~2025-28148-46: /* Definition */

2025-10-10T13:56:33Z

Definition

Neue Seite

In der [[Algebraische Topologie|algebraischen Topologie]], einem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der Mathematik, ist ein '''Faserbündel''' ein [[topologischer Raum]], der ''lokal'' als [[kartesisches Produkt]] zweier topologischer Räume dargestellt werden kann, zusammen mit einer Abbildung, die diese Ähnlichkeit wiedergibt.

Faserbündel spielen eine wichtige Rolle in der [[Homotopietheorie]], [[Differentialgeometrie]] und [[Differentialtopologie]].
[[File:Roundhairbrush.JPG|thumb|Eine zylindrische Haarbürste kann als anschauliches Beispiel für das Konzept eines Faserbündels dienen. In diesem Beispiel ist der Basisraum ein Zylinder, und die Fasern sind die einzelnen Borsten, die als Liniensegmente betrachtet werden können. Die Abbildung <math>\pi\colon E \to B</math> würde einen Punkt auf einer beliebigen Borste auf seinen Fußpunkt auf dem Zylinder abbilden.]]

== Geschichte ==
Das Konzept eines Faserbündels kam erstmals im Zusammenhang mit der Topologie und Geometrie von [[Mannigfaltigkeit]]en auf.<ref>{{Literatur |Autor=Herbert Seifert |Titel=Topologie Dreidimensionaler Gefaserter Räume |Band=60 |Verlag=Acta Mathematica |Datum=1933 |Seiten=147-238 |DOI=10.1007/BF02398271}}</ref> [[Herbert Seifert]] führte im Jahr 1933 die Begriffe '''Faser''' und '''gefaserter Raum''' ein.<ref>{{Literatur |Autor=Hassler Whitney |Titel=Sphere-Spaces |Band=21 |Nummer=7 |Verlag=Proceedings of the National Academy of Science of the United States of America |Datum=1935-06-12 |Seiten=464-468 |DOI=10.1073/pnas.21.7.464 |PMC=1076627}}</ref>

Die erste Definition eines Faserbündels gab [[Hassler Whitney]] im Jahr 1935 unter dem Namen Sphären-Raum (engl. sphere space). In den Jahren von 1935 bis 1940 wurden Faserbündel in der Mathematik ein eigenes Forschungsgebiet. Die Arbeiten von Whitney, [[Heinz Hopf]] und [[Eduard Stiefel]] gaben Ausblicke auf die Bedeutung von Faserbündeln in Topologie und Differentialgeometrie.<ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0}} Preface</ref>

Bis zum Jahr 1950 wurde die Definition eines Faserbündels klar notiert und die Theorie über Homotopieklassifikation und Charakteristikklassen von Faserbündeln von mehreren Mathematikern, darunter [[Shiing-Shen Chern]], [[Lew Semjonowitsch Pontrjagin|Lew Pontrjagin]], Stiefel und Whitney, vorangetrieben. In den Jahren von 1950 bis 1955 konnte [[Friedrich Hirzebruch]] unter Verwendung der Charakteristikklassen von Faserbündeln den [[Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch]] beweisen. [[John Willard Milnor|John Milnor]] gab im Jahr 1955 eine Konstruktion eines universellen Faserbündels für beliebige topologische Gruppen an. In den frühen 1960ern entwickelten [[Alexander Grothendieck]], [[Michael Francis Atiyah|Michael Atiyah]] und Hirzebruch eine verallgemeinerte [[Kohomologie]]theorie, die [[K-Theorie]], mit Hilfe von Stabilitätsklassen von Vektorbündeln.<ref>{{Literatur |Autor=Dale Husemoller |Titel=Fibre Bundles |Verlag=Springer Verlag |Ort=Princeton NJ |Datum=1994 |ISBN=0-387-94087-1}} Preface</ref>

== Definition ==
Ein Faserbündel ist ein Quadrupel <math>(E, B, \pi, F)</math> bestehend aus topologischen Räumen <math>E</math>, <math>B</math> und <math>F</math> und einer [[Stetige Funktion|stetigen]] [[Surjektive Funktion|surjektiven]] Abbildung <math>\pi \colon E \to B</math>, wobei für jedes <math>x \in B</math> eine offene Umgebung <math>U \subseteq B</math> von <math>x</math> und ein [[Homöomorphismus]] <math>\varphi \colon \pi^{-1}(U) \to U \times F</math> existieren, sodass das folgende Diagramm [[Kommutatives Diagramm|kommutiert]]:

[[Datei:Fibre bundle local trivial.svg|zentriert|Fibre bundle local trivial]]

Hierbei ist <math>\operatorname{proj}_1 \colon U \times F \to U</math> die natürliche Projektion. Ein solcher Homöomorphismus <math>\varphi</math> wird '''lokale Trivialisierung''' des Bündels und die Abbildung <math>\pi</math> '''Projektion''' genannt. Der Raum <math>B</math> heißt der '''Basisraum''' des Bündels, <math>E</math> der '''Totalraum''' und <math>F</math> die '''Faser'''.

Der Raum <math>U \times F</math> ist mit der [[Produkttopologie]] von <math>U \times F</math> versehen und <math>\pi^{-1}(U)</math> mit der [[Teilraumtopologie]] von <math>E</math>.

Um zusätzlich die Faser des Bündels zu nennen, wird auch die Notation <math>F \hookrightarrow E \to B</math> für ein Faserbündel verwendet. Hierbei ist die Abbildung <math>F \hookrightarrow E</math> die [[Inklusionsabbildung|Inklusion]] und <math>F</math> wird mit <math>F_b = \pi^{-1}(\{b\})</math>, der Faser über einem Punkt <math>b \in B</math>, identifiziert.<ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=376-377}}</ref>

Jedes Faserbündel ist eine [[Serre-Faserung]].<ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=379}}</ref>

== Beispiele ==

=== Triviales Bündel ===
Sei <math>E = B \times F</math> und <math>\pi \colon E \to B</math> die Projektion auf den ersten Faktor, dann ist <math>E</math> nicht nur lokal ein Produkt, sondern auch global. Ein solches Faserbündel heißt '''triviales Bündel''' oder '''Produktbündel'''.<ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0 |Seiten=3}}</ref>

=== Überlagerung ===
Ein Faserbündel mit [[Diskrete Topologie|diskreter]] Faser ist eine [[Überlagerung (Topologie)|Überlagerung]]. Ebenso ist jede Überlagerung, deren Fasern alle die gleiche [[Mächtigkeit (Mathematik)|Kardinalität]] haben, ein Faserbündel mit diskreter Faser. Insbesondere ist eine Überlagerung über einem [[Zusammenhängender Raum|zusammenhängenden]] Basisraum ein Faserbündel.<ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=377}}</ref>

=== Möbiusband ===
[[Datei:MobiusStrip-01.svg|mini|Möbiusband]]
Das [[Möbiusband]] ist ein anschauliches Beispiel für ein nichttriviales Faserbündel. Der Basisraum ist die Kreislinie <math>S^1</math>, die mittig des Bandes verläuft. Die Faser ist durch ein abgeschlossenes Intervall gegeben, z. B. <math>[-1, 1].</math>

Der Totalraum ist gegeben durch den Quotientenraum <math>E = ([0, 1] \times [-1, 1]) / \sim</math> mit der [[Äquivalenzrelation]] <math>\sim</math> gegeben durch <math>(0, a) \sim (1, -a).</math> Die Bündelprojektion <math>\pi \colon E \to S^1</math> ist die von der Projektion <math>\operatorname{proj} \colon [0, 1] \times [-1, 1] \to [0, 1]</math> induzierten Abbildung, d. h., eine Äquivalenzklasse <math>[(x, y)] \in E</math> wird unter der Bündelprojektion auf die Äquivalenzklasse <math>[x]</math> abgebildet, wobei die Äquivalenzrelation auf <math>S^1</math> durch <math>(0 \sim 1)</math> gegeben ist.

Das entsprechende triviale Bündel <math>S^1 \times [-1, 1]</math> ist ein [[Zylinder (Geometrie)|Zylinder]]. Möbiusband und Zylinder unterscheiden sich durch eine Verdrehung der Faser. Diese Verdrehung ist nur global sichtbar, lokal sind Möbiusband und Zylinder identisch.<ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=377}}</ref>

=== Kleinsche Flasche ===
[[Datei:KleinBottle-01.svg|mini|Kleinsche Flasche]]
Ein weiteres nichttriviales Faserbündel ist die [[Kleinsche Flasche]]. Der Basisraum und die Faser sind durch <math>S^1</math> und der Totalraum durch den Quotientenraum <math>E = ([0, 1] \times [0, 1]) / \sim</math> gegeben, wobei die Äquivalenzrelation <math>\sim</math> durch <math>(0, y) \sim (1, y)</math> und <math>(x, 0) \sim (1 - x, 1)</math> gegeben ist. Die Bündel-Projektion <math>\pi \colon E \to S^1</math> bildet ein Element <math>[(a, b)] \in E</math> auf <math>\pi([(a, b)]) = [b] </math> mit der Äquivalenzrelation <math>(0 \sim 1) </math> auf <math>S^1 </math> ab.

Das entsprechende triviale Bündel <math>S^1 \times S^1 </math> ist ein [[Torus]], der lokal von der Kleinschen Flasche nicht unterscheidbar ist.<ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0 |Seiten=4}}</ref>

=== Hopf-Bündel ===
Das [[Hopf-Faserung|Hopf-Bündel]] <math>S^1 \hookrightarrow S^3 \to S^2</math> hat als Faser, Totalraum und Basisraum Sphären und ist eines der ersten entdeckten nicht trivialen Faserbündel. Es ist ein Spezialfall für <math>n=1</math> des Faserbündels <math>S^1 \hookrightarrow S^{2n+1} \to \Complex P^n</math> über dem <math>n</math>-dimensionalen [[Komplexe Zahl|komplexen]] [[Projektiver Raum|projektiven Raum]]. Weitere Hopf-Bündel, auch verallgemeinerte Hopf-Bündel genannt, lassen sich durch Ersetzen der komplexen Zahlen durch die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], die [[Quaternion]]en und die [[Oktave (Mathematik)|Oktonionen]] herleiten:

* Die Überlagerung <math>S^0 \hookrightarrow S^n \to \R P^n</math> über dem <math>n</math>-dimensionalen projektiven Raum ergibt für <math>n=1</math> das reelle Hopf-Bündel <math>S^0 \hookrightarrow S^1 \to S^1</math>.

* Für die Quaternionen ergibt sich das Hopf-Bündel <math>S^3 \hookrightarrow S^7 \to S^4 \cong \mathbb{H} P^1</math>.

* Für die Oktionen ergibt sich das Hopf-Bündel <math>S^7 \hookrightarrow S^{15} \to S^8</math>.

Weitere Faserbündel, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind, existieren nicht. Dies ist eine Folgerung aus dem Satz von [[John Frank Adams|Adam]], welcher das Problem von Hopf über die Anzahl der Abbildungen zwischen Sphären mit [[Hopf-Invariante]] 1 löst.<ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=377-379}}</ref>

== Schnitt ==
{{Hauptartikel|Schnitt (Faserbündel)}}
Ein globaler '''Schnitt''' eines Faserbündels <math>(E, B, \pi, F)</math> ist eine stetige Abbildung <math>s \colon B \to E</math>, die zur Projektion <math>\pi</math> rechtsinvers ist. Für alle <math>b \in B</math> gilt also, dass die Verknüpfung von Projektion und Schnitt gleich der Identität ist: <math>(\pi \circ s)(b) = b</math>. Anders ausgedrückt liegt für alle <math>b \in B</math> das Bild des Schnitts in der Faser über <math>b</math>: <math>s(b) \in \pi^{-1}(\{b\})</math>.

Ein lokaler Schnitt eines Faserbündels ist eine stetige Abbildung <math>s \colon V \to E</math>, wobei <math>V \subseteq B</math> eine offene Teilmenge ist und <math>(\pi \circ s) (b) = b</math> für alle <math>b \in V</math> gilt.<ref>{{Literatur |Autor=Dale Husemoller |Titel=Fibre Bundles |Verlag=Springer Verlag |Ort=Princeton NJ |Datum=1994 |ISBN=0-387-94087-1 |Seiten=11}}</ref>

== {{Anker|Bündelabbildung}} Bündelmorphismus ==
Ein '''Bündelmorphismus''' (auch Bündelabbildung genannt) zwischen zwei Faserbündeln <math>(E_1, B_1, \pi_1, F_1)</math> und <math>(E_2, B_2, \pi_2, F_2)</math> ist eine Abbildung, die die Bündelstruktur erhält; in gewissem Sinne ist er eine Faser-erhaltende Abbildung. Genauer ist ein Bündelmorphismus durch ein Tupel <math>(u, f)</math> von zwei Abbildungen <math>u \colon E_1 \to E_2</math> und <math>f \colon B_1 \to B_2</math> gegeben, sodass <math>\pi_2 \circ u = f \circ \pi_1</math> gilt. Die Situation wird durch das folgende kommutative Diagramm verdeutlicht:
[[Datei:Bündelmorphismus.svg|rahmenlos|zentriert|150x150px]]
Eine Faser über <math>b \in B_1</math> wird unter <math>u</math> auf eine Faser über <math>f(b)</math> abgebildet; dies wird durch die Beziehung <math>u(\pi_1^{-1}(b)) \subseteq \pi_2^{-1}(f(b))</math> dargestellt.

Sind die Basisräume identisch, so ist der Bündelmorphismus durch <math>(u, \operatorname{id}_B)</math> gegeben und man spricht von einem <math>B</math>-Morphismus oder einem Bündelmorphismus über <math>B</math>, wobei <math>B = B_1 = B_2</math> gilt. Die Beziehung <math>\pi_1 = \pi_2 \circ u</math> ist durch das folgende Diagramm gegeben:
[[Datei:Bündelmorphismus 02.svg|rahmenlos|zentriert|200x200px]]
Für alle <math>b \in B</math> gilt die Bedingung <math>u( \pi_1^{-1}(\{b\})) \subseteq \pi_2^{-1}(\{b\})</math>, weshalb <math>u</math> auch Faser-erhaltend genannt wird.<ref>{{Literatur |Autor=Dale Husemoller |Titel=Fibre Bundles |Verlag=Springer Verlag |Ort=Princeton NJ |Datum=1994 |ISBN=0-387-94087-1 |Seiten=14}}</ref>

== Koordinatenbündel ==
Für jeden Basisraum eines Faserbündels existiert ein [[Atlas (Mathematik)|Atlas]] <math>\{ (U_i, h_{U_i}^{-1}) | i \in I \}</math> von Karten, wobei <math>U_i \subseteq B</math> offene Teilmengen und <math>h_{U_i}</math> lokale Trivialisierungen des Faserbündels sind. Zwei Karten <math>(U_i, h_{U_i}^{-1})</math> und <math>(U_j, h_{U_j}^{-1})</math> können mittels stetiger Kartenwechsel <math>\Phi_{i,j} \colon (U_i \cap U_j) \to \operatorname{Aut}(F)</math> gewechselt werden. Die Kartenwechsel geben Auskunft darüber, welche Symmetrien der Fasern beim Übergang benutzt werden, weshalb sie auch Übergangsfunktionen genannt werden. Für ein Punkt <math>b \in U_i \cap U_j</math> ist die Übergangsfunktion durch den Ausdruck <math>\Phi_{i, j}(b) = (pr_F \circ h_{U_i} \circ h_{U_j}^{-1})(b, \cdot ) \colon F \to F</math> gegeben. Das folgende Diagramm verdeutlicht die Situation:
[[Datei:Kartenwechsel.svg|rahmenlos|zentriert|400x400px]]
In der ersten Zeile ist die erste Komponente durch die Identität und die zweite Komponente durch die Übergangsfunktion gegeben.<ref>{{Literatur |Autor=Gerd Laures, Markus Szymik |Titel=Grundkurs Topologie |Auflage=2. |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-662-45952-2 |Seiten=184 |DOI=10.1007/978-3-662-45953-9}}</ref>

Eine topologische Transformationsgruppe <math>G</math> eines topologischen Raumes <math>F</math> relativ zu einer Abbildung <math>\eta \colon G \times F \to F</math> ist eine topologische Gruppe <math>G,</math> sodass:

* <math>\eta</math> stetig ist
* <math>\eta (e, f) = f</math> wobei <math>e</math> die Identität von <math>G</math> ist und
* <math>\eta (g_1, g_2, f) = \eta (g_1, \eta (g_2, f))</math> für alle <math>g_1, g_2 \in G</math> und <math>f \in F.</math>

Oft betrachtet man mehr als nur eine solche Abbildung <math>\eta</math> und ersetzt deshalb <math>\eta ( g, f)</math> durch <math>g \cdot f.</math><ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0 |Seiten=7}}</ref>

Ein '''Koordinatenbündel''' ist ein Faserbündel zusammen mit einer effektiven topologischen Transformationsgruppe <math>G,</math> sodass die folgenden zwei Bedingungen gelten:

* Für jedes <math>b \in U_i \cap U_j</math> und <math>i, j \in I</math> entspricht der Homöomorphismus <math>(h_{U_j} \circ h_{U_i}^{-1}) (b, \cdot ) \colon F \to F</math> der Operation eines Gruppenelements in <math>G</math>
* für jedes <math>i, j \in I</math> ist die Abbildung <math>\tau_{j, i} \colon U_i \cap U_j \to G</math> mit <math>\tau_{j, i}(b) = (h_{U_j} \circ h_{U_i}^{-1}) (b, \cdot )</math> stetig.

Die Abbildungen <math>\tau_{j, i}</math> heißen '''Koordinaten-Übergangsfunktionen''' (teilweise auch nur Übergangsfunktionen genannt<ref>{{Literatur |Autor=James F. Davis, Paul Kirk |Titel=Lecture Notes in Algebraic Topology |Datum=1991 |Seiten=77-80}}</ref>) und <math>G</math> heißt die '''Strukturgruppe''' des Bündels. Die Koordinaten-Übergangsfunktionen haben die folgenden drei Eigenschaften:

# <math>\tau_{k, j}(b) \tau_{j, i}(b) = \tau_{k, i}(b)</math> für jedes <math>i, j, k \in I</math> und jedes <math>b \in U_i \cap U_j \cap U_k.</math>
# <math>\tau_{i, i}(b) = id_G</math> für jedes <math>b \in U_i.</math>
# <math>\tau_{j, k}(b) = (\tau_{k, j}(b))^{-1}</math> für jedes <math>b \in U_j \cap U_k.</math>

Zwei Koordinatenbündel mit selbem Basisraum und Totalraum, gleicher Faser, Projektion und Strukturgruppe heißen '''äquivalent''', wenn die Atlanten<math>\{(U_i, h_{U_i}) | i \in I \}</math> und <math>\{(U_j^\prime, h^\prime_{U_j^\prime}) |j \in J \}</math> für zwei Indexmengen <math>I</math> und <math>J</math> die folgenden zwei Bedingungen erfüllen:

* Für jedes <math>b \in U_i \cap U_k^\prime</math> stimmt <math>\tilde \tau_{k, i}(b) = (h_{U_k^\prime}^\prime \circ h_{U_i}^{-1}) (b, \cdot ) </math> mit der Operation eines Gruppenelements überein und
* die so definierten Koordinaten-Übergangsfunktionen <math>\tilde \tau_{k, i} \colon U_i \cap U_k^\prime \to G</math> sind stetig.

Ein '''<math>G</math>-Faserbündel''' ist eine Äquivalenzklasse von Koordinatenbündeln. Häufig wird ein <math>G</math>-Faserbündel auch als maximales Koordinatenbündel definiert.<ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0 |Seiten=6-9}}</ref>

Der Bündelkonstruktionssatz liefert Bedingungen, unter welchen die Existenz eines Koordinatenbündels garantiert ist:

Für jede topologische Transformationsgruppe <math>G</math> von einem Raum <math>F</math> und System von Übergangsfunktionen in einem Raum <math>B</math>, das heißt eine Überdeckung <math>\{U_i | i \in I \}</math> und eine Menge <math>\{ \tau_{j, i} | i,j \in I\}</math> von stetigen Abbildungen mit den drei oben genannten Eigenschaften für Koordinaten-Übergangsfunktionen, existiert ein Koordinatenbündel mit Basisraum <math>B,</math> Faser <math>F,</math> Strukturgruppe <math>G</math> und Übergangsfunktionen <math>\tau_{j,i}.</math><ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0 |Seiten=14}}</ref>

== Hauptfaserbündel ==
{{Hauptartikel|Hauptfaserbündel}}
Ein '''<math>G</math>-Hauptfaserbündel''' ist ein Faserbündel <math>\pi \colon E \to B</math> mit Faser <math>F</math> und einer Strukturgruppe <math>G,</math> die auf der Faser durch Linksmultiplikation operiert. Die Strukturgruppe operiert frei auf dem Totalraum durch Rechtsmultiplikation mit Bahnenraum <math>B.</math><ref>{{Literatur |Autor=James F. Davis, Paul Kirk |Titel=Lecture Notes in Algebraic Topology |Datum=1991 |Seiten=84}}</ref>

Eine offene [[Überdeckung (Mathematik)|Überdeckung]] <math>(U_i)_{i \in I}</math> von <math>B</math> wird abzählbar genannt, falls eine lokal endliche Zerlegung der Eins existiert:
: <math>1 = \sum_{i \in I} u_i</math> mit <math>\operatorname{supp}(u_i) \subseteq U_i</math> für jedes <math>i \in I.</math>
Ein '''<math>G</math>'''-Hauptfaserbündel <math>\pi \colon E \to B</math> heißt '''abzählbar''', falls eine abzählbare Überdeckung <math>(U_i)_{i \in I}</math> von <math>B</math> existiert, sodass die eingeschränkten Bündel <math>p_i = p|_{p^{-1}(U_i)} \colon p^{-1}(U_i) \to U_i</math> für jedes <math>i \in I</math> triviale Bündel sind. Ein abzählbares '''<math>G</math>'''-Hauptfaserbündel heißt [[Klassifizierender Raum|universelles Bündel]], falls für jeden Raum <math>X</math> die Abbildung <math>\rho \colon [X, B] \to Prin_G(X)</math> von der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von <math>X</math> nach <math>B</math> in die Menge der Isomorphieklassen von '''<math>G</math>'''-Hauptfaserbündeln eine Bijektion ist. Bei einem universellen Bündel <math>\pi \colon E \to B</math> wird der Basisraum [[klassifizierender Raum]] von <math>G</math> genannt.<ref>{{Literatur |Autor=Dale Husemoller |Titel=Fibre Bundles |Verlag=Springer Verlag |Ort=Princeton NJ |Datum=1994 |ISBN=0-387-94087-1 |Seiten=48-50}}</ref>

Hauptfaserbündel spielen eine wichtige Rolle bei der Klassifikation von Bündeln. Zudem kann jedes <math>G</math>-Faserbündel mit einem Hauptfaserbündel assoziiert werden und umgekehrt jedes Hauptfaserbündel mit einem <math>G</math>-Faserbündel.

=== Assoziierte Hauptfaserbündel ===
Für ein gegebenes <math>G</math>-Faserbündel lässt sich ein <math>G</math>-Hauptfaserbündel konstruieren. Die Existenz ist durch den Bündelkonstruktionssatz gegeben, wobei die Faser als <math>G</math> gewählt wird und <math>G</math> zusätzlich auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert. Der Basisraum und das System von Übergangsfunktionen werden identisch mit denen des <math>G</math>-Faserbündels gewählt.<ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0 |Seiten=36}}</ref>

=== Assoziierte G-Faserbündel ===
Für ein gegebenes <math>G</math>-Hauptfaserbündel <math>\pi \colon E \to B</math> und einen links <math>G</math>-Raum <math>F</math> lässt sich ein <math>G</math>-Faserbündel konstruieren:

Auf dem Produktraum <math>E \times F</math> ist eine rechts <math>G </math>-Raum Struktur durch <math>((x, b), g) = (gx, g^{-1}b) </math> definiert. Das <math>G </math>-Faserbündel ist durch die Abbildung <math>\pi_F \colon (E \times F) / G \to B </math> mit <math>\pi_F((x, b)G) = \pi(x) </math> und der Faser <math>F </math> gegeben.<ref>{{Literatur |Autor=Dale Husemoller |Titel=Fibre Bundles |Verlag=Springer Verlag |Ort=Princeton NJ |Datum=1994 |ISBN=0-387-94087-1 |Seiten=43-44}}</ref>

== Vektorbündel ==
{{Hauptartikel|Vektorbündel}}
Ein '''Vektorbündel''' vom Rang <math>n</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\mathbb{K}</math> ist ein Faserbündel <math>V \to E \xrightarrow{\pi} B,</math> dessen Fasern die Struktur eines <math>n</math>-dimensionalen <math>\mathbb{K}</math>-[[Vektorraum]]es haben und zusätzlich jede lokale Trivialisierung <math>\varphi \colon \pi^{-1}(U) \to U \times V, </math> für ein <math>U \subseteq B, </math> einen <math>\mathbb{K}</math>-linearen [[Isomorphismus]] auf den einzelnen Fasern induziert. Das bedeutet, dass die Abbildung <math>\varphi </math> eingeschränkt auf ein <math>x \in U </math> ein Isomorphismus ist und somit <math>\pi^{-1}(x) \cong \{ x \} \times V </math> gilt. Häufig betrachtet man reelle oder komplexe Vektorbündel, bei denen der Körper <math>\mathbb{K} </math> durch die [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] <math>\R</math> bzw. durch die [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>\Complex</math> gegeben sind.

Es gibt eine natürliche Bijektion zwischen den Isomorphieklassen von Vektorbündeln mit Rang <math>k </math> von [[Parakompakter Raum|parakompakten]] Räumen <math>B </math> und der Menge der Homotopieklassen von Abbildungen von <math>B </math> in die [[Graßmann-Mannigfaltigkeit]] von <math>k </math>-dimensionalen Unterräumen in <math>\R^\infty : </math> <math>[B, G_n(\R^\infty)] \cong Vect^n(B). </math><ref>{{Literatur |Autor=Dale Husemoller |Titel=Fibre Bundles |Verlag=Springer Verlag |Ort=Princeton NJ |Datum=1994 |ISBN=0-387-94087-1 |Seiten=23}}</ref>

=== Beispiele ===

* Das [[Tangentialbündel]] der <math>S^n \subseteq \R^{n+1} </math> mit Totalraum <math>E = \{ (x, v) \in S^n \times \R^{n+1} | x \perp v = 0\} </math> und Projektion <math>p \colon E \to S^n </math> ist ein Vektorbündel mit Fasern <math>p^{-1}(b) \cong \R^n </math> für jedes <math>b \in S^n. </math>
* Das kanonische Vektorbündel <math>\gamma_k^n </math> mit Rang <math>k </math> der Graßmann-Mannigfaltigkeit <math>G_k(\R^n) </math> ist durch den Totalraum <math>E = \{ (V, x) \in G_k(\R^n) \times \R^n | x \in V \} </math> und die Projektion <math>\gamma_k^n \colon E \to G_k(\R^n) </math> gegeben.<ref>{{Literatur |Autor=Dale Husemoller |Titel=Fibre Bundles |Verlag=Springer Verlag |Ort=Princeton NJ |Datum=1994 |ISBN=0-387-94087-1 |Seiten=12-13}}</ref>

== Sphärenbündel ==
{{Hauptartikel|Sphärenbündel}}
Ein '''<math>n </math>-Sphärenbündel''' ist ein Faserbündel <math>\pi \colon E \to B </math> mit der <math>n </math>-Sphäre <math>S^n </math> als Faser. Oft ist ein Sphärenbündel zusammen mit der [[Orthogonale Gruppe|orthogonalen Gruppe]] <math>O(n+1)</math> als Strukturgruppe gegeben.<ref>{{Literatur |Autor=Edwin H. Spanier |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum= |ISBN=978-0-387-94426-5 |Seiten=91 |DOI=10.1007/978-1-4684-9322-1}}</ref>

Ein Sphärenbündel wird orientierbar genannt, falls die Strukturgruppe durch die [[Drehgruppe]] gegeben ist.<ref>{{Literatur |Autor=Norman Steenrod |Titel=The Topology of Fibre Bundles |Verlag=Princeton University Press |Ort=Princeton NJ |Datum=1951 |ISBN=0-691-08055-0 |Seiten=34}}</ref>

Die Kohomologie von Sphärenbündeln kann mittels der [[Gysin-Sequenz]] berechnet werden.

== Kohomologie von Faserbündeln ==
Die Bestimmung der Kohomologiegruppen von Faserbündeln ist deutlich schwieriger, als die Bestimmung der Homotopiegruppen. Die Homotopiegruppen sind durch eine lange [[exakte Sequenz]] gegeben, die Kohomologiegruppen haben dagegen nur unter bestimmten Voraussetzungen eine lange exakte Sequenz.

Für ein triviales Bündel ist die Beziehung der Kohomologiegruppen durch die [[Satz von Künneth|Künneth-Formel]] gegeben. Für beliebige Faserbündel werden Hilfsmittel, wie [[Spektralsequenz]]en benötigt.

Der [[Satz von Leray-Hirsch]] liefert ausreichende Bedingungen an ein Faserbündel, sodass die Struktur der Kohomologiegruppen der eines trivialen Bündels sehr ähnlich ist.

Für <math>(n-1)</math>-Sphärenbündel <math>p \colon E \to B,</math> die zusätzlich eine Orientierbarkeitsbedingung erfüllen, existiert eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen. Die Sequenz ist unter dem Namen [[Gysin-Sequenz]] bekannt:
: <math>\cdots \to H^{i - n}(B;R) \xrightarrow[]{\smile e} H^i(B;R) \xrightarrow[]{p^*} H^i(E;R) \to H^{i - n + 1}(B;R) \to \cdots .</math>
Hierbei ist <math>e</math> eine bestimmte [[Euler-Klasse|Eulerklasse]] in <math>H^n(B;R).</math><ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=438}}</ref>

=== Beispiele ===

* Das Hopf-Bündel <math>S^1 \to S^3 \to S^2</math> hat nicht die Kohomologiestruktur eines trivialen Bündels, da <math>H^*(S^3) \not \approx H^*(S^2) \otimes H^*(S^1)</math> gilt.<ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=432}}</ref>
* Für das Faserbündel <math>U(n-1) \hookrightarrow U(n) \to S^{2n-1}</math> gilt: <math>H^*(U(n);\Z) \approx \Lambda_\Z[x_1, x_3, \cdots , x_{2n-1}].</math><ref>{{Literatur |Autor=Allen Hatcher |Titel=Algebraic Topology |Verlag=Cambridge University Press |Ort=NY |Datum=2001 |ISBN=0-521-79160-X |Seiten=434}}</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==

* [http://planetmath.org/encyclopedia/FiberBundle.html PlanetMath: Fiber Bundle]
* [https://mathworld.wolfram.com/FiberBundle.html MathWorld: Fiber Bundle]

{{SORTIERUNG:Faserbundel}}
[[Kategorie:Algebraische Topologie]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Faserbündel - Versionsgeschichte

~2025-28148-46: /* Definition */