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2025-07-24T14:01:19Z

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Die '''fallende''' bzw. '''steigende Faktorielle''' ('''fallende''' bzw. '''steigende [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]]''') bezeichnet in der [[Mathematik]] eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] ähnlich der [[Potenz (Mathematik)|Exponentiation]], bei der jedoch die [[Faktor (Mathematik)|Faktoren]] schrittweise fallen bzw. steigen, d. h., um Eins reduziert bzw. erhöht werden.

== Definition ==
Für [[Natürliche Zahl|natürliche Zahlen]] <math>n</math> und <math>k</math> mit <math>n\geq k\geq 0</math> wird die <math>k</math>-te fallende bzw. steigende Faktorielle (fallende bzw. steigende Fakultät) als <math>n^{\underline{k}}</math> bzw. <math>n^{\overline k}</math> notiert und ist wie folgt definiert:
:<math>n^{\underline{k}} := \prod\limits_{j=1}^k (n-j+1) = n(n-1)(n-2) \cdots (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}</math>
:<math>n^{\overline{k}} := \prod\limits_{j=1}^k (n+j-1) = n(n+1)(n+2) \cdots (n+k-1) = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)!}</math>
Man liest die Terme als „<math>n</math> hoch <math>k</math> fallend“ bzw. „<math>n</math> hoch <math>k</math> steigend“.

In manchen Lehrbüchern wird auch <math>(n)_k</math> bzw. <math>n^{(k)}</math> verwendet.

== Kombinatorische Interpretation ==
Im [[Urnenmodell]] lässt sich die fallende Faktorielle als die Anzahl der Möglichkeiten interpretieren, aus einer Urne mit <math>n</math> verschiedenen Kugeln <math>k</math> Kugeln zu entnehmen, ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge. Für die erste Kugel gibt es <math>n</math> Kandidaten, für die zweite <math>n-1</math> … und schließlich für die letzte Kugel noch <math>n-k+1</math>. Für die Gesamtauswahl gibt es daher <math>n(n-1)\cdots(n-k+1)=n^{\underline k}</math> Möglichkeiten.

Allgemein ist <math>n^{\underline k}</math> die Anzahl der <math>k</math>-[[Permutation]]en einer <math>n</math>-[[Menge (Mathematik)|Menge]] oder alternativ die Anzahl [[Injektivität|injektiver]] Abbildungen einer <math>k</math>-Menge in eine <math>n</math>-Menge.
== Verallgemeinerung ==
Die Definition erfolgt analog für eine [[komplexe Zahl]] <math>x</math> und eine natürliche Zahl <math>k</math>:
:<math>x^{\underline{k}} := x(x-1)(x-2) \cdots (x-k+1)</math>
:<math>x^{\overline{k}} := x(x+1)(x+2) \cdots (x+k-1)</math>
Man kann <math>x^{\underline{k}}</math> und <math>x^{\overline k}</math> dann als komplexe [[Polynom]]e in <math>x</math> auffassen.

Für <math>x\in\C</math> stimmt die steigende Faktorielle <math>x^{\overline{k}}</math> mit dem [[Pochhammer-Symbol]] <math>(x,k)</math> überein.

== Eigenschaften ==
=== Rechenregeln ===
Es gelten folgende Rechenregeln:
:<math>x^{\underline 1}=x^{\overline 1}=x</math>
:<math>x^{\underline 0}=x^{\overline 0}=1</math>
:<math>(-x)^{\overline k} = (-1)^kx^{\underline k}</math>
:<math>x^{\underline k}=(-x)^{\overline k}=0</math>  für <math>0\leq x<k</math> und <math>x \in \mathbb Z</math>

=== Beziehungen zu anderen bekannten Zahlen ===
Mithilfe der fallenden Faktoriellen lassen sich die [[Binomialkoeffizient]]en allgemein definieren:
:<math>\binom xk := \frac 1{k!}x^{\underline k}</math>
Es gelten außerdem folgende Gleichungen, wobei <math>\displaystyle\left[{n \atop k}\right]</math> und <math>\displaystyle\left\{\!{n \atop k}\!\right\}</math> die (vorzeichenlosen) [[Stirling-Zahl]]en erster und zweiter Art bezeichnen:
:<math>\displaystyle x^k = \sum_{j=-\infty}^\infty \left\{\!{k \atop j}\!\right\}\cdot x^{\underline j}</math>
:<math>\displaystyle x^k = \sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{k-j}\left\{{k \atop j}\right\}\cdot x^{\overline j}</math>
:<math>\displaystyle x^{\overline k} = \sum_{j=-\infty}^\infty \left[{k \atop j}\right]\cdot x^j</math>
:<math>\displaystyle x^{\underline k} = \sum_{j=-\infty}^\infty (-1)^{k-j}\left[{k \atop j}\right]\cdot x^j</math>

=== Vorkommen in der Analysis ===
:<math>{{\operatorname{d}^j} \over\operatorname{d}\!x^j } x^k = k^\underline{j} x^{k-j}</math>

== Literatur ==
*[[Martin Aigner]]: ''Diskrete Mathematik''. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0084-8.
*[[Volker Diekert]], Manfred Kufleitner, Gerhard Rosenberger: ''Elemente der diskreten Mathematik. Zahlen und Zählen, Graphen und Verbände''. De Gruyter, Berlin 2013, ISBN 978-3-11-027767-8.
*[[Ronald L. Graham]], [[Donald E. Knuth]], [[Oren Patashnik]]: ''Concrete mathematics. A foundation for computer science. Second edition''. Addison-Wesley, 1994, ISBN 978-0-201-55802-9.

[[Kategorie:Kombinatorik]]

Fallende und steigende Faktorielle - Versionsgeschichte

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