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2026-03-27T16:45:32Z

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Eine '''Farey-[[Folge (Mathematik)|Folge]]''' (mathematisch unkorrekt auch '''Farey-[[Reihe (Mathematik)|Reihe]]''' oder einfach '''Farey-Brüche''') ist in der [[Zahlentheorie]] eine geordnete [[Menge (Mathematik)|Menge]] der [[gekürzter Bruch|vollständig gekürzten]] [[Bruchrechnung|Brüche]] zwischen 0 und 1, deren jeweiliger Nenner den Index N nicht übersteigt. Benannt sind die Farey-Folgen nach dem britischen Geologen [[John Farey]] Sr., der diese Anordnung der Brüche 1816 vorschlug.<ref>John Farey: [http://books.google.de/books?id=I5cOAAAAIAAJ&pg=385 ''On a curious Property of vulgar Fractions.''] In: ''The Philosophical Magazine and Journal'', 47, 1816, S. 385–386, Nr. LXXIX. Vgl. S. A.: [http://books.google.de/books?id=Gh5RAAAAYAAJ&pg=204 ''On Vulgar Fractions.''] In: ''The Philosophical Magazine and Journal'', 48, 1816, S. 204, Nr. XLIII.</ref> [[Augustin Louis Cauchy]] griff das auf und benannte die Folgen nach Farey. Tatsächlich hatte aber ein Franzose namens Haros einige grundlegende Eigenschaften dieser Folge schon 1802 veröffentlicht, wovon aber erst später Notiz genommen wurde.<ref>C.[itoy]en [= Bürger] Haros: [http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k4336689/f374.image ''Tables pour évaluer une fraction ordinaire avec autant de décimales qu'on voudra'']; ''et pour trouver la fraction ordinaire la plus simple, et qui approche sensiblement d’une fraction décimale''. In: ''Journal de l’école polytechnique'', 4, 1802, Nr. 11, S. 364–368.</ref>

== Formale Definition ==

Eine Farey-Folge <math>N</math>-ter Ordnung <math>F_N</math> ist eine geordnete Menge von Brüchen <math>\frac{p_i}{q_i}</math> mit <math>p_i \leq q_i \leq N</math>, <math>i \in I</math>, <math>\operatorname{ggT}(p_i, q_i)=1</math> mit <math>I</math> Indexmenge und <math>p_i, q_i, N \in \N</math>, so dass
: <math>\frac{p_i}{q_i} < \frac{p_j}{q_j}</math> für alle <math>i < j</math> gilt.

== Beispiele ==

: <math>F_1 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{1}\right)</math>
: <math>F_2 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{1}\right)</math>
: <math>F_3 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{1}{1}\right)</math>
: <math>F_4 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{1}{1}\right)</math>
:<math>F_5 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{1}{1}\right)</math>
:<math>F_6 = \left( \frac{0}{1}, \frac{1}{6}, \frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{2}{5}, \frac{1}{2}, \frac{3}{5}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \frac{1}{1} \right)</math>.

Die ersten 8 Folgen in einer strukturierten Darstellung:
F1 = {0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1}
F2 = {0 · · · · · · · · · · 1/2 · · · · · · · · · · 1}
F3 = {0 · · · · · · 1/3 · · · 1/2 · · · 2/3 · · · · · · 1}
F4 = {0 · · · · 1/4 · 1/3 · · · 1/2 · · · 2/3 · 3/4 · · · · 1}
F5 = {0 · · · 1/5 1/4 · 1/3 · 2/5 · 1/2 · 3/5 · 2/3 · 3/4 4/5 · · · 1}
F6 = {0 · · 1/6 1/5 1/4 · 1/3 · 2/5 · 1/2 · 3/5 · 2/3 · 3/4 4/5 5/6 · · 1}
F7 = {0 · 1/7 1/6 1/5 1/4 2/7 1/3 · 2/5 3/7 1/2 4/7 3/5 · 2/3 5/7 3/4 4/5 5/6 6/7 · 1}
F8 = {0 1/8 1/7 1/6 1/5 1/4 2/7 1/3 3/8 2/5 3/7 1/2 4/7 3/5 5/8 2/3 5/7 3/4 4/5 5/6 6/7 7/8 1}

== Konstruktion ==

Für gegebenes <math>N>2</math> erhält man den Bruch <math>\frac{p_i}{q_i}</math> der Folge <math>F_N</math> aus den letzten beiden Brüchen derselben Folge:

<math>\begin{array}{lcl}
p_1 & = & 0 \\
q_1 & = & 1 \\
p_2 & = & 1 \\
q_2 & = & N \\
p_i & = & \left\lfloor\frac{ q_{i-2}+N}{q_{i-1}}\right\rfloor p_{i-1}-p_{i-2}\\
q_i & = & \left\lfloor\frac{ q_{i-2}+N}{q_{i-1}}\right\rfloor q_{i-1}-q_{i-2}\\
\end{array}</math>

Dabei bedeuten die unten eckigen Klammern ein Abrunden. Mit Integer-Arithmetik wird bei Division implizit abgerundet, so dass man beispielsweise in Java die Berechnung ohne explizites Abrunden programmieren kann:<syntaxhighlight lang="java">
public class FareySequence {
@FunctionalInterface
public static interface BiIntConsumer {
void accept(int p, int q);
}
public static void forEach(int n, BiIntConsumer consumer) {
int p__ = 0; // p_{i-2} = p_1
int q__ = 1; // q_{i-2} = q_1
int p_ = 1; // p_{i-1} = p_2
int q_ = n; // q_{i-1} = q_2
consumer.accept(p__, q__);
consumer.accept(p_, q_);
while ((q_ != 1)) {
int p = ((q__ + n) / q_) * p_ - p__;
int q = ((q__ + n) / q_) * q_ - q__;
p__ = p_;
p_ = p;
q__ = q_;
q_ = q;
consumer.accept(p, q);
}
}

// Beispiel Verwendung:
public static void main(String[] args) {
FareySequence.forEach(8,(p, q) -> System.out.print(p + "/" + q+", "));
// Ausgabe: 0/1, 1/8, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 3/8, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 5/8, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 7/8, 1/1,
}
}
</syntaxhighlight>

== Eigenschaften ==

Die [[Mächtigkeit (Mathematik)|Mächtigkeit]] einer Farey-Folge zum Index N ist gleich der Mächtigkeit der Vorgängerfolge zum Index N-1 addiert mit dem Wert der [[Eulersche φ-Funktion|Eulerschen φ-Funktion]] für N:
:<math>|F_N| = |F_{N-1}| + \varphi(N)</math>.

Bei zwei aufeinander folgenden Brüchen <math>\tfrac{a}{b}</math> und <math>\tfrac{c}{d}</math> einer Farey-Folge ergeben die Produkte ''a·d'' und ''b·c'' zwei aufeinander folgende Zahlen. Man kann auch schreiben:
: <math>\begin{vmatrix} a & c \\ b & d \end{vmatrix} = a d - b c = -1</math>.

Sind umgekehrt <math>\tfrac ab</math> und <math>\tfrac c d</math> zwei Brüche mit <math>0\le\tfrac{a}{b} < \tfrac {c}{d} \le 1 </math> und <math>ad - bc=-1</math>, so handelt es sich um Nachbarn bis zur Farey-Folge <math>F_{b+d-1}</math>, mit anderen Worten: Jeder dazwischen liegende Bruch <math>\tfrac {p}{q}</math> hat einen Nenner <math>q \ge b+d</math>. In der Tat müssen nämlich die Zähler der positiven Brüche <math>\tfrac{p}{q} - \tfrac{a}{b} = \tfrac{bp - aq}{qb}</math> und <math>\tfrac{c}{d}-\tfrac{p}{q} = \tfrac{cq - dp}{dq}</math> positive ganze Zahlen sein, also <math>bp - aq \ge 1</math> und <math>cq - dp \ge 1</math>.

Hieraus folgt
: <math>q = (bc-ad) \cdot q = b \cdot (cq-dp) + d \cdot (bp-aq) \ge b+d</math>.

Ebenso folgt
: <math>p = (bc-ad) \cdot p = c \cdot (bp-aq) + a \cdot (cq-dp) \ge c+a</math>.
Beide Ungleichungen werden scharf genau für die Farey-Summe <math>\tfrac{p}{q} = \tfrac{a+c}{b+d}</math>.

== Farey-Folgen und Riemannvermutung ==
[[Jérôme Franel]] bewies 1924 (ergänzt durch [[Edmund Landau]]), dass die [[Riemannsche Vermutung|Riemannvermutung]] zu einer Aussage über Farey-Reihen äquivalent ist.

Seien <math>\{a_{k,n} : k = 0, 1, \ldots, m_n\}</math> die Elemente der n-ten Farey-Folge <math>F_n</math> und sei <math>d_{k,n} = a_{k,n} - k/m_n</math> der Abstand zwischen dem ''k''-ten Term der n-ten Fareyfolge und dem k-ten Term der äquidistanten Punktreihe im Einheitsintervall mit derselben Anzahl von Termen wie die n-te Fareyfolge. Franel bewies dann die Äquivalenz der Riemannhypothese zu (verwendet werden die [[Landau-Symbole]]):

: <math>\sum_{k=1}^{m_n} d_{k,n}^2 = \mathcal{O}(n^r)\quad\forall r>-1</math>

und Landau bemerkte, dass die Riemannhypothese dann auch zu

: <math>\sum_{k=1}^{m_n} |d_{k,n}| = \mathcal{O} (n^r)\quad\forall r>1/2</math>

äquivalent ist.

== Siehe auch ==
* [[Farey-Graph]]
* [[Ford-Kreis]]e
* [[Stern-Brocot-Baum]]

== Literatur ==
* [[John Horton Conway|John H. Conway]], [[Richard K. Guy]]: ''The Book of Numbers''. Copernicus Books, New York 1996, ISBN 0-387-97993-X.
* [[Leonard E. Dickson|Leonard Eugene Dickson]]: ''Farey Series.'' In: ''History of the Theory of Numbers'', Band 1 (Divisibility and Primality). Carnegie Institution, Washington 1919, S. 155–158.
* [[Jeffrey Lagarias]], Charles Tresser: ''A walk along the branches of the extended Farey tree.'' In: ''IBM Journal of Research and Development'', 39, 1995, Nr. 3, S. 283–294.
* [[Harald Scheid]], [[Andreas Frommer]]: ''Zahlentheorie.'' 4. Auflage. Springer Spektrum, Heidelberg; [u. a.] 2006, ISBN 978-3-8274-1692-6.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=FareySequence |title=Farey Sequence}}
* [https://www.cut-the-knot.org/blue/Farey.shtml Farey Series] auf cut-the-knot
* [https://www.math.uni-hamburg.de/home/werner/GruMiFiboSoSe06.pdf Skript zu Fibonacci-Zahlen, Kettenbrüchen und Farey-Folgen] (PDF; 1,22 MB)
* Horst Hischer: [http://www.math.uni-sb.de/PREPRINTS/preprint98.pdf ''4000 Jahre Mittelwertbildung''] (PDF; 4,23 MB)
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Farey_series Farey-Reihen] in der ''Encyclopedia of Mathematics'' (Springer)
* {{Webarchiv | url=http://www.math.jussieu.fr/~miw/telecom/biblio-Amoroso.html | archive-is=20121218091153 | text=Bibliografie mit Beziehung zur riemannschen Vermutung}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Zahlentheorie]]

Farey-Folge - Versionsgeschichte

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