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[[Datei:Faddeeva Function Domain Colouring Plot.svg|mini|250x250px|Die Faddeeva-Funktion in der komplexen Zahlenebene]]
Die '''Faddeeva-Funktion''' (auch '''Kramp-Funktion''' oder relativistische '''Plasma-Dispersions-Funktion''') ist eine skalierte komplexe [[Fehlerfunktion#Komplementäre Fehlerfunktion|komplementäre Fehlerfunktion]],
:<math>w(z):=e^{-z^2}\operatorname{erfc}(-iz)
=e^{-z^2}\left(1+\frac{2i}{\sqrt{\pi}}\int_0^z e^{t^2}\text{d}t\right).</math>
Sie ist verwandt mit den [[Fresnel-Integral]]en, den [[Dawsonsche Funktion|Dawson-Integralen]] und dem [[Voigt-Profil]]. Die Funktion ist nach [[Wera Nikolajewna Faddejewa]] benannt.

== Eigenschaften ==

=== Real- und Imaginärteil ===
Für genauere Betrachtungen lässt sich <math>w\left(z\right)</math> mit <math>z=x+iy</math> wie folgt zerlegen:
:<math>w(z)=V\left(x,y\right)+iL\left(x,y\right)</math>,
<math>V</math> und <math>L</math> stellen hierbei die reale und imaginäre ''Voigt-Funktion'' dar, da es sich bei <math>V(x,y)</math> bis auf Vorfaktoren um das [[Voigt-Profil]] handelt.<ref name = "Avetisov 1995">{{Literatur
| Titel=A Least-Squares Fitting Technique for Spectral Analysis of Direct and Frequency-Modulation Lineshapes.
| Autor=V. G. Avetisov
| Sammelwerk=Lund Reports in Atomic Physics
| Band=LRAP-186
| Datum=1995
| Hrsg=Fakultät für Physik der Universität Lund
| Online=https://lup.lub.lu.se/search/ws/files/5695063/2297010.pdf
}}</ref>

=== Integraldarstellung ===
Die Faddeeva-Funktion besitzt die Integraldarstellung
:<math>w(z)=\frac{i}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- t^2}}{z - t} \,\mathrm{d}t \qquad \Im\left(z\right) > 0 </math>
sprich sie ist die [[Faltung (Mathematik)|Konvolution]] einer [[Normalverteilung|Gauß-Funktion]] und einer einfachen [[Polstelle]].<ref name = "Avetisov 1995">
</ref><br>
Die reale und imaginäre Voigt-Funktion lassen sich in ähnlicher Weise darstellen:<ref name = "Avetisov 1995">
</ref>
:<math>V\left(x,y\right)=\frac{y}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{- t^2}}{\left(x - t\right)^{2} + y^{2}} \,\mathrm{d}t</math>
:<math>L\left(x,y\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\left(x - t\right)\ \cdot\ e^{- t^2}}{\left(x - t\right)^{2} + y^{2}} \,\mathrm{d}t</math>

=== Verhalten bei Vorzeichenumkehr ===
Bei einer Vorzeichenumkehr von <math>z</math> kann bei Berechnungen auf die folgenden Zusammenhänge zurückgegriffen werden:
:<math>w(-z)=2e^{-z^2} - w(z)</math>
sowie
:<math>w(-z)=\overline{w\left(\overline{z}\right)}</math>
<math>\overline{z}</math> ist die [[Komplexe Konjugation|Konjugation]] von <math>z</math>.<ref>{{Literatur
| Titel=Efficient Computation of the Complex Error Function
| Autor=W. Gautschi
| Sammelwerk=SIAM Journal on Numerical Analysis
| Band=7
| Nummer=1
| Datum=1970
| Seiten=187-198
| Hrsg=Society for Industrial and Applied Mathematics
| Online=https://ntrs.nasa.gov/api/citations/19690026309/downloads/19690026309.pdf
}}</ref>

=== Ableitung ===
In manchen Anwendungen muss nicht nur die Faddeeva-Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitungen berechnet werden, beispielsweise bei der [[Methode der kleinsten Quadrate#Nichtlineare Modellfunktionen|Nichtlinearen Regression]] in der [[Spektroskopie]].
Ihre analytische Ableitung lautet:<ref name = "Avetisov 1995">
</ref><ref>National Institute of Standards and Technology (NIST): [https://dlmf.nist.gov/7.10 ''7 Error functions, Dawson's and Fresnel integrals - 7.10 Derivatives''], 15. März 2023, abgerufen am 14. Mai 2023
</ref>
:<math>\frac{dw\left(z\right)}{dz} = \frac{2i}{\sqrt{\pi}} - 2\cdot z\cdot w\left(z\right)</math>
Dieser Ausdruck kann auch herangezogen werden, um die Änderungen im Real- und Imaginärteil der Faddeeva-Funktion <math>\Re\left(w\left(z\right)\right) = \Re_{w}</math> und <math>\Im\left(w\left(z\right)\right) = \Im_{w}</math> nachzuvollziehen. Im Prinzip muss dafür das Produkt <math>z\cdot w\left(z\right)</math> eingehender betrachtet werden. Mit der obigen Definition des Arguments <math>z = x + iy</math>, kann die Ableitung auch in ihre [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] nach <math>x</math> und <math>y</math> zerlegt werden:
:<math>\frac{d\Re_{w}}{dx} = 2\cdot\left(y\cdot\Im_{w} - x\cdot\Re_{w}\right) = \frac{d\Im_{w}}{dy}</math>
:<math>\frac{d\Re_{w}}{dy} = -2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} - x\cdot\Im_{w} - y\cdot\Re_{w}\right) = -\frac{d\Im_{w}}{dx}</math>
:<math>\frac{d\Im_{w}}{dx} = 2\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} - x\cdot\Im_{w} - y\cdot\Re_{w}\right) = -\frac{d\Re_{w}}{dy}</math>
:<math>\frac{d\Im_{w}}{dy} = 2\cdot\left(y\cdot\Im_{w} - x\cdot\Re_{w}\right) = \frac{d\Re_{w}}{dx}</math>

== Beziehungen zu anderen Funktionen ==

=== Dawsonsche Funktion ===
Es gilt folgende Beziehung zur [[Dawsonsche Funktion|Dawsonschen Funktion]] <math>D_+(x)</math>
:<math>w(x)=e^{-x^2}\operatorname{erfc}(-ix)=e^{-x^2}+\frac{2i}{\sqrt{\pi}}D_{+}(x).</math><ref>{{Literatur|Titel=A Continued Fraction Expansion, with a Truncation Error Estimate, for Dawson's Integral|Autor=J. H. McCabe|Sammelwerk=Mathematics of Computation|Band=28|Nummer=127|Datum=1974|Seiten=811-816|Hrsg=American Mathematical Society}}</ref>

=== Komplementäre Fehlerfunktion ===
Für rein imaginäre Argumente <math>iy</math> entspricht die Faddeeva-Funktion der skalierten [[Fehlerfunktion#Komplementäre Fehlerfunktion|Komplementären Fehlerfunktion]] <math>erfcx</math>
:<math>w(iy)=\mathrm{erfcx}(y)=e^{y^2}\mathrm{erfc}(y)</math>,
mit der [[Fehlerfunktion#Komplementäre Fehlerfunktion|Komplementären Fehlerfunktion]] <math>erfc</math>.

== Geschichte ==

Die Funktion wurde 1954 von Wera Faddejewa und Terentjew tabuliert.<ref>V. N. Faddeeva, N. N. Terent'ev: Tables of values of the function <math>w(z)=\exp(-z^2)(1+2i/\sqrt{\pi}\int_0^z\exp(t^2)\text{d}t)</math> for complex argument. ''Gosud. Izdat. Teh.-Teor. Lit.'', Moscow, 1954; English transl., Pergamon Press, New York, 1961.</ref> Sie erscheint als namenlose Funktion <math>w(z)</math> im Standardwerk von [[Abramowitz-Stegun]] (1964), Formel 7.1.3. Der Name ''Faddeeva function'' wurde anscheinend 1990 von Poppe und Wijers eingeführt.<ref>Google-Scholar-Recherche laut engl. Wikipedia.</ref>

== Implementierungen ==

Steven G. Johnson hat eine Implementierung als freie und offene Software veröffentlicht, die auf einer Kombination der Algorithmen 680 und 916 beruht.<ref>[http://ab-initio.mit.edu/Faddeeva Faddeeva Package], unter [[MIT-Lizenz]].</ref> Sie liegt der Funktion <code>scipy.special.wofz</code> in der [[Python (Programmiersprache)|Python]]-Bibliothek [[SciPy]] zugrunde, und sie ist auch in Form einer C-Bibliothek ''libcerf'' verfügbar.<ref>{{Webarchiv|url=http://apps.jcns.fz-juelich.de/libcerf |archive-is=20130217044822 |text=Archivierte Kopie }}</ref><br>
Für [[Matlab]] existiert eine öffentlich einsehbare Implementierung, die auf einer Approximation durch Fourierreihen sowie einer unendlichen Bruchdarstellung basiert.<ref>
Sanjar Abrarov: [https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/47801-the-voigt-complex-error-function-second-version ''The Voigt/complex error function (second version)''], MATLAB Central File Exchange, 10. Juli 2016, abgerufen am 14. Mai 2023
</ref>

== Literatur ==

* W. Gautschi [[ACM Transactions on Mathematical Software]] (1969?): ACM Algorithmus 363.
* W. Gautschi SIAM J. Numer. Anal. 7, 187 (1970).
* G. P. M. Poppe, C. M. J. Wijers, ACM Transactions on Mathematical Software 16, 38–46 (1990): ACM Algorithm 680.
* J. A. C. Weideman, SIAM J. Numer. Anal. 31, 1497–1518 (1994): Besonders kompakter Algorithmus in 8 Zeilen Matlab.
* M. R. Zaghloul and A. N. Ali, ACM Transactions on Mathematical Software 38, 15 (2011): ACM Algorithm 916.
* S. M. Abrarov and B. M. Quine, Appl. Math. Comp. 218, 1894–1902 (2011).
* S. M. Abrarov and B. M. Quine, [https://arxiv.org/abs/1205.1768v1 Arxiv, Preprint 2012]

== Quellen ==
<references />

[[Kategorie:Mathematische Funktion]]

Faddeeva-Funktion - Versionsgeschichte

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