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2026-02-14T01:12:56Z

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Das '''Fano-Axiom''' ist in der [[Synthetische Geometrie|synthetischen Geometrie]] ein Inzidenzaxiom sowohl für [[affine Ebene]]n als auch für [[projektive Ebene]]n. Es ist nach dem italienischen Mathematiker [[Gino Fano]] benannt. In affinen oder projektiven Ebenen über einem [[Schiefkörper]] oder [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> gilt das Fano-Axiom genau dann, wenn die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] von <math>K</math> nicht 2 ist. Die ebenfalls nach Fano benannte [[Fano-Ebene]], das Minimalmodell einer projektiven Ebene, erfüllt das Fano-Axiom ''nicht''.

== Affines Fano-Axiom ==
[[Datei:Fano parallelogramm.svg|mini|Affines Fano-Axiom: Im Parallelogramm <math>P_1P_2P_3P_4</math> schneiden sich die Diagonalen <math>P_1P_3</math> und <math>P_2P_4</math> in einem Punkt <math>D</math>. Das Axiom erlaubt es, einer Strecke <math>(P_1,P_2)</math> Mittelpunkte <math>M</math> zuzuordnen.]]
Eine affine Ebene <math>\mathcal{A}</math> erfüllt das Fano-Axiom, wenn dort gilt (vgl. die Abbildung rechts):
* „Bei jedem nichtausgearteten Parallelogramm schneiden sich die Diagonalen.“ Oder gleichwertig:
* „In keinem nichtausgearteten Parallelogramm sind die Diagonalen parallel.“
Ausführlich und formaler lautet das Axiom so: Sind <math>P_1,P_2,P_3,P_4</math> Punkte der affinen Ebene <math>A</math>, von denen keine drei auf einer Geraden liegen, dann gilt: Aus <math>P_1P_2 \parallel P_3P_4</math> und <math>P_2P_3 \parallel P_4P_1</math> folgt <math>P_1P_3\not\parallel P_2P_4</math>.

Für eine [[affine Translationsebene]] sind die folgenden Aussagen beide äquivalent zum Fano-Axiom:
* Keine Translation hat die [[Ordnung eines Gruppenelementes|Ordnung]] 2, das heißt für jede Translation <math>\tau</math> folgt aus <math>\tau\circ\tau=\operatorname{Id}_A</math>, dass <math>\tau=\operatorname{Id}_\mathcal{A}</math> ist.
* Der Schiefkörper <math>S</math> der spurtreuen Endomorphismen der Translationsgruppe hat eine von 2 verschiedene [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]].

Für eine beliebige affine Ebene folgt die erste dieser Aussagen aus dem Fano-Axiom.

Für jede affine Translationsebene gilt die Alternative:
# Entweder sind in ''jedem'' nichtausgearteten Parallelogramm die Diagonalen parallel ''oder''
# in ''jedem'' nichtausgearteten Parallelogramm schneiden sich die Diagonalen.

Im ersten Fall hat jede nichtidentische Translation die Ordnung <math>p=2</math>, im zweiten Fall haben ebenfalls alle nichtidentischen Translationen dieselbe Ordnung, diese ist entweder eine ungerade Primzahl <math>p</math> oder unendlich, dann setzt man <math>p=0</math>. In all diesen Fällen ist <math>p</math> zugleich die Charakteristik des oben beschriebenen Schiefkörpers <math>S</math>.

=== Mittelpunkte einer Strecke ===
In einer affinen Ebene, die dem Fano-Axiom genügt, kann man einer Strecke <math>(P_1,P_2)\in \mathcal{A}^2</math> Mittelpunkte <math>M</math> zuordnen:
# Falls <math>P_1=P_2</math> ist, setzt man <math>M=P_1</math> und nennt <math>M=P_1</math> den „Mittelpunkt der Strecke <math>(P_1,P_2)</math>“.
# Falls <math>P_1\neq P_2</math> ist, wählt man einen beliebigen Punkt <math>P_3</math> außerhalb der Gerade <math>P_1P_2</math> und ergänzt zu einem nichtausgearteten Parallelogramm <math>P_1P_2P_3P_4</math>. Die Parallele zu <math>P_1P_4</math> durch den Diagonalenschnittpunkt <math>D</math> schneidet <math>P_1P_2</math> in einem Punkt <math>M</math>. Alle Punkte <math>M</math>, die so (bei wechselnden Hilfspunkten <math>P_3</math>) konstruierbar sind, heißen „Mittelpunkte der Strecke <math>(P_1,P_2)</math>“.

=== Punktspiegelung ===
Eine [[Kollineation]] <math>\delta</math> auf einer affinen Fano-Ebene heißt [[Punktspiegelung]], wenn ein Punkt <math>Z</math> existiert, der ein Mittelpunkt für jede Verbindungsstrecke <math>(P,\delta(P))</math> ist.
* Zu einem beliebigen Punkt <math>Z\in\mathcal{A}</math> muss im Allgemeinen keine Punktspiegelung an <math>Z</math> existieren.
* Im Falle ihrer Existenz ist die Punktspiegelung <math>\delta</math> an <math>Z</math> durch <math>Z</math> eindeutig bestimmt. Dann ist für eine beliebige Punkt-Bildpunktstrecke <math>(P,\delta(P))</math> der Punkt <math>Z</math> der ''einzige'' Mittelpunkt.
* Jede Punktspiegelung ist eine [[Dilatation (Geometrie)|Dilatation]] und also eine [[Affinität (Mathematik)|Affinität]], denn ihre projektive Fortsetzung ist eine [[Projektive Perspektivität|ebene Perspektivität]]. Der einzige Fixpunkt der Affinität und das Zentrum der projektiven Fortsetzung ist der Mittelpunkt <math>Z</math> einer beliebigen Punkt-Bildpunktstrecke <math>(P,\delta(P))</math>.
* Jede Punktspiegelung ist [[Involution (Mathematik)|involutorisch]].
* In einer affinen Translationsebene und erst recht in einer desarguesschen Ebene existiert zu jedem Punkt <math>Z\in\mathcal{A}</math> eine Punktspiegelung an <math>Z</math>. Sie ist die zentrische Streckung um <math>Z</math> mit dem Streckungsfaktor <math>-1</math>.

== Projektives Fano-Axiom ==
Es wurden zwei projektive Formen des Fano-Axioms formuliert, die zueinander dual und äquivalent sind.<ref>Kadison und Kromann (1996), 5.2: ''Fano’s Axiom P6.''</ref> Dazu werden die Begriffe ''vollständiges Viereck'' bzw. ''vollständiges Vierseit'' benötigt, die ebenfalls zueinander dual sind.

=== Vollständiges Viereck ===
[[Datei:Complete Quadrangle.svg|mini|x240px|Ein vollständiges Viereck. Die vier „Ecken“ A,B,C,D sind rot gekennzeichnet, Paare von Gegenseiten haben jeweils die gleiche Farbe. Die Schnittpunkte der Gegenseiten, E, F, G – die „Diagonalpunkte“ – sind grau.]]
Ein vollständiges Viereck in einer projektiven Ebene besteht aus 4 Punkten (den ''Ecken'' des Vierecks) in allgemeiner Lage, das heißt keine drei davon liegen auf einer gemeinsamen Gerade. Die 6 [[Verbindungsgerade]]n der Ecken heißen die „Seiten“ des Vierecks, je zwei Seiten, die nicht durch eine gemeinsame Ecke gehen, heißen „Gegenseiten“ des Vierecks.

Ein vollständiges Viereck heißt „Anti-Fano-Viereck“, wenn die Schnittpunkte der Gegenseiten auf einer Geraden liegen, sonst heißt es „Fano-Viereck“.<ref>Hauke Klein: [http://www.math.uni-kiel.de/geometrie/klein/math/geometry/fano.html ''Fano axiom''] (englisch).</ref>

→ Ein vollständiges Viereck, aufgefasst als geordnete Menge von vier Punkten, bildet eine [[Projektive Basis|projektive Punktbasis]].

=== Das projektive Axiom ===
Das projektive Fano-Axiom lautet:
: „Die Schnittpunkte der Gegenseiten (Diagonalpunkte) in einem beliebigen vollständigen Viereck sind nicht [[Kollinearität|kollinear]].“<ref>Eric W. Weisstein: ''Fano’s Axiom.'' [https://mathworld.wolfram.com/FanosAxiom.html From MathWorld – A Wolfram Web Resource] (englisch).</ref>

Das Fano-Axiom fordert also, dass jedes vollständige Viereck der projektiven Ebene ein Fano-Viereck ist. Dann nennt man die projektive Ebene ''eine'' Fano-Ebene. Ist dagegen jedes vollständige Viereck ein Anti-Fano-Viereck, dann wird die projektive Ebene gelegentlich als Anti-Fano-Ebene bezeichnet.

=== Bemerkungen ===
Zum projektiven Fano-Axiom ist zu beachten:
* Es gibt projektive Ebenen, die weder Fano- noch Anti-Fano-Ebenen sind, siehe [[#AntiFano|weiter unten]] in diesem Artikel.
* Jede [[Satz von Desargues|desarguesche]] projektive Ebene ist entweder eine Fano- oder eine Anti-Fano-Ebene. Sie ist eine Anti-Fano-Ebene, wenn die Charakteristik ihres [[Ternärkörper|Koordinatenschiefkörpers]] 2 ist, und eine Fano-Ebene bei jeder anderen Charakteristik.
* Allgemeiner ist sogar jede [[Moufangebene]] entweder eine Fano- oder eine Anti-Fano-Ebene. Dort lautet das Kriterium: Ist <math>S</math> der ''[[Alternativkörper#Kern|Kern]]'' <math>S=\operatorname{Kern}(A)=\lbrace x\in A: \forall a,b\in A\quad x(ab)=(xa)b \rbrace</math> des [[Alternativkörper|Koordinatenalternativkörpers]] <math>A</math> der Ebene, dann ist diese Ebene eine Anti-Fano-Ebene, wenn die Charakteristik dieses Schiefkörpers <math>\operatorname{char}(S)=2</math> ist, und eine Fano-Ebene bei jeder anderen Charakteristik von <math>S</math>.
* ''Die'' [[Fano-Ebene]] ist im axiomatischen Sinn ''eine'' Anti-Fano-Ebene!

=== Beziehungen des projektiven zum affinen Fano-Axiom ===
* Durch Ausschneiden einer projektiven Gerade („Schlitzen“) bzw. projektive Erweiterung entsteht aus einer projektiven desargueschen Fano-Ebene stets eine affine desarguesche Ebene, die das affine Fano-Axiom erfüllt, und umgekehrt.
* Durch Schlitzen einer Moufangebene, in der das projektive Fano-Axiom gilt, entsteht stets eine affine Translationsebene, in der das affine Fano-Axiom gilt.
* Falls die projektive Erweiterung einer affinen Translationsebene, die das Fano-Axiom erfüllt, eine Moufangebene ist, dann erfüllt auch diese Moufangebene das Fano-Axiom.
* Durch Schlitzen einer projektiven Fano-Ebene entsteht stets eine affine Ebene, die dem affinen Fano-Axiom genügt.

=== Vollständiges Vierseit ===
Ein vollständiges Vierseit in einer projektiven Ebene besteht aus 4 Geraden (den ''Seiten'' des Vierseits) in allgemeiner Lage, das heißt keine drei davon gehen durch einen gemeinsamen Punkt. Die 6 Schnittpunkte der Seiten heißen die „Ecken“ des Vierseits, je zwei Ecken, die nicht auf einer Seite liegen, heißen „Gegenecken“ des Vierseits.

Die duale Form des projektiven Fano-Axioms lautet:
: „Die Verbindungsgeraden der Gegenecken (Diagonalen) in einem beliebigen vollständigen Vierseit sind nicht [[Kopunktalität|kopunktal]].“<ref>Hermann Schaal: ''Lineare Algebra und analytische Geometrie.'' Band II, S. 220.</ref>

Es gilt: Für jede Fano-Ebene ist auch ihre duale Ebene eine Fano-Ebene.<ref>Kadison und Kromann (1996), proposition 5.4.</ref>

Das ist gleichbedeutend dazu, dass für jede projektive Ebene Fano-Axiom und duales Fano-Axiom äquivalent sind.

== {{Anker|AntiFano}} Projektive Ebenen mit Fano- und Antifano-Vierecken und der Satz von Desargues ==

=== Endliche Ebenen ===
Der folgende '''Satz von Gleason'''<ref>{{Literatur|Autor=Andrew M. Gleason|Titel=Finite Fano Planes|Sammelwerk=American Journal of Mathematics|Band=78|Nummer=4|Datum=1956-10|Seiten=797–807}}</ref> besagt, dass eine endliche Anti-Fano-Ebene (im amerikanischen Sprachgebrauch leider, etwa hier von [[Andrew Gleason]], oftmals als ''fano plane'' bezeichnet…) stets desarguesch und damit eine <math>\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_q)</math> über einem [[Endlicher Körper|endlichen Körper]] <math>\mathbb{F}_q, q=2^r,r\geq 1</math> ist:<ref name="Pickert301">Zitiert nach Günter Pickert: ''Projektive Ebenen.'' 1975, S. 301.</ref>
: Aus der Kollinearität der Diagonalpunkte aller vollständigen Vierecke in einer endlichen projektiven Ebene folgt die Allgemeingültigkeit des [[Satz von Desargues|Satzes von Desargues]] in dieser Ebene.

Beispiele für echte, endliche ''Halbkörper'' gerader Ordnung, also [[Quasikörper]], die beide [[Distributivgesetz]]e erfüllen, aber keine [[Alternativkörper]] sind, wurden von [[Donald Ervin Knuth]] in seiner Dissertation angegeben. Siehe zu dieser Literaturangabe den Artikel [[Halbkörper (Geometrie)]]. Dort sind im Abschnitt [[Halbkörper (Geometrie)#Beispiele|Beispiele]] zwei solche Halbkörper der Ordnung 16 konkret angegeben.

Die projektiven Ebenen über all diesen „Knuthschen“ echten Halbkörpern gehören der [[Klassifikation projektiver Ebenen|Lenz-Barlotti-Klasse]] V an. Sie ''können'' nach dem Satz von Gleason das Anti-Fano-Axiom nicht erfüllen, da sie nichtdesarguessch sind. Andererseits ''enthalten'' sie ''die'' Fanoebene <math>\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_2)</math> als Unterstruktur (der [[Primkörper]] mit 2 Elementen ist im Kern des Halbkörpers als Teilkörper enthalten) und damit ''auch'' Anti-Fano-Vierecke.

Umgekehrt [[Vermutung (Mathematik)|vermutet]] Günter Pickert:<ref name="Pickert301" /> In ''jeder'' endlichen, ''nicht''desarguesschen Ebene existieren Fano- ''und'' Anti-Fano-Vierecke! Er beweist dazu einen allerdings wesentlich schwächeren Satz von [[Hanna Neumann]]:<ref>{{Literatur|Autor=Hanna Neumann|Titel=On some finite non-desarguesian planes|Sammelwerk=Archiv der Mathematik|Band=6|Nummer=1|Datum=1954-09-15|Seiten=36–40|DOI=10.1007/BF01899210}}</ref>

: Ist ''p'' eine Primzahl, ''r'' eine positive ganze Zahl, für die zusätzlich <math>r\geq 2</math> im Fall <math>p=2</math> gelten soll, so gibt es eine endliche projektive Ebene der [[Affine Ebene#Ordnung|Ordnung]] <math>q=p^{2r}</math>, in der sowohl ein vollständiges Viereck mit kollinearen Diagonalpunkten wie ein solches mit nichtkollinearen Diagonalpunkten vorkommt.<ref>Wörtlich zitiert aus Günter Pickert: ''Projektive Ebenen.'' 1975, S. 300, dort wird der Satz auch bewiesen.</ref>

Die von Pickert zum Beweis konstruierten Ebenen sind durch echte [[Quasikörper]] der Ordnung <math>q=p^{2r}</math> koordinatisierbar. Das heißt: Sie und die oben erwähnten Ebenen von Knuth ''können so'' geschlitzt werden, dass eine affine Translationsebene der Ordnung ''q'' entsteht. In ''dieser affinen'' Ebene gilt dann entweder
# die Diagonalen jedes nichtausgearteten Parallelogramms sind parallel oder
# die Diagonalen jedes nichtausgearteten Parallelogramms schneiden einander.

Der erste Fall tritt genau dann ein, wenn <math>p=2</math> ist, der zweite, wenn ''p'' ungerade ist. Damit zeigt dieser Beweis zugleich, dass bereits für affine ''Translations''ebenen aus der Gültigkeit des affinen „Anti-Fano-Axioms“<ref>Der Begriff affines „Anti-Fano-Axiom“ ist in der Literatur ''kein'' üblicher Begriff. Hier sind die Ebenen mit der 1. Eigenschaft gemeint.</ref> bzw. des affinen Fano-Axioms im Allgemeinen nicht auf die Gültigkeit des entsprechenden Axioms im projektiven Abschluss geschlossen werden kann.

=== Beliebige Ebenen ===
Pickert ersetzt die Endlichkeitsvoraussetzung des Satzes von Gleason durch eine Transitivitätsvoraussetzung. Siehe dazu die Definitionen und Sprachregelungen, die im Artikel [[Klassifikation projektiver Ebenen]] erläutert sind. Er beweist damit: „Gibt es in einer projektiven Ebene drei nicht kollineare Punkte <math>O,U,V</math>, so dass die Ebene <math>(OU,V)</math>- und <math>(OV,U)</math>- transitiv ist, und sind in dieser Ebene in jedem vollständigen Viereck die Diagonalpunkte kollinear, dann ist die Ebene desarguessch.“<ref name="Pickert301" />

== Bedeutung ==
* Die Bedeutung des Fano-Axioms für die elementare affine Geometrie liegt auf der Hand: In beliebigen Ebenen ist die Gültigkeit des Fano-Axioms ''notwendig'', in desarguesschen Ebenen auch ''hinreichend'' dafür, dass zu zwei verschiedenen Punkten ein Mittelpunkt existiert! Ohne Fano-Axiom gibt es keine Seitenhalbierenden, keine Mittelsenkrechten, keine Punktspiegelungen usw.
* Etwas weniger offensichtlich ist seine Nützlichkeit bei der Untersuchung von [[Quadratische Form|Quadratischen Formen]]: Hier möchte man gerne durch 2 teilen können (zum Beispiel beim [[Quadratische Ergänzung|quadratischen Ergänzen]] und beim "Symmetrisieren" einer Formmatrix, siehe [[projektive Quadrik]]).
* Macht man, wie das in der Linearen Algebra gerne getan wird, die generelle Voraussetzung, dass die Charakteristik der betrachteten Koordinatenkörper nicht 2 sei, so geht man auch einigen Sonderfällen aus dem Weg, die nur bei affinen Geometrien mit 2 Punkten auf jeder Geraden (siehe [[Kollineation]]) bzw. nur beim Minimalmodell der projektiven Geometrie (siehe [[Fano-Ebene]]) auftreten, aber nicht direkt wegen der Charakteristik des Körpers, sondern wegen der Kleinheit der Modelle.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Wendelin Degen, Lothar Profke
|Titel=Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1976
|ISBN=3-519-02751-8
|Kommentar=Einfache Darstellung der Axiome, fachdidaktische Hinweise für den Geometrieunterricht an Gymnasien}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lothar Heffter|Lothar Wilhelm Julius Heffter]]
|Titel=Grundlagen und analytischer Aufbau der projektiven, euklidischen und nichteuklidischen Geometrie
|Auflage=3. wesentlich überarbeitete
|Verlag=Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1958
|Kommentar=Darstellung der Zusammenhänge zwischen klassischer (reeller, euklidischer) Geometrie und einigen Verallgemeinerungen in der synthetischen und absoluten Geometrie}}
* {{Literatur
|Autor=Lars Kadison, Matthias T. Kromann
|Titel=Projective Geometry and Modern Algebra
|Verlag=Birkhäuser
|Ort=Boston/Basel/Berlin
|Datum=1996
|ISBN=3-7643-3900-4
|Kommentar=Konsequenzen des Fano-Axioms für die Transitivitätseigenschaften der projektiven Gruppen
|Online=[http://bvbr.bib-bvb.de:8991/exlibris/aleph/a21_1/apache_media/5JKGKA7K4ISHMNMX2FQ8LX5LHP3YU4.pdf Inhaltsverzeichnis]
|Format=PDF
|Abruf=2016-06-06}}
* {{Literatur
|Autor=[[Günter Pickert]]
|Titel=Projektive Ebenen
|Auflage=2.
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin / Heidelberg / New York
|Datum=1975
|Kapitel=12.3: ''Vollständige Vierecke mit kollinearen Diagonalpunkten''
|Seiten=297–301
|ISBN=3-540-07280-2
|Kommentar=Berücksichtigt die damals aktuellen Ergebnisse insbesondere über endliche Ebenen}}
* {{Literatur
|Autor=Hermann Schaal
|Titel=Lineare Algebra und analytische Geometrie
|Band=II
|Auflage=2. durchgesehene
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1980
|ISBN=3-528-13057-1
|Kommentar=Bedeutung des Fano-Axioms in der Linearen Algebra über Körpern und für die Klassifikation von Kegelschnitten}}

== Einzelnachweise und Anmerkungen ==
<references />

[[Kategorie:Synthetische Geometrie]]
[[Kategorie:Analytische Geometrie]]
[[Kategorie:Endliche Geometrie]]

Fano-Axiom - Versionsgeschichte

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