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2025-02-01T11:55:25Z

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Die '''Faktorgruppe''' oder '''Quotientengruppe''' ist eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die mittels einer Standardkonstruktion aus einer gegebenen Gruppe <math>G</math> unter Zuhilfenahme eines [[Normalteiler]]s <math>N \trianglelefteq G</math> gebildet wird. Sie wird mit <math>G/N</math> bezeichnet und ist die Menge der [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklassen]].

== Konstruktion ==
Die Elemente von <math>G/N</math> sind die [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklassen]] bezüglich <math>N</math>, also
:<math>G/N := \{ gN : g \in G \}</math>.
Die innere Verknüpfung <math>\circ\colon G/N \times G/N \rightarrow G/N</math> wird definiert als
:<math>(gN) \circ (hN) := (gh)N</math>.
Man kann mit Hilfe der Normalteilereigenschaft von <math>N</math> zeigen, dass diese Verknüpfung [[Wohldefiniertheit|wohldefiniert]] ist und dass <math>(G/N, \circ)</math> eine Gruppe ist. Diese Gruppe heißt ''Faktorgruppe'' von <math>G</math> nach <math>N</math>. Das neutrale Element von <math>G/N</math> ist <math>N</math> und das zu <math>gN</math> [[Inverses Element|inverse Element]] ist durch <math>g^{-1}N</math> gegeben.

Das Produkt <math>(gN) \circ (hN) = (gh)N</math> stimmt mit dem [[Komplexprodukt]] <math>(gN)\cdot(hN)</math> überein. Umgekehrt kann man zeigen, dass eine Untergruppe <math>U</math> einer Gruppe <math>(G,\cdot)</math> ein Normalteiler ist, wenn für alle <math>g,h \in G</math> die Gleichheit <math>(gU)\cdot(hU)= (gh)U</math> gilt.

In [[abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]] ist jede [[Untergruppe]] Normalteiler. Somit lässt sich dort nach jeder Untergruppe die Faktorgruppe bilden, welche dann wiederum abelsch ist.

Die [[Gruppenordnung|Ordnung]] der Faktorgruppe <math>G/N</math> ist gerade die Anzahl der Nebenklassen von <math>N</math>. Diese Anzahl wird ''[[Index (Gruppentheorie)|Index]]'' von <math>N</math> in <math>G</math> genannt und mit <math>(G:N)</math> bezeichnet. Ist <math>G</math> eine [[endliche Gruppe]], so gilt nach dem [[Satz von Lagrange]] <math>(G:N)=|G/N| = \tfrac{|G|}{|N|}</math>.

== Beispiele ==
=== Jede Gruppe ===
Jede Gruppe kann als Faktorgruppe aufgefasst werden, denn für jede Gruppe <math>G</math> ist <math>\{e\} \trianglelefteq G</math> ein Normalteiler und es gilt <math>G \cong G/\{e\}</math>.

=== Beispiel ℤ<sub>6</sub> ===
Sei <math>\mathbb{Z}</math> die Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition als Gruppenoperation und sei <math>6\Z</math> die [[Untergruppe]] von <math>\mathbb{Z}</math>, die aus allen Vielfachen von 6 besteht. Die Gruppe <math>\Z</math> ist [[Abelsche Gruppe|abelsch]] und somit ist jede Untergruppe ein [[Normalteiler]]. Die Faktorgruppe <math>\mathbb{Z}/6\Z</math> besteht nun als [[Faktorgruppe#Restklassengruppe_der_additiven_Gruppe_der_ganzen_Zahlen|Restklassengruppe]] aus allen [[Gruppentheorie#Nebenklassen|Nebenklassen]] der Untergruppe <math>6\Z</math>, diese sind:

<math>6\Z+0= \{\dotsc,-18, -12, -6, 0, 6, 12, 18,\dotsc \}</math>

<math>6\Z+1= \{\dotsc,-17, -11, -5, 1, 7, 13, 19,\dotsc \}</math>

<math>6\Z+2= \{\dotsc,-16, -10, -4, 2, 8, 14, 20,\dotsc \}</math>

<math>6\Z+3= \{\dotsc,-15, -9, -3, 3, 9, 15, 21,\dotsc \}</math>

<math>6\Z+4= \{\dotsc,-14, -8, -2, 4, 10, 16, 22,\dotsc \}</math>

<math>6\Z+5= \{\dotsc,-13, -7, -1, 5, 11, 17, 23,\dotsc \}</math>

Dies sind alle Nebenklassen von <math>6\Z</math>, wie man leicht sehen kann, da sie die Gruppe <math>\mathbb{Z}</math> partitionieren und <math>6\Z+6=6\Z+0</math>, <math>6\Z+7=6\Z+1</math>, <math>6\Z+8=6\Z+2</math> und so weiter. Da die Operation in <math>\mathbb{Z}</math> die Addition ist, nennt man die Addition der Nebenklassen auch Addition und es gilt beispielsweise <math>(6\Z+3)+(6\Z+4)=6\Z+7=6\Z+1</math>.
Schreibt man abkürzend
:<math>[0]=6\Z+0</math>,   <math>[1]=6\Z+1</math>,   <math>[2]=6\Z+2</math>,   <math>[3]=6\Z+3</math>,   <math>[4]=6\Z+4</math>,   <math>[5]=6\Z+5</math>,
so besteht <math>\mathbb{Z}/6\Z</math> aus den 6 Elementen <math>[0], [1], [2], [3], [4], [5]</math> und ergibt sich folgende Verknüpfungstabelle für die Faktorgruppe <math>\Z_6</math>

{| cellpadding="20" align="center"
|
{|border="2" cellpadding="5" align="center" style="text-align:center;"
|-
!style="background:#efcfcf;"|<math>+</math>
!style="background:#efcfcf;"|<math>[0]</math>
!style="background:#efcfcf;"|<math>[1]</math>
!style="background:#efcfcf;"|<math>[2]</math>
!style="background:#efcfcf;"|<math>[3]</math>
!style="background:#efcfcf;"|<math>[4]</math>
!style="background:#efcfcf;"|<math>[5]</math>
|-
!style="background:#efcfcf;"|<math>[0]</math>
|<math>[0]</math>
|<math>[1]</math>
|<math>[2]</math>
|<math>[3]</math>
|<math>[4]</math>
|<math>[5]</math>
|-
!style="background:#efcfcf;"|<math>[1]</math>
|<math>[1]</math>
|<math>[2]</math>
|<math>[3]</math>
|<math>[4]</math>
|<math>[5]</math>
|<math>[0]</math>
|-
!style="background:#efcfcf;"|<math>[2]</math>
|<math>[2]</math>
|<math>[3]</math>
|<math>[4]</math>
|<math>[5]</math>
|<math>[0]</math>
|<math>[1]</math>
|-
!style="background:#efcfcf;"|<math>[3]</math>
|<math>[3]</math>
|<math>[4]</math>
|<math>[5]</math>
|<math>[0]</math>
|<math>[1]</math>
|<math>[2]</math>
|-
!style="background:#efcfcf;"|<math>[4]</math>
|<math>[4]</math>
|<math>[5]</math>
|<math>[0]</math>
|<math>[1]</math>
|<math>[2]</math>
|<math>[3]</math>
|-
!style="background:#efcfcf;"|<math>[5]</math>
|<math>[5]</math>
|<math>[0]</math>
|<math>[1]</math>
|<math>[2]</math>
|<math>[3]</math>
|<math>[4]</math>
|}
|}

Damit hat man ein Verfahren, mit dem man Untergruppen wie <math>\Z_{6}</math> konstruieren kann.

=== Restklassengruppe der additiven Gruppe der ganzen Zahlen ===
Das vorhergehende Beispiel lässt sich verallgemeinern: Für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> ist <math>(n\mathbb{Z}, +)</math> eine Untergruppe der abelschen Gruppe <math>(\mathbb{Z}, +)</math>, also insbesondere ein Normalteiler. Die Faktorgruppe <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> wird ''Restklassengruppe [[Division mit Rest#Modulo|modulo]] <math>n</math>'' genannt und kurz mit <math>\Z_n</math> bezeichnet. Sie hat genau <math>n</math> Elemente.

Ihre Elemente werden als
:<math>[k]_n := [k] := k + n\mathbb{Z} = \{k+m\ :\ m \in n\mathbb{Z}\} = \{k+nz\ :\ z \in \mathbb{Z}\}</math>
geschrieben und heißen ''Kongruenzklassen bezüglich der Addition modulo <math>n</math>''. Es ist also
:<math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} = \{[0], [1], \ldots, [n-1]\}</math>.
Die innere Verknüpfung von <math>\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}</math> wird üblicherweise wieder mit <math>+</math> bezeichnet. In <math>\mathbb{Z} /5\mathbb{Z}</math> gilt beispielsweise
:<math>\ [3]_5 + [4]_5 = [3] + [4] = [2] = [2]_5</math>,
da <math>3 + 4 = 7 = 2 + 5</math>, also <math>(3+4) + 5\mathbb{Z} = 2 + 5\mathbb{Z}</math>.

=== Faktorgruppe nach Kernen von Homomorphismen ===
Seien <math>G</math> und <math>H</math> zwei Gruppen und <math>\varphi: G \rightarrow H</math> ein [[Gruppenhomomorphismus]]. Dann ist der [[Kern (Algebra)|Kern von <math>\varphi</math>]] ein Normalteiler von <math>G</math> und daher kann die Faktorgruppe <math>G/\ker \varphi</math> gebildet werden. Nach dem [[Homomorphiesatz]] für Gruppen ist diese Faktorgruppe [[Isomorphismus|isomorph]] zum [[Bild (Mathematik)| Bild von <math>\varphi</math>]], das eine Untergruppe von <math>H</math> ist.

== Universelle Eigenschaft der Faktorgruppe ==
Ist <math>H</math> ein Normalteiler von <math>G</math>, dann ist die Abbildung <math>\pi\colon G \rightarrow G/H</math> mit <math>g \mapsto gH</math> mit Kern <math>H</math> ein [[Epimorphismus]], also ein [[surjektiv|surjektiver]] [[Homomorphismus]]. Die [[universelle Eigenschaft]] besagt nun, dass zu jedem Gruppenhomomorphismus <math>\varphi\colon G \rightarrow G'</math> mit <math>H \subseteq\ker(\varphi)</math> genau ein Gruppenhomomorphismus <math>\varphi'\colon G/H \rightarrow G'</math> mit <math> \varphi = \varphi' \circ \pi </math> existiert.

Beispiel: Sei <math>\pi\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}</math> die natürliche Projektion der ganzen Zahlen auf die Restklassengruppe modulo 6. Sei <math>\varphi\colon \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> Gruppenhomomorphismus.
Dann liegt <math>6\mathbb{Z}</math> im Kern von <math>\varphi</math> und <math>\varphi'\colon \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> ergibt sich zu:

<math>\varphi'([0]_6) = [0]_3</math>

<math>\varphi'([1]_6) = [1]_3</math>

<math>\varphi'([2]_6) = [2]_3</math>

<math>\varphi'([3]_6) = [0]_3</math>

<math>\varphi'([4]_6) = [1]_3</math>

<math>\varphi'([5]_6) = [2]_3</math>.

== Konstruktion von Gruppen ==
Durch den Übergang zur Faktorgruppe erreicht man, dass sämtliche Elemente des Normalteilers auf das neutrale Element abgebildet werden. Dadurch kann man das Bestehen gewisser Identitäten erzwingen.

=== Kommutatorgruppe ===
Die von allen [[Kommutator (Mathematik)#Kommutatoren in Gruppen|Kommutatoren]] erzeugte Gruppe <math>[G,G]</math> ist ein Normalteiler der Gruppe <math>G</math>. In der Faktorgruppe <math>G/[G,G]</math> werden daher alle Kommutatoren trivial, das heißt die Faktorgruppe ist abelsch. Man nennt dies die [[Abelisierung]] der Gruppe.

=== Relationen ===
Allgemeiner kann man das Bestehen beliebiger Gleichungen (Relationen) in einer Gruppe erzwingen. Kommen in den gewünschten Gleichungen Elemente <math>x_1,\ldots, x_n</math> vor, so betrachte in der [[Freie Gruppe|freien Gruppe]] <math>F_n</math> über <math>n</math> Elementen den kleinsten Normalteiler <math>N</math>, der alle Ausdrücke in <math>x_1,\ldots, x_n</math> enthält, die gleich dem neutralen Element sein sollen. Die Faktorgruppe <math>F_n/N</math> leistet das Verlangte. Genaueres entnehme man dem Artikel "[[Präsentation einer Gruppe]]".

== Siehe auch ==
* [[Korrespondenzsatz (Gruppentheorie)]]: Untergruppen in einer Faktorgruppe
* [[Quotientenabbildung]]: Abbildung <math>G\to G/N</math>
* [[Restklassenring]]: Analoge Konstruktion für Ringe

== Literatur ==
* Kurt Meyberg: ''Algebra.'' Band 1. 2. Auflage. Carl Hanser, München u. a. 1980, ISBN 3-446-13079-9.
* [[Jens Carsten Jantzen]], [[Joachim Schwermer]]: ''Algebra.'' Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-21380-5.

[[Kategorie:Gruppe (Mathematik)]]

Faktorgruppe - Versionsgeschichte

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