [[Produkt (Kategorientheorie)|kategoriellen Produkt]].
* Die Standarddarstellung (s. o.) des Faserproduktes in der Kategorie der Mengen ist eine Untermenge des kartesischen Produktes. Allgemein gibt es stets einen Monomorphismus vom Faserprodukt in das allgemeine kategorielle Produkt
::<math>X\times_SY\to X\times Y</math>
:(falls beide Konstruktionen existieren).
* Für eine asymmetrische Sichtweise des Faserproduktes ''siehe'' [[Basiswechsel (Faserprodukt)]].

== Beispiele ==
* Das Faserprodukt ist ein spezieller [[Limes (Kategorientheorie)|Limes]]. Aufgrund der [[Stetiger Funktor|Stetigkeit]] des jeweiligen [[Vergissfunktor]]s ist in den folgenden Kategorien – deren Objekten stets Mengen zugrunde liegen – die zugrunde liegende Menge des Faserproduktes (in dieser Kategorie) gleich dem Faserprodukt (in der Kategorie der Mengen) der zugrunde liegenden Mengen:
::Gruppen, abelsche Gruppen, Ringe, Moduln, Vektorräume, topologische Räume, Banachräume.
* In der Kategorie der [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]] ist das Faserprodukt lokal durch [[Tensorprodukt]]e gegeben. Es ist i. A. nicht das Faserprodukt der zugrundeliegenden topologischen Räume!
* Der [[Relationale Algebra#Equi-Join|Gleichheitsverbund]] in der [[Relationale Algebra|relationalen Algebra]].

== Faserprodukte in der algebraischen Geometrie ==
Die obige kategorielle Definition wird insbesondere in der algebraischen Geometrie benutzt, um das Faserprodukt <math>X\times_SY</math> zweier [[Schema (algebraische Geometrie)|Schemata]] mit gegebenen Morphismen <math>\xi\colon X\to S, \nu\colon Y\to S</math> zu definieren.

Wenn <math>X,Y</math> und <math>S</math> [[Affines Schema|affine Schemata]] sind, dann ist auch <math>X\times_SY</math> ein affines Schema.<ref>[https://stacks.math.columbia.edu/tag/01JO The Stacks Project] Lemma 25.17.3</ref> Aus <math>X=Spec(A),Y=Spec(B), S=Spec(R)</math> folgt nämlich
:<math>X\times_SY=Spec(A\otimes_RB)</math>.<ref>[https://stacks.math.columbia.edu/tag/01I4 The Stacks Project] Lemma 25.6.7</ref>
Dies gibt eine explizite Beschreibung (und beweist insbesondere die Existenz) des Faserprodukts affiner Schemata.

Eine explizite Beschreibung für Faserprodukte beliebiger Schemata erhält man wie folgt. Sei <math>\textstyle S=\bigcup_i U_i</math> eine Überdeckung durch affine Schemata, und für alle <math>i</math> seien
:<math>\xi^{-1}(U_i)=\bigcup_j V_{ij}, \nu^{-1}(U_i)=\bigcup_k W_{ik}</math>
jeweils Überdeckungen durch affine Schemata, dann ist
:<math>X\times_SY=\bigcup_i\bigcup_{j,k}V_{ij}\times_{U_i}W_{ik}</math>
eine Überdeckung durch affine Schemata, insbesondere ist damit <math>X\times_SY</math> als Schema definiert.<ref>[https://stacks.math.columbia.edu/tag/01JO The Stacks Project] Lemma 25.17.4</ref>

Für einen Punkt <math>x</math> eines Schemas bezeichne jeweils <math>\kappa(x)</math> den zugehörigen [[Lokaler Ring|lokalen Ring]]. Die Punkte des Faserprodukts <math>X\times_SY</math> entsprechen dann bijektiv den Tupeln <math>(x,y,s,{\mathfrak p})</math> mit <math>\xi(x)=\nu(y)=s</math> und einem [[Primideal]] <math>{\mathfrak p}\subset \kappa(x)\otimes_{\kappa(s)}\kappa(y)</math>.<ref>[https://stacks.math.columbia.edu/tag/01JO The Stacks Project] Lemma 25.17.5</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Faserprodukt - Versionsgeschichte

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