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2026-02-02T22:32:25Z

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[[Datei:Fagnano problem.svg|mini|hochkant=1.3|Höhenfußpunktdreieck: <math>\triangle DEF </math><br /> einbeschriebene Dreiecke: <math>\triangle DEF\,,\triangle GHI </math><br /> <math>|DE|+|EF|+|FD|\leq |GH|+|HI|+|IG| </math>]]
Das '''Fagnano-Problem''' ist das folgende nach [[Giovanni Fagnano]] benannte [[Optimierungsproblem]].

: ''Bestimme das in ein [[spitzwinkliges Dreieck]] einbeschriebene [[Dreieck]] minimalen [[Umfang (Geometrie)|Umfangs]].''

Hierbei versteht man unter einem einbeschriebenen Dreieck eines Dreiecks <math>\triangle ABC </math> ein Dreieck <math> \triangle GHI </math>, dessen Ecken auf den Seiten Dreiecks <math>\triangle ABC </math> liegen, das heißt <math> G \in \overline{AC} </math>, <math> H \in \overline{AB} </math> und <math> I \in \overline{BC} </math>. Für das [[Höhenfußpunktdreieck]] <math> \triangle DEF </math> gilt, dass sein Umfang geringer ist als der eines jeden anderen einbeschriebenen Dreiecks <math>\triangle GHI </math>. Somit ist es die Lösung des Fagnano-Problems.

Zunächst zeigte Giovanni Fagnanos Vater [[Giulio Carlo Fagnano dei Toschi|Giulio Carlo Fagnano]], dass man zu einem beliebigen festen Punkt ''U'' auf <math> \overline{AB} </math> 2 Punkte ''V'' auf <math> \overline{AC} </math> und ''W'' auf <math> \overline{BC} </math> so konstruieren kann, dass der Umfang des Dreieckes <math>\triangle UVW</math> minimal ist. Giovanni Fagnano verwandte dieses Resultat, um dann mit Hilfe der Differentialrechnung von allen möglichen U auf <math> \overline{AB} </math>, dasjenige zu bestimmen, für das der Umfang des Dreieckes <math>\triangle UVW</math> minimal wird. Später wurden auch mehrere elementargeometrische Beweise gefunden, unter anderem auch von [[Leopold Fejér]] und [[Hermann Amandus Schwarz]]. Diese Beweise verwenden meist Eigenschaften von [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] zur Bestimmung eines minimalen Weges.

== Literatur ==
* [[Heinrich Dörrie (Mathematiker)|Heinrich Dörrie]]: ''Triumph der Mathematik. 100 berühmte Probleme aus 2 Jahrtausenden mathematischer Kultur.'' 2., ergänzte Auflage. F. Hirt, Breslau 1940, Problem 90.
* [[Paul Nahin|Paul J. Nahin]]: ''When Least is Best. How Mathematicians Discovered Many Clever Ways to Make Things as Small (or as Large) as Possible.'' Princeton University Press, Princeton NJ u. a. 2004, ISBN 0-691-07078-4, S. 67.
* [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]], Samuel L. Greitzer: ''Zeitlose Geometrie.'' Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
* ''Beweis des Satzes, dass unter allen einem spitzwinkligen Dreiecke eingeschriebenen Dreiecken das Dreieck der Höhenfusspunkte den kleinsten Umfang hat.'' In: [[Hermann Amandus Schwarz]]: ''Gesammelte mathematische Abhandlungen.'' Band 2. Berlin 1890, S. 344–345 {{archive.org|gesammeltemathem02schwuoft|Blatt=344}}

== Weblinks ==
* [https://www.wazimmer.de/mathe_unterrichtsmaterialien-Dateien/Bienenproblem_mit_Arbeitsblaettern.pdf Wolfgang Zimmer: ''Eine offene Aufgabe zum Thema „Minimale Entfernungen“'' (Sinus Materialien)] (PDF; 141 kB)
* [https://www.cut-the-knot.org/triangle/Fagnano.shtml Fagnano-Problem] auf cut-the-knot (englisch)
* [https://web.archive.org/web/20120705102919/http://www.pballew.net/orthocen.html Fagnano-Problem] auf einer Website zur Dreiecksgeometrie (englisch)
* {{MathWorld |id=FagnanosProblem |title=Fagnano’s problem}}

{{SORTIERUNG:Fagnanoproblem}}
[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]

Fagnano-Problem - Versionsgeschichte

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