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2025-12-14T04:40:08Z

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Das '''Falksche Schema''' (benannt nach dem deutschen Ingenieur [[Sigurd Falk]]) ist eine [[Tabelle]], die eine optische Hilfe bei der schriftlichen [[Matrizenmultiplikation]] bietet. Der linke Faktor, die <math>(m\times r)</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]], wird links von der <math>(m\times n)</math>-Ergebnismatrix und der rechte Faktor, die <math>(r\times n)</math>-Matrix, wird oberhalb der Ergebnismatrix platziert. Wo sich die <math>i</math>-te Zeile des linken Multiplikanden und die <math>j</math>-te Spalte des rechten Multiplikanden kreuzen, wird das entsprechende [[Skalarprodukt]] eingetragen.

== Beispiel ==

Gegeben sind die Matrizen
: <math>
A =
\left( \begin{array}{r}
1 & 4 \\
2 & 5 \\
3 & -6
\end{array} \right)
</math> und <math>
B =
\left( \begin{array}{r}
-1 & 1 \\
1 & -2 \\
\end{array} \right)
</math> .

Dann sieht das Falksche Schema zur Berechnung der Produktmatrix <math>C=A\cdot B</math> wie folgt aus:

<math>
\begin{array}{c}
&
\left( \begin{array}{r} -1 & 1 \\ 1 & -2 \end{array} \right)
\\
\left( \begin{array}{r} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & -6 \end{array} \right)
&
\left( \begin{array}{r} 3 & -7 \\ 3 & -8 \\ -9 & 15 \end{array} \right)
\end{array}
</math>

Hierbei steht die Produktmatrix <math>C</math> unten rechts.

===Rechenweg===

Zunächst werden die Matrizen höhenversetzt nebeneinander geschrieben (in der ursprünglichen Ausrichtung, also ohne Kippen oder Drehen). Man erkennt bereits anhand des Schemas, dass <math>C</math> eine <math>(3 \times 2)</math>-Matrix sein muss.

{| style="background:#EFEFEF; border-collapse:collapse;" border="1"
|-
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|
|
|colspan="2" style="padding-left:0.5em; padding-right:0.5em; text-align:center;"| ''Spalte j''
|-
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''1''
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''2''
|-
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|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|-
|style="padding-left:0.5em; padding-right:0.5em; text-align:right;"| ''Zeile i''
|
|
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−2'''
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''1''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''4'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em;"|

|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em;"|
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''2''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''2'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''5'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em;"|
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em;"|
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''3''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−6'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em;"|
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em;"|
|}

Dann werden Schritt für Schritt die Einträge von <math>C</math> berechnet. Meist fängt man beim Eintrag <math>c_{11}</math>an. Hierzu wird die 1. Zeile von <math>A</math> mit der 1. Spalte von <math>B</math> „multipliziert“. Gemeint ist damit, dass das Skalarprodukt der entsprechenden Zeile und Spalte gebildet wird: <math>1 \cdot (-1) + 4 \cdot 1</math>. Das Ergebnis wird genau im Kreuzungspunkt der 1. Zeile von <math>A</math> und der 1. Spalte von <math>B</math> eingetragen.
{| style="background:#EFEFEF; border-collapse:collapse;" border="1"
|-
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''1''
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''2''
|-
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|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|-
|style="padding-left:0.5em; padding-right:0.5em; text-align:right;"| ''Zeile i''
|
|
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−2'''
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''1''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''4'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"|
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''2''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''2'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''5'''
|style="background:#FFBBFF"|
|style="background:#FFBBFF"|
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''3''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−6'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"|
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"|
|}

Die erste Zeile von <math>A</math> wird mit der zweiten Spalte von <math>B</math> multipliziert: <math>1 \cdot 1 + 4 \cdot (-2)</math>. Das Ergebnis ist das Element <math>c_{12}=-7</math>.
{| style="background:#EFEFEF; border-collapse:collapse;" border="1"
|-
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|
|colspan="2" style="padding-left:0.5em; padding-right:0.5em; text-align:center;"| ''Spalte j''
|-
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''1''
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''2''
|-
|
|
|
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|-
|style="padding-left:0.5em; padding-right:0.5em; text-align:right;"| ''Zeile i''
|
|
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−2'''
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''1''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''4'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−7'''
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''2''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''2'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''5'''
|style="background:#FFBBFF; text-align:right;"|
|style="background:#FFBBFF; text-align:right;"|
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''3''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−6'''
|style="background:#FFBBFF"|
|style="background:#FFBBFF"|
|}

Analog wird mit den weiteren Zeilen verfahren. Zum Schluss wird die dritte Zeile von <math>A</math> mit der zweiten Spalte von <math>B</math> multipliziert: <math>3 \cdot 1 + (-6)\cdot(- 2)</math>. Das Ergebnis ist das Element <math>c_{32} = 15</math>.

{| style="background:#EFEFEF; border-collapse:collapse;" border="1"
|-
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|colspan="2" style="padding-left:0.5em; padding-right:0.5em; text-align:center;"| ''Spalte j''
|-
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="width:20%"|
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''1''
|style="padding-right:0.2em; text-align:right; width:20%;"| ''2''
|-
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|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|-
|style="padding-left:0.5em; padding-right:0.5em; text-align:right;"| ''Zeile i''
|
|align="right" |
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−2'''
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''1''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''1'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''4'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−7'''
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''2''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''2'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''5'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−8'''
|-
|style="padding-right:0.2em; text-align:right;"| ''3''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''3'''
|style="background:#FFFACD; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−6'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''−9'''
|style="background:#FFBBFF; padding-right:0.2em; text-align:right;"| '''15'''
|}

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Sigurd Falk
|Titel=Ein übersichtliches Schema für die Matrizenmultiplikation
|Sammelwerk=Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (ZAMM)
|Band=31
|Nummer=4–5
|Datum=1951
|ISSN=0044-2267
|Seiten=152–153
|DOI=10.1002/zamm.19510310409}}
* {{Literatur |Autor=[[Rudolf Zurmühl]] |Titel=Matrizen und ihre technischen Anwendungen |Auflage=Vierte neubearbeitete Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Göttingen, Heidelberg |Datum=1964 |Umfang=XII, 452 |Seiten = 17 |Online={{Google Buch |BuchID=K9DOBgAAQBAJ |Seite=17}}}}
* {{Literatur |Autor=Rudolf Zurmühl, Sigurd Falk |Titel=Matrizen und Ihre Anwendungen: Teil 1, Grundlagen |Auflage=7. Aufl., Nachdruck in veränd. Ausstattung |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg, New York |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-17542-8 |Umfang=XIV, 496 S. |Seiten=17}}
* {{Literatur
|Autor=Sascha Kurz, Jörg Rambau
|Titel=Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler
|Verlag=Kohlhammer Verlag
|Ort=Stuttgart
|Datum=2009
|ISBN=978-3-17-019882-1
|Seiten=29–30}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lothar Papula]]
|Titel=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler
|Band=2
|Auflage=4.
|Verlag=Vieweg + Teubner Verlag
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2010
|ISBN=978-3-8348-9730-5
|Seiten=525–528}}
* [[Karl-Eugen Kurrer]]: ''The History of the Theory of Structures. Searching for Equilibrium''. Ernst & Sohn, Berlin 2018, ISBN 978-3-433-03229-9, S. 842 f.

== Weblinks ==
* [[b:Analytische Geometrie/ Matrizen/ Rechnen mit Matrizen/ Matrizenmultiplikation|Wikibooks: Analytische Geometrie – Matrizen – Rechnen mit Matrizen – Matrizenmultiplikation]]
* Dankert: [https://web.archive.org/web/20180327024703/http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/WWWErgVert/html/matrixmultiplikation__beispiel.html Verschiedene Beispiele und deren Erweiterung.] HAW Hamburg, Archivlink abgerufen am 27. Februar 2022

[[Kategorie:Didaktik der Mathematik]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Falksches Schema - Versionsgeschichte

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