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2026-04-12T07:45:34Z

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{{QS-Mathematik}}
{{Quellen}}
Eine '''Faktorisierung''' ist in der [[Mathematik]] die Zerlegung eines mathematischen Objekts in mehrere [[Trivialität#Mathematik|nichttriviale]] [[Multiplikation|Faktoren]]. Das heißt, ein Objekt <math>X</math> wird als Verknüpfung von (in der Regel einfacheren) Objekten dargestellt:
:<math>X = a_1 * a_2 * \cdots * a_n</math>
wobei <math>*</math> eine geeignete Verknüpfung in der jeweiligen [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]] <math>(A,*)</math> bezeichnet. Ein Beispiel ist die Faktorisierung in der multiplikativen Struktur der natürlichen Zahlen <math>(\mathbb{N},\cdot)</math> wie zum Beispiel
:<math>12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3.</math>

== Anwendungsbeispiele ==
* Die stets eindeutige [[Primfaktorzerlegung]] einer natürlichen Zahl (vgl. die [[Faktorisierungsverfahren]], um eine Primfaktorzerlegung zu erhalten).
* Algebraische Terme lassen sich häufig durch [[Ausklammern]] und die Anwendung [[Binomische Formel|binomischer Formeln]] faktorisieren.
* [[Polynom]]e lassen sich [[Faktorisierung von Polynomen|faktorisieren]]. Über einem [[Algebraischer Abschluss|algebraisch abgeschlossenen Körper]] gibt es sogar immer eine Faktorisierung in Linearfaktoren.
* Anwendung bei [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]]:
** Eine [[Matrix (Mathematik)|Matrix]] kann in Faktoren zerlegt werden, was beispielsweise bei der Lösung [[Lineares Gleichungssystem|linearer Gleichungssysteme]] mittels [[LR-Zerlegung|Dreieckszerlegung]] (auch LU- oder LR-Zerlegung genannt) angewendet wird. Die LR-Zerlegung wird in der numerischen Praxis meist mit dem [[Gaußsches Eliminationsverfahren|Gaußschen Eliminationsverfahren]] gewonnen.
** Eine weitere Matrizenfaktorisierung aus der [[Numerik]] ist die [[QR-Zerlegung]], die normalerweise mittels [[Householdertransformation]]en oder [[Givens-Rotation]]en gewonnen werden kann.
** In der [[Datenanalyse]] werden unter anderem die ''non negative matrix factorization'' und die ''binary matrix factorization'' betrachtet, um Matrizen in zwei [[Cluster (Datenanalyse)|Cluster]]- bzw. [[Latent Semantic Analysis|Konzeptmatrizen]] zu zerlegen.
* Abstrakter versucht man die Elemente von [[Ring (Algebra)|Ringen]] in elementare Faktoren zu zerlegen. Neben Zahl-, Polynom- und Matrix-Ringen können das auch [[Linearer Operator|Operator]]-Ringe sein.
* In der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] bezeichnet man als Faktorisierung die Zerlegung einer [[Zufallsvariable]]n in [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängige]] Summanden, da die [[charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] einer Summe unabhängiger Zufallsvariablen das Produkt der einzelnen charakteristischen Funktionen ist.
* Die statistische [[Faktorenanalyse]] nach Spearman.
* Die logische Faktorisierung einer [[Logische Aussage|Proposition]] <math>A</math> in Bezug auf eine andere Proposition <math>B</math>:<ref>[[Karl Popper]], David Miller: ''A proof of the impossibility of inductive probability'', in: Nature 302 (1983), 687f.</ref>
:<math> A = (B \rightarrow A) \land (A \lor B) </math>
* In der [[Graphentheorie]] bezeichnet man die Zerlegung eines Graphen <math>G</math> in Teilgraphen, bei denen jeder Knoten <math>x</math> nur eine bestimmte Anzahl <math>a</math> von Nachbarknoten hat, als Faktorisierung, und deren Ergebnis als <math>a</math>-Faktoren, z. B. 1-Faktoren. Siehe Artikel [[Faktor (Graphentheorie)]].

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Algebra]]

Faktorisierung - Versionsgeschichte

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