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2021-04-13T09:28:34Z

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Der '''Quotientenvektorraum''', auch kurz '''Quotientenraum''' oder '''Faktorraum''' genannt, ist ein Begriff aus der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], einem Teilgebiet der [[Mathematik]]. Er ist derjenige [[Vektorraum]], der als Bild einer [[Parallelprojektion]] entlang eines [[Untervektorraum]]s entsteht. Die Elemente des Quotientenvektorraumes sind Äquivalenzklassen.

== Definition ==
Es sei <math>V</math> ein Vektorraum über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> und <math>U</math> ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math>. Durch die Festsetzung
:<math>v_1 \sim v_2 \;:\!\iff v_1 - v_2 \in U</math> für <math>v_1, v_2 \in V</math>
wird auf <math>V</math> eine [[Äquivalenzrelation]] definiert.

Die Vektoren <math>v_1</math> und <math>v_2</math> sind also äquivalent, wenn sie sich um einen Vektor aus <math>U</math> unterscheiden. Anders gesagt: Wenn die Gerade durch die Punkte <math>v_1</math> und <math>v_2</math> parallel zu <math>U</math> ist, sind <math>v_1</math> und <math>v_2</math> äquivalent.

Die [[Äquivalenzklasse]] eines Vektors <math>v</math> ist
:<math>[v] := v + U := \{v+u\mid u\in U\}</math>,
anschaulich der zu <math>U</math> „parallele“ affine Unterraum durch <math>v</math>. Die Äquivalenzklassen werden auch als [[Nebenklasse (Mathematik)|Nebenklassen]] bezeichnet (dieser Begriff stammt aus der [[Gruppentheorie]]).

Der ''Quotientenvektorraum'' von <math>V</math> nach <math>U</math> ist die Menge aller Äquivalenzklassen und wird mit <math>V/U</math> bezeichnet:
:<math>V/U := \{[v] \mid v\in V\}</math>.

Er bildet einen Vektorraum, wenn die Vektorraumoperationen vertreterweise definiert werden:
* <math>[v_1] + [v_2] = [v_1 + v_2]</math>
* <math>\lambda \cdot [v] = [\lambda v]</math>
für <math>v, v_1, v_2 \in V</math> und <math>\lambda \in K</math>.

Diese Operationen sind wohldefiniert, also von der Wahl der Vertreter unabhängig.

== Eigenschaften ==

* Es gibt eine kanonische [[surjektiv]]e lineare Abbildung
:: <math>\pi\colon\; V \to V/U,\; v \mapsto [v]</math>.

* Ist <math>W</math> ein [[Komplementärraum|Komplement]] von <math>U</math> in <math>V</math>, d. h. ist <math>V</math> die [[direkte Summe]] von <math>U</math> und <math>W</math>, so ist die Einschränkung von <math>\pi</math> auf <math>W</math> ein [[Isomorphismus]]. Es gibt aber keine kanonische Möglichkeit, <math>V/U</math> als Unterraum von <math>V</math> aufzufassen.

* Ist <math>V</math> endlichdimensional, dann ergibt sich daraus die folgende Beziehung für die Dimensionen:
:: <math>\dim U + \dim V/U = \dim V</math>

* Der [[Dualraum]] von <math>V/U</math> kann mit denjenigen Linearformen auf <math>V</math> identifiziert werden, die auf <math>U</math> identisch <math>0</math> sind.

* Der [[Homomorphiesatz]] besagt, dass eine lineare Abbildung <math>f\colon\; V\to W</math> einen Isomorphismus
:: <math>V/(\ker f) \to \mathrm{im}\,f</math>
: zwischen dem Quotientenraum von <math>V</math> nach dem [[Kern (Algebra)|Kern]] von <math>f</math> und dem [[Bild (Mathematik)|Bild]] von <math>f</math> induziert, d. h. die Verkettung
:: <math> V \longrightarrow V/(\ker f) \longrightarrow \mathrm{im}\,f \longrightarrow W</math>
: ist gleich <math>f</math>.

== Anwendung in der Funktionalanalysis ==
{{Siehe auch|Kolmogoroff-Quotient}}
Viele [[Normierter Raum|normierte Räume]] entstehen auf die folgende Weise: Sei <math>V</math> ein reeller oder komplexer Vektorraum und sei <math>p</math> eine [[Halbnorm]] auf <math>V</math>. Dann ist <math>U = \{v\in V \mid p(v) = 0\}</math> ein Untervektorraum von <math>V</math>. Der Quotientenraum <math>V/U</math> wird dann mit der [[Norm (Mathematik)|Norm]] <math>[v] \mapsto p(v)</math> ein normierter Vektorraum.

Allgemeiner: Sei <math>V</math> ein [[topologischer Vektorraum]], der nicht [[Hausdorff-Raum|hausdorffsch]] ist. Dann lässt sich analog zu oben ein Unterraum definieren: <math>U = \{v\in V \mid \text{Jede } 0\text{-Umgebung enthält } v\} = \overline{\{0\}}</math>. Der Quotientenraum <math>V/U</math> wird mit der [[Quotiententopologie]] ein hausdorffscher topologischer Vektorraum.

== Beispiele ==
=== Abstrakt ===
Die [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Räume]] und damit auch die [[Sobolew-Raum|Sobolew-Räume]] sind Quotientenvektorräume.

=== Konkret ===
Gegeben sei der Vektorraum <math>V = \R^2</math> und der eindimensionale Untervektorraum <math>U = \left\{\left.
\bigl(\begin{smallmatrix}x\\x\end{smallmatrix}\bigr) \right| x \in \R \right\}</math>.
Dann ist zum Beispiel
:<math>\bigl(\begin{smallmatrix}42\\12\end{smallmatrix}\bigr) + U := \left\{\left.\bigl(\begin{smallmatrix}42\\12\end{smallmatrix}\bigr) + u \,\right| u \in U\right\}</math>
eine Äquivalenzklasse des Quotientenraumes <math>V/U</math>.

Anschaulich ist jede Gerade, die parallel zur winkelhalbierenden Gerade des 1. Quadranten ist, eine Äquivalenzklasse:

[[Datei:Faktorraum.svg|400px]]

== Siehe auch ==
* [[Quotientenabbildung]]
* [[Quotientenmodul]]

== Literatur ==
* Gerd Fischer: ''Lineare Algebra.'' Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-97217-3.
* Klaus Jänich: ''Lineare Algebra.'' Springer-Lehrbuch, ISBN 3-540-66888-8.

[[Kategorie:Vektorraum]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Faktorraum - Versionsgeschichte

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