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2025-12-10T06:03:16Z

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Die '''Faktorregel'''<ref>{{Literatur |Autor=[[Lothar Papula]] |Titel=Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1 |Auflage=14. |Verlag=Springer Vieweg |Ort=Wiesbaden |Datum=2014 |ISBN=978-3-658-05619-3 |Seiten=331}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew |Titel=[[Taschenbuch der Mathematik]] |Auflage=5. |Verlag=Verlag Harri Deutsch |Ort=Thun und Frankfurt am Main |Datum=2001 |ISBN=3-8171-2005-2 |Seiten=394}}</ref><ref name=":0" /> ist eine Regel zur [[Differentialrechnung|Ableitung]] einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] der Form <math>f(x)=k\cdot u(x)</math>, wobei <math>k</math> eine reelle Zahl und <math>u(x)</math> eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

:<math>(k\cdot u)'=k \cdot u'</math>.

Der konstante Faktor <math>k</math> bleibt also beim Differenzieren erhalten. Die Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der [[Produktregel]] aufgefasst werden.

== Aussage ==
Ist eine Funktion <math>u</math> an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar und <math>k</math> eine [[reelle Zahl]], so ist auch die Funktion <math>f</math> mit <math>f(x) = k \cdot u(x)</math> an der Stelle <math>x_0</math> differenzierbar, und es gilt

: <math>f'(x_0) = k \cdot u'(x_0)\,.</math>

== Beispiel ==
Die Funktion <math>f(x)=5x^2</math> setzt sich aus <math>u(x)=x^2</math> und dem konstanten Faktor <math>k=5</math> zusammen. Es ist <math>u'(x)=2x</math> und mit der Faktorregel folgt

:<math>f'(x)=5\cdot 2x = 10x</math>.

== Herleitungen ==
[[Datei:Faktorregel-Veranschaulichung.svg|300px|mini|Geometrische Herleitung der Faktorregel: Alle Steigungsdreiecke werden in vertikaler Richtung um den Faktor <math>k</math> gestreckt.]]
=== Algebraische Herleitung ===
Sei <math>u</math> eine von <math>x</math> abhängige Funktion und die Funktion <math>f</math> das <math>k</math>-fache von <math>u</math>, das heißt <math>f=k\cdot u</math>. Ändert sich die unabhängige Variable um <math>\Delta x</math>, so ändert sich <math>u</math> um <math>\Delta u</math> und <math>f</math> entsprechend um das <math>k</math>-fache, das heißt es ist <math>\Delta f = k \cdot \Delta u</math>. Hieraus folgt, indem man durch <math>\Delta x</math> teilt, die Gleichung

:<math>\frac{\Delta f}{\Delta x} = k \cdot \frac{\Delta u}{\Delta x}</math>.

Lässt man nun <math>\Delta x \to 0</math> gehen, so erhält man die Faktorregel.<ref>{{Literatur |Autor=[[Gregor Michailowitsch Fichtenholz|G. M. Fichtenholz]] |Titel=Differential- und Integralrechnung 1 |Verlag=VEB Verlag der deutschen Wissenschaften |Ort=Berlin |Datum=1989 |ISBN=3-326-00398-6 |Seiten=185 |Online=https://archive.org/details/fic1_20230721/fic1/page/184/mode/2up}}</ref>

=== Geometrische Herleitung ===
Der Graph von <math>f=k \cdot u </math> geht aus dem Graphen von <math>u</math> durch Streckung in <math>y</math>-Richtung um den Streckfaktor <math>k</math> hervor. Jedes Steigungsdreieck wird dabei ebenfalls in <math>y</math>-Richtung gestreckt, wodurch sich die Länge der <math>y</math>-Kathete ver-<math>k</math>-facht, während die <math>x</math>-Kathete unverändert bleibt. Da diese Ver-<math>k</math>-fachung für ''alle'' Steigungsdreiecke gilt, bleibt er auch erhalten, wenn man beliebig kleine Steigungsdreiecke betrachtet und schließlich den Grenzübergang bildet, also von den Sekantensteigungen zur Tangentensteigung übergeht.<ref>{{Literatur |Autor=Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn |Titel=Elementare Analysis |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |Ort=Heidelberg |Datum=2010 |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |ISBN=978-3-8274-2091-6 |Seiten=208 |Abruf=}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Gilbert Greefrath u. a. |Titel=Didaktik der Analysis |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2016 |Reihe=Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II |ISBN=978-3-662-48876-8 |Seiten=167 f. |Abruf=}}</ref>

== Beweis ==
Sei <math>u(x)</math> bei <math>x_0</math> differenzierbar und <math>f(x)=k\cdot u(x)</math>. Dann konvergiert <math display="inline">\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}</math> für <math>x \to x_0</math> gegen <math>u'(x_0)</math>. Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch <math display="inline">k\cdot\frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}</math> für <math>x \to x_0</math>, und zwar gegen <math>k \cdot u'(x_0)</math>. Damit folgt

:<math>\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =\lim_{x \to x_0} \frac{k\cdot u(x)-k \cdot u(x_0)}{x-x_0} = \lim_{x \to x_0}k\cdot \frac{u(x)-u(x_0)}{x-x_0}=k \cdot u'(x_0).</math><ref name=":0">{{Literatur |Autor=Greefrath et al. |Titel=Didaktik der Analysis |Datum=2016 |Seiten=167}}</ref>

== Siehe auch ==
* [[Summenregel]]
* [[Produktregel]]
* [[Quotientenregel]]
* [[Umkehrregel]]
* [[Kettenregel]]

== Literatur ==
Greefrath et al.: ''Didaktik der Analysis''. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167–168.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Faktorregel - Versionsgeschichte

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