imported>RPI: „EPZ-Ring“ entfernt, weil unüblich

2026-04-14T14:50:57Z

„EPZ-Ring“ entfernt, weil unüblich

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Ein '''faktorieller Ring''' (engl. auch ''UFD'': „unique factorization domain“) oder '''ZPE-Ring''' (Abk. für: „'''Z'''erlegung in '''P'''rim'''e'''lemente“) ist eine [[algebraische Struktur]], und zwar ein [[Integritätsring]], in dem jedes Element <math>a \neq 0</math> eine im Wesentlichen eindeutige Zerlegung in [[Irreduzibles Element|irreduzible]] Faktoren besitzt. Faktorielle Ringe sind nicht zu verwechseln mit [[Faktorring]]en und auch nicht mit [[ZPI-Ring]]en.

== Definition ==

Ein [[Integritätsring]] <math>A</math> heißt faktoriell, wenn er die folgende Eigenschaft besitzt:
* Jedes Element <math>a\ne0</math>, besitzt eine bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge eindeutige Zerlegung in [[Irreduzibles Element|irreduzible]] Faktoren.<ref>
{{Literatur
| Autor=Serge Lang
| Titel=Algebra
| Auflage=3
| Verlag=Springer
| Datum=2008
| ISBN=978-0-387-95385-4
| Seiten=111
}}
</ref>

Für einen Integritätsring ist die Eigenschaft, faktoriell zu sein, äquivalent zur Eigenschaft, ein ZPE-Ring zu sein:
* Jedes Element <math>a\ne0</math>, das keine [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] ist, besitzt eine Zerlegung in ein Produkt von [[Primelement]]en (Darstellungen als Produkt von Primelementen sind in Integritätsringen stets im Wesentlichen eindeutig).

=== Zerlegung in irreduzible Faktoren ===

<math>a \in R</math> hat eine Zerlegung in irreduzible Faktoren, wenn ''a'' eine Darstellung

: <math>a=\varepsilon\, q_1\, q_2 \dots q_r</math>
mit einer [[Einheit (Mathematik)|Einheit]] <math>\varepsilon</math> und [[Irreduzibles Element|irreduziblen Elementen]] <math>q_i</math> hat. Dabei ist das [[Leeres Produkt|leere Produkt]] von irreduziblen Elementen, also <math>r=0</math>, zugelassen, das dem Einselement des Ringes gleichzusetzen ist. Diese Zerlegung ist im Wesentlichen eindeutig, wenn bei jeder weiteren solchen Darstellung

: <math>a=\varepsilon'\, q_1'\, q_2', \dots, q_{r'}'</math>

gilt: <math>r=r'</math> und <math>q_i \sim q_i'</math> (nach eventuellem Umnummerieren).

<math>q_i \sim q_i'</math> bedeutet: <math>q_i</math> und <math>q_i'</math> sind [[Assoziierte Elemente|assoziiert]].

Sind die <math>q_1, q_2, \dotsc, q_r</math> nicht nur irreduzibel, sondern sogar Primelemente, folgt daraus bereits die Eindeutigkeit der Darstellung (bis auf Assoziiertheit).

== Eigenschaften ==

* Irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen sind prim. Damit folgt auch die Äquivalenz der oben angegebenen Beschreibungen.
* In faktoriellen Ringen wird jede aufsteigende Kette von Hauptidealen stationär. Wird umgekehrt in einem Integritätsring jede aufsteigende Kette von Hauptidealen stationär und ist dort jedes irreduzible Element ein Primelement, so handelt es sich um einen faktoriellen Ring.<ref>Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: ''Algebra. Gruppen-Ringe-Körper.'' 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2013, Satz 17.1.</ref>
* Faktorielle Ringe sind [[ggT-Ring]]e. Nach Wahl eines Repräsentantensystems für die Primelemente kann ein [[größter gemeinsamer Teiler]] endlich vieler Elemente als Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Elemente mit Berücksichtigung der Vielfachheit berechnet werden.
* Faktorielle Ringe sind [[Normaler Ring|normal]], d. h. ganzabgeschlossen im [[Quotientenkörper]].
* Nach dem [[Lemma von Gauß]] sind Polynomringe faktorieller Ringe wieder faktoriell.
* [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierungen]] faktorieller Ringe sind faktoriell (außer wenn das Nullelement invertiert wird).

== Beispiele und Gegenbeispiele ==

* Jeder [[Euklidischer Ring|euklidische Ring]] ist ein [[Hauptidealring]], und jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring. Beispiele sind die euklidischen Ringe <math>\mathbb Z</math> ([[ganze Zahlen]]) sowie der Polynomring <math>K[X]</math> in einer Veränderlichen über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math>.
* Der [[Gaußscher Zahlring|Gaußsche Zahlring]] <math>\mathbb Z[\mathrm i]</math> ist ein euklidischer Ring und damit auch ein faktorieller Ring.
* Umgekehrt ist aber nicht jeder faktorielle Ring automatisch Hauptidealring: Die Ringe <math>K[X,Y]</math> und <math>\mathbb{Z}[X]</math> sind faktoriell, aber keine Hauptidealringe. Bei den [[Ganzheitsring]]en [[algebraischer Zahlkörper]] fallen die beiden Begriffe jedoch zusammen.
* Körper besitzen zwar weder irreduzible Elemente noch Primelemente, sind aber ebenfalls faktorielle Ringe, da jedes Element ungleich Null eines Körpers eine Einheit ist.
* Der [[Nullring]] wird von der überwiegenden Mehrheit nicht als faktorieller Ring angesehen. Zwar ist die Bedingung der Existenz einer [[Primfaktorzerlegung]] leer, jedoch wird der Nullring nicht als Integritätsring angesehen.
* [[Polynomring]]e und [[Formale Potenzreihe|Ringe formaler Potenzreihen]] über einem Körper sind faktoriell.
* [[Regulärer lokaler Ring|Reguläre lokale Ringe]] (z. B. [[Diskreter Bewertungsring|diskrete Bewertungsringe]]) sind faktoriell. Dies ist genau die Aussage des Auslander-Buchsbaum-Theorems.

== Gegenbeispiele ==

Ein Beispiel für einen Ring, in dem es eine Zerlegung in irreduzible Elemente gibt, die nicht eindeutig ist, ist der Ring <math>\mathbb Z\left[\sqrt{-5}\right]</math> (siehe [[Adjunktion (Algebra)|Adjunktion]]): In den beiden Produktdarstellungen
: <math>6=2\cdot 3=\left(1+\sqrt{-5}\right)\cdot\left(1-\sqrt{-5}\right)</math>
sind die Faktoren jeweils irreduzibel, aber unter den vier Zahlen <math>2,3,1+\sqrt{-5}</math> und <math>1-\sqrt{-5}</math> sind keine zwei assoziiert. Die Einheiten in diesem Ring sind <math>+1</math> und <math>-1</math>.

Ein Beispiel für einen Ring, in dem eine Zerlegung in irreduzible Elemente nicht immer existiert, diese aber eindeutig ist, wann immer sie existiert, ist der Ring der [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktionen]] auf einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>U</math> in der komplexen Ebene <math>\mathbb{C}</math> (mit punktweiser Addition und Multiplikation):
Dieser Ring ist nullteilerfrei (das folgt aus dem [[Identitätssatz für holomorphe Funktionen]]).
Die Einheiten sind genau die holomorphen Funktionen ohne Nullstellen (also z. B. die [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf den komplexen Zahlen|komplexe Exponentialfunktion]]).
Die irreduziblen Elemente sind bis auf Einheiten genau die Funktionen der Form (<math>z\mapsto z-a</math>) für einen Punkt <math>a\in U</math>. Daraus folgt, dass eine holomorphe Funktion genau dann ein Produkt aus irreduziblen Elementen ist, wenn sie nur endlich viele Nullstellen hat. Da es aber auf jedem Gebiet auch holomorphe Funktionen mit unendlich vielen Nullstellen gibt, ist dieser Ring kein faktorieller Ring. Falls eine holomorphe Funktion allerdings eine solche Darstellung hat, so ist diese im Wesentlichen eindeutig, weil die irreduziblen Elemente alle prim sind.

== Einzelnachweise ==

<references/>

[[Kategorie:Ring (Algebra)]]
[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]

Faktorieller Ring - Versionsgeschichte

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