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2025-10-30T11:25:34Z

Relativistische Korrekturen

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[[Datei:Teltron_tube.svg|miniatur|Versuchsskizze Fadenstrahlrohr]]
[[Datei:Teltron-Diffraction-Tube-with-Helmholtz-Coils-and-Stand.jpg|miniatur|220px|Versuchsaufbau mit [[Helmholtz-Spule|Helmholtzspulenpaar]]]]
Ein '''Fadenstrahlrohr''' ist ein [[Physik|physikalischer]] Versuchsaufbau, bei dem sich beschleunigte [[Elektron]]en in einer Kugel aufgrund der [[Lorentzkraft]], die ins Kugelinnere gerichtet ist, auf einer [[Rotation (Physik)|Kreisbahn]] bewegen. Beim Zusammenstoßen mit Gasmolekülen entsteht Licht, welches die Kreisbahn der Elektronen sichtbar macht.

== Versuchsaufbau ==
In einen evakuierten Glaskolben wird etwas Gas (z. B. [[Wasserstoff]] oder [[Argon]]) gefüllt, so dass im Kolben ein niedriger Druck (ca. 0,1–1 Pa) herrscht. Dieser ist so bemessen, dass die Elektronen durch Zusammenstöße möglichst wenig abgebremst werden (Änderung der kinetischen Energie), die Zahl der Zusammenstöße aber zu einem sichtbaren Leuchten ausreicht.

Im Kolben befindet sich eine [[Elektronenkanone]]. Diese besteht aus einer Heizspirale, einer [[Kathode]] und einer Lochanode. Aus der Kathode treten [[Elektron]]en aus, die zur positiv geladenen [[Anode]] hin beschleunigt werden.
Die meisten Elektronen werden an der Anode wieder absorbiert, aber durch ein Loch in der Anode verlässt ein kleiner Teil der Elektronen das Strahlerzeugungssystem.
An die [[Helmholtz-Spule|Helmholtz-Spulen]] wird außerdem noch ein Amperemeter angeschlossen, um den Spulenstrom zu bestimmen.
An die Elektronenkanone wird ein Voltmeter angeschlossen, um die [[Beschleunigungsspannung]] anzupassen.

== Ergebnis ==

[[Datei:Cyclotron motion wider view.jpg|miniatur|Weiterer Versuchsaufbau zeigt die Kreisbahn des Elektronenstrahls]]
Beim Einschalten der Heizspannung erhitzt sich die Heizspirale und Elektronen treten aus ihr heraus.
In dem elektrischen Feld zwischen Anode und Kathode wirkt das elektrische Feld auf die Elektronen, das diese auf eine hohe Geschwindigkeit beschleunigt, so dass ein Teil der Elektronen durch eine kleine Öffnung in der Anode diese als Elektronenstrahl verlassen.
Da der Spulenstrom nicht eingeschaltet ist, wirkt keine Kraft auf den Strahl und er behält seine Richtung bei.
Wird nun aber der Spulenstrom zusätzlich eingeschaltet, lenkt die als [[Zentripetalkraft]] wirkende [[Lorentzkraft]] die Elektronen auf eine Kreisbahn.

== Bestimmung der spezifischen Ladung des Elektrons ==
Je höher der Spulenstrom ist, desto kleiner wird der Radius der Kreisbahn, da das Magnetfeld stärker wird.
Die Stärke des Magnetfeldes und die [[Lorentzkraft]] sind zueinander proportional, so dass auch die Lorentzkraft zunimmt.
Eine größere Lorentzkraft lenkt die Elektronen stärker ab, weshalb die Kreisbahn kleiner wird.

Die Lorentzkraft <math>F_L</math> steht immer zur augenblicklichen Bewegungsrichtung senkrecht und ermöglicht als [[Zentripetalkraft]] <math>F_Z</math> die Kreisbewegung. Den Betrag der Geschwindigkeit und folglich die [[Bewegungsenergie]] kann sie nicht ändern:

:<math>\begin{align} F_L &= F_Z\\
e\cdot v\cdot B &= m\cdot\frac{v^2}{r}
\end{align}</math>

Daraus erhält man für den Betrag der spezifischen Elektronenladung

:<math>\frac{e}{m} = \frac{v}{B\cdot r}</math>

Die Bestimmung der Geschwindigkeit erfolgt mit Hilfe des [[Energieerhaltungssatz]]es

:<math>e\cdot U = \frac{1}{2}\cdot m\cdot v^2</math>

Damit folgt schließlich

:<math>\frac{e}{m} = \frac{2 \, U}{r^2\cdot B^2}</math>

Die [[spezifische Ladung |spezifische Elektronenladung]] hat den Wert

:<math>\frac{-e}{m} \approx -1{,}7588202 \cdot 10^{11} \, \mathrm{\frac{C}{kg}}</math>

Da die [[Elementarladung|Ladung eines Elektrons]] aus dem [[Millikan-Versuch]] zugänglich ist, dient das Studium der Elektronen im Magnetfeld der Bestimmung ihrer [[Masse (Physik)|Masse]] gemäß:

:<math>\ m = \frac{e \cdot r^2 \cdot B^2}{2 \, U} \approx 9{,}1094 \cdot 10^{-31} \, \mathrm{kg} </math>

Ähnliche Konzepte für die Wägung von geladenen Teilchen findet man beim [[Massenspektrometrie|Massenspektrometer]].

Dabei besitzt es seine Gültigkeit bei folgenden Bedingungen:
* Das magnetische Feld ist homogen
* Die Elektronen haben beim Austritt aus der Kathode die Geschwindigkeit Null
* <math>\vec v</math> <math>\perp</math> <math>\vec B</math>

== Relativistische Korrekturen ==

Bei hohen Energien, wenn die Geschwindigkeit einen signifikanten Bruchteil der [[Lichtgeschwindigkeit]] <math>c</math> erreicht, sind Einflüsse der [[Spezielle Relativitätstheorie|Relativitätstheorie]] zu berücksichtigen:

In radialer Richtung nimmt die Trägheit um einen Faktor, den [[Lorentz-Faktor]] zu:
:<math>\gamma = 1 + \frac 1 \sqrt{1 - v^2 / c^2 }\,</math>
was manchmal als [[relativistische Massenzunahme]] bezeichnet wird – ein Begriff, der man in der modernen Fachsprache vermeidet.

Auch die klassische Formel für den Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit und kinetischer Energie muss modifiziert werden:
:<math>E_\text{kin} = \left(\gamma - 1 \right ) m c^2 = \frac 1 2 mv^2 + \frac 3 8 \frac {m v^4}{c^2} + \cdots</math>.

Diese relativistischen Korrekturen werden aber erst relevant, wenn sich die kinetische Energie größenordnungsmäßig der [[Ruheenergie]] des Elektrons <math>mc^2 \approx 511\,\mathrm{keV}\,</math> nähert, also bei Beschleunigungsspannungen von etlichen kV.

== Weblinks ==
*[https://www.leifiphysik.de/elektrizitaetslehre/bewegte-ladungen-feldern/versuche/fadenstrahlrohr Fadenstrahlrohr] ([[LEIFI]]-Physik)

[[Kategorie:Anzeigeröhre]]
[[Kategorie:Elektronenstrahltechnologie]]
[[Kategorie:Physikalisches Demonstrationsexperiment]]

Fadenstrahlrohr - Versionsgeschichte

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