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2025-04-02T13:52:51Z

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Die '''F-Verteilung''' oder '''Fisher-Verteilung''', auch '''Fisher-Snedecor-Verteilung''' (nach [[Ronald Aylmer Fisher]] und [[George W. Snedecor]]), ist eine stetige [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Eine F-verteilte [[Zufallsvariable]] ergibt sich als [[Quotient]] zweier jeweils durch die zugehörige [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Anzahl der Freiheitsgrade]] geteilter [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilter]] Zufallsvariablen. Die F-Verteilung besitzt zwei unabhängige Freiheitsgrade als [[Parameter (Statistik)|Parameter]] und bildet so eine Zwei-Parameter-[[Verteilungsfamilie]].

Die F-Verteilung wird häufig in einem Test verwendet ([[F-Test]]), um festzustellen, ob der Unterschied zweier [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianzen]] auf statistischer Schwankung beruht oder ob er auf unterschiedliche [[Grundgesamtheit]]en hinweist. Auch im Rahmen der [[Varianzanalyse]] wird mit einer F-Statistik auf signifikante Unterschiede zwischen Grundgesamtheiten (Gruppen) getestet.<ref>P. R. Kinnear, C. D. Gray (2004): ''SPSS 12 MADE SIMPLE.'' Psychology Press. New York. S. 208–209.</ref>

== Definition ==
[[Datei:Dichte F-Verteilung.svg|mini|''Dichtefunktion'' der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden <math>m</math> und <math>n</math>]]
[[Datei:Cdf F-Verteilung.svg|mini|''Verteilungsfunktion'' der F-Verteilung mit ausgewählten Freiheitsgraden <math>m</math> und <math>n</math>]]
Eine stetige [[Zufallsvariable]] genügt der F-Verteilung <math>F(m,n)</math>, mit <math>m</math> Freiheitsgraden im Zähler und <math>n</math> Freiheitsgraden im Nenner, wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

:<math>f(x \mid m,n) = m^{\frac{m}{2}} n^{\frac{n}{2}} \cdot \frac{\Gamma (\frac{m+n}{2})}{\Gamma (\frac{m}{2}) \Gamma (\frac{n}{2})} \cdot \frac{x^{\frac{m}{2}-1}}{(mx+n)^\frac{m+n}{2}} , \quad x > 0</math>

besitzt. Dabei ist mit <math>\Gamma(x)</math> die [[Gammafunktion]] an der Stelle <math>x</math> bezeichnet.

Den historischen Ursprung obiger Definition der F-Verteilung bildet die Verteilung

:<math>F_{m,n}=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n},</math>

wobei <math>\chi_m^2</math> und <math>\chi_n^2</math> unabhängige, [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilte]] Zufallsvariablen mit <math>m</math> bzw. <math>n</math> Freiheitsgraden sind.

== Eigenschaften ==
=== Erwartungswert ===
Der [[Erwartungswert]] existiert nur für <math>n>2</math> und hat dann den Wert
:<math>\operatorname{E}(F_{m,n}) = \frac{n}{n-2}</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ist nur für <math>n>4</math> definiert und lautet dann
:<math>\operatorname{Var}(F_{m,n}) = \frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)}</math>.

=== Verteilungsfunktion ===
Die Werte der Verteilung <math>P(X \leq x) = F(x|m;n)</math> werden meist [[Numerik|numerisch]] ermittelt und in einer [[b:Statistik: Tabelle der F-Verteilung|Tabelle]] angegeben. Eine komplette Tabellierung bezüglich aller Freiheitsgrade ist i. A. nicht notwendig, sodass die meisten Verteilungstabellen die [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Quantile]] bezüglich ausgewählter Freiheitsgrade und Wahrscheinlichkeiten angeben. Man macht sich hier auch die Beziehung zunutze:
:<math>F^{-1}(p;m;n) = \frac{1}{F^{-1}(1-p;n;m)},</math>

wobei <math>F^{-1}(p;m;n)</math> das <math>p</math>-Quantil der F-Verteilung mit <math>m</math> und <math>n</math> Freiheitsgraden bedeutet.

Die F-Verteilung lässt sich geschlossen ausdrücken als
:<math>F(x|m;n)= I\left(\frac{m\cdot x}{m\cdot x+n},\frac{m}{2},\frac{n}{2}\right),</math>

wobei <math>I(z,a,b)=\frac{1}{B(a,b)}\cdot \int_0^z t^{a-1} (1-t)^{b-1}\mathrm{d}t</math> die regularisierte unvollständige [[Eulersche Betafunktion|Betafunktion]] darstellt.

=== Maximum ===
Für <math>m>2</math> nimmt <math>f</math> an der Stelle

:<math>x_{\mathrm{max}}=\frac{n(m-2)}{m(n+2)}</math>

das Maximum an.

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der F-Verteilung (ausgedrückt in [[Nit (Informationseinheit)|nats]]) beträgt
:<math>H(X) = \ln\left(\frac nm\cdot\frac{\Gamma\left(\frac m2\right)\Gamma\left(\frac n2\right)}{\Gamma\left(\frac m2+\frac n2\right)}\right) + \left(1-\frac m2\right)\psi\left(\frac m2\right) - \left(1+\frac n2\right)\psi\left(\frac n2\right) + \frac{m+n}{2}\psi\left(\frac{m+n}{2}\right),</math>
wobei <math>\psi</math> die [[Digamma-Funktion]] bezeichnet.

== Beziehungen zu anderen Verteilungen ==
Das Zeichen <math>\sim</math> bedeutet im Folgenden „ist verteilt wie“.
=== Beziehung zur Beta-Verteilung ===
Die Zufallsvariable
:<math>Y=\frac{\frac mn F_{m,n}}{1+\frac mn F_{m,n}}</math>

ist [[Beta-Verteilung|betaverteilt]] mit Parametern <math>m/2</math> und <math>n/2</math> <math>\left( Y \sim \operatorname{Beta}(m/2,n/2)\right).</math> Es gilt:

:<math>Y\sim \frac{\chi^2_m}{\chi^2_m+\chi^2_n}</math>

wobei <math>\chi_m^2</math> und <math>\chi_n^2</math> unabhängige [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilte]] Zufallsgrößen sind mit <math>m</math> bzw. <math>n</math> Freiheitsgraden.

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
Aus den unabhängigen <math>\chi_m^2</math> und <math>\chi_n^2</math> [[Chi-Quadrat-Verteilung|Chi-Quadrat-verteilten]] Zufallsgrößen mit <math>m</math> bzw. <math>n</math> Freiheitsgraden lässt sich
:<math>F_{m,n}=\frac{\chi_m^2/m}{\chi_n^2/n}</math>
konstruieren. Diese Zufallsvariable ist <math>F(m,n)</math>-verteilt.

=== Beziehung zur nichtzentralen F-Verteilung ===

Für unabhängige Zufallsvariablen <math>X \sim \chi^2(\delta, m)</math> und <math>Y \sim \chi^2(n)</math> ist

:<math>Z = \frac{X/m}{Y/n}</math>

verteilt nach der nichtzentralen F-Verteilung <math>Z \sim F(\delta,m,n)</math> mit Nichtzentralitäts-Parameter <math>\delta</math>. Dabei ist <math>\chi^2(\delta,\,m)</math> eine [[Chi-Quadrat-Verteilung#Nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung|nichtzentrale Chi-Quadrat-Verteilung]] mit Nichtzentralitäts-Parameter <math>\delta</math> und <math>m</math> Freiheitsgraden. Für <math>\delta=0</math> ergibt sich die zentrale F-Verteilung <math>F(m,\,n)</math>.

==== Dichte der nichtzentralen F-Verteilung ====
:<math>g(z|m,n,\delta)=f(z|m,n) \cdot e^{-\delta/2}{}_1\mathcal F_1\left(\frac{m+n}{2},\frac m2,\frac{m\cdot z \cdot\delta}{2(m\cdot z+n)}\right).</math><ref>{{MathWorld|id = SnedecorsF-Distribution|title = Snedecor’s F-Distribution}}</ref>

Die Funktion <math>{}_1\mathcal F_1(a,b,x)</math> ist eine spezielle [[Verallgemeinerte hypergeometrische Funktion|hypergeometrische Funktion]], auch [[Ernst Eduard Kummer|Kummersche]] Funktion genannt und <math>f(x|m,n)</math> repräsentiert die [[#Definition|oben]] angegebene Dichte der zentralen F-Verteilung.

Erwartungswert und Varianz der nichtzentralen F-Verteilung sind gegeben durch
:<math>\frac{n(1+\delta/m)}{n-2}</math> mit <math>n>2</math>

und
:<math>\frac{2n^2(m(1+\delta/m)^2+(n-2)(1+2\delta/m))}{m(n-2)^2(n-4)}</math> mit <math>n>4.</math>

Beide ergeben bei <math>\delta\to 0</math> die Formeln der zentralen F-Verteilung.

=== Beziehung zur Normalverteilung ===
Wenn die unabhängigen [[Normalverteilung|normalverteilten]] Zufallsvariablen <math>X_1, X_2, \dotsc, X_m,Y_1, Y_2, \dotsc, Y_n</math> die Parameter
:<math>\operatorname{E}(X_i)=\mu,\quad \operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2</math>
:<math>\operatorname{E}(Y_j)=\nu,\quad \operatorname{Var}(Y_j)=\tau^2</math>
besitzen, sind die jeweiligen [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianzen]] <math>S_X^2</math> und <math>S_Y^2</math> unabhängig, und es [[Chi-Quadrat-Verteilung#Herleitung der Verteilung der Stichprobenvarianz|gilt]]:
:<math>\frac{S_X^2}{\sigma^2}\sim\chi_{m-1}^2/(m-1)</math>

:<math>\frac{S_Y^2}{\tau^2}\sim\chi_{n-1}^2/(n-1)</math>

Deshalb unterliegt die Zufallsvariable
:<math>F=\frac{S_X^2/\sigma^2}{S_Y^2/\tau^2}</math>
einer F-Verteilung mit <math>m-1</math> Freiheitsgraden im Zähler und <math>n-1</math> Freiheitsgraden im Nenner.

=== Beziehung zur Studentschen t-Verteilung ===
Wenn <math>X \sim t_n</math> ([[Studentsche t-Verteilung]]), dann ist <math>X^2 \sim F(1,n).</math>

Das Quadrat einer t-verteilten Zufallsvariablen mit <math>n</math> Freiheitsgraden folgt einer F-Verteilung mit <math>m=1</math> und <math>n</math> Freiheitsgraden.

== Herleitung der Dichte ==
Die Wahrscheinlichkeitsdichte der F-Verteilung lässt sich herleiten (vgl. [[Studentsche t-Verteilung#Herleitung der Dichte|Herleitung der Dichte der Studentschen t-Verteilung]]) aus der [[Gemeinsame Dichte|gemeinsamen Dichte]] der beiden unabhängigen Zufallsvariablen <math>\chi^2_m</math> und <math>\chi^2_n</math>, die beide Chi-Quadrat-verteilt sind.<ref>Frodesen, Skjeggestad, Tofte: ''Probability and Statistics in Particle Physics.'' Universitetsforlaget, Bergen – Oslo – Tromsø S. 145 f.</ref>
:<math>
g_{\chi^2_m,\chi^2_n}(x,y)= \left(\frac{1}{2^{\frac{m}{2}}\Gamma(\tfrac{m}{2})} x^{\frac{m}{2}-1}\operatorname{exp}\left\{ -\frac x2\right\}\right) \cdot \left(\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma(\tfrac{n}{2})} y^{\frac{n}{2}-1}\operatorname{exp}\left\{ -\frac y2\right\}\right)
</math>.

Mit der Transformation
:<math>
f=\frac{x/m}{y/n},v=y
</math>

bekommt man die gemeinsame Dichte von <math>F=\frac{\chi^2_m/m}{\chi^2_n/n}</math> und <math>\chi^2_n</math>, wobei <math>f\ge 0</math> und <math>v\ge 0</math> gilt.

Die [[Jacobideterminante]] dieser Transformation ist:
:<math>\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(f,v)}=\begin{vmatrix}
\frac mn v&0\\
\Diamond&1
\end{vmatrix}=\frac mn v</math>

Der Wert <math>\Diamond</math> ist unwichtig, weil er bei der Berechnung der Determinante mit 0 multipliziert wird. Die neue [[Dichtefunktion]] schreibt sich also
:<math>
g_{F,\chi^2_n}(f,v)= \frac{1}{2^\frac m2 \Gamma(\frac m2)}\left(f v\, \frac mn\right)^{\frac{m}{2}-1}e^{-\frac 12(f v\, \frac mn)}\cdot \frac{1}{2^\frac n2 \Gamma(\frac n2)}v^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac 12v}\cdot\frac{m}{n}v.
</math>

Gesucht ist nun die [[Randverteilung]] <math>g_{m,\,n}(f)</math> als [[Gammafunktion|Integral]] über die nicht interessierende Variable <math>v</math>:
:<math>
g_{m,n}(f)=\int\limits_{0}^\infty g_{F,\chi^2_n}(f,v)\,dv=\frac{(\frac mn)^{\frac m2}f^{\frac m2-1}}{2^\frac {m+n}{2} \Gamma(\frac m2) \Gamma(\frac n2)} \int\limits_{0}^\infty v^{\frac{m+n}{2}-1}e^{-\frac v2 (1+\frac mn f)}\,dv=m^{\frac m2} n^{\frac n2} \cdot \frac{\Gamma (\frac m2+\frac n2)}{\Gamma (\frac m2) \Gamma (\frac n2)} \cdot \frac{f^{\frac m2-1}}{(mf+n)^\frac{m+n}{2}}.
</math>

== Quantilfunktionen ==
Das <math>p</math>-Quantil der F-Verteilung <math>x_p</math> ist die Lösung der Gleichung <math>p=F(x_p|m,\,n)</math> und damit prinzipiell über die [[Umkehrfunktion]] zu berechnen. Konkret gilt hier
:<math>x_p=\frac{n I^{-1}(p,\frac m2,\frac n2)}{m(1-I^{-1}(p,\frac m2,\frac n2))}</math>

mit <math>I^{-1}</math> als Inverse der regularisierten unvollständigen Betafunktion. Dieser Wert <math>x_p</math> ist in der [[b:Statistik: Tabelle der F-Verteilung|F-Verteilungstabelle]] unter den Koordinaten <math>p</math>, <math>m</math> und <math>n</math> eingetragen oder in der [[Quantiltabelle der Fisher-Verteilung]] zu finden.

Für einige Werte <math>m</math>, <math>n</math> lassen sich die Quantilsfunktionen <math>x_p(m,\,n)</math> explizit ausrechnen. Man löst das Beta-Integral <math>I(\tfrac{m x}{m x+n},\tfrac m2,\tfrac n2)</math> mit <math>m,n=1,2,\dotsc,</math> wobei für ein paar Indizes invertierbare Funktionen auftreten:
:<math>
\begin{array}{c|c|c|c|c}
m \downarrow,\,n \rightarrow & 1 & 2 & 3 & 4\\
\hline
1 &\tan(\frac\pi2 p)^2 & \frac{2p^2}{1-p^2} & ? & \frac{4}{2\cos(\frac{2\arcsin(p)}{3})-1}-4\\
\hline
2 & \frac12(\frac{1}{(1-p)^2}-1) & \frac{p}{1-p} & \frac32(\frac{1}{(1-p)^{2/3}}-1) & \frac{2}{\sqrt{1-p}}-2\\
\hline
3 & ? & \frac{2p^{2/3}}{3-3p^{2/3}} & ? & ?\\
\hline
4 & \frac{1}{(4\sin(\frac{\arcsin(1-p)}{3}))^2} -\frac14 & \frac{\sqrt p}{2(1-\sqrt p)} & ? & \frac{1}{\frac12+\sin(\frac{\arcsin(1-2p)}{3})}-1\\
\end{array}
</math>
Aus der jeweils vollständigen Zeile und Spalte kann man sogar die allgemeinen Ausdrücke für höhere Indizes ablesen. Man findet:
:<math>x_p(2,\,n) = \frac{n}{2}\left(\frac{1}{(1-p)^{2/n}}-1\right)</math>
:<math>x_p(m,\,2) = \frac{2}{m}\left(\frac{p^{2/m}}{1-p^{2/m}}\right)</math>

== Siehe auch ==
* [[Fishersche z-Verteilung]]

== Literatur ==
* Joachim Hartung, Bärbel Elpelt, Karl-Heinz Klösener: ''Statistik.'' 12. Auflage, Oldenbourg 1999, S. 156 ff., ISBN 3-486-24984-3.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Statistik: Nichtlineare Funktionen der Normalverteilung|Nichtlineare Funktionen der Normalverteilung}}
* [http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/surfstat/fvert.htm Statistischer Internetrechner]
* {{MathWorld|id = SnedecorsF-Distribution|title = Snedecor’s F-Distribution}}
* [http://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda3673.htm Tabelle der kritischen Werte der F-Verteilung]

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

F-Verteilung - Versionsgeschichte

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