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2026-04-07T15:26:07Z

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{{SEITENTITEL:''F''-Test}}
{{Belege fehlen}}
{{Dieser Artikel|behandelt den ''F''-Test in einfacher Notation. Für den ''F''-Test in Vektor-Matrix-Schreibweise siehe [[Testen allgemeiner linearer Hypothesen]].}}

Als '''''F''-Test''' wird eine Gruppe von [[Statistischer Test|statistischen Tests]] bezeichnet, bei denen die Teststatistik unter der [[Nullhypothese]] einer [[F-Verteilung|''F''-Verteilung]] folgt. Im Kontext der [[Regressionsanalyse]] wird mit dem F-Test eine Kombination von linearen (Gleichungs-)Hypothesen untersucht.<ref>{{Literatur |Autor=Peter Hackl |Titel=Einführung in die Ökonometrie |Auflage=Bafög-Ausg |Verlag=Pearson Education |Ort=München |Datum=2008 |Reihe=wi - Wirtschaft |ISBN=978-3-8273-7338-0 |Kapitel=5.4.3.1. Der F-Test}}</ref> Beim Spezialfall der [[Varianzanalyse]] ist mit ''F''-Test ein Test gemeint, mithilfe dessen mit einer gewissen [[Konfidenz]] entschieden werden kann, ob zwei [[Stichprobe]]n aus unabhängigen normalverteilten [[Grundgesamtheit|Populationen]] sich hinsichtlich ihrer [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] [[Statistische Signifikanz|wesentlich]] unterscheiden.<ref>{{Internetquelle |url=https://www.methodenberatung.uzh.ch/de/datenanalyse_spss/unterschiede/varianzen/ftest.html |titel=F-Test |werk=Methodenberatung |hrsg=Universität Zürich |sprache=de-CH |abruf=2026-04-07}}</ref> Er dient damit unter anderem zur generellen Überprüfung von Unterschieden zwischen zwei statistischen Populationen.

Der Test geht zurück auf einen der bekanntesten Statistiker, [[Ronald Aylmer Fisher]] (1890–1962).<ref>{{Literatur |Titel=An introduction to statistical concepts |Autor=Richard G Lomax |Verlag=Lawrence Erlbaum Associates Publishers |Ort=Mahwah, N.J. |Datum=2007 |Fundstelle=S. 205 |Online=https://archive.org/details/introductiontost0000loma_j6h1/page/204/mode/2up?q=Fisher}}</ref>

== ''F''-Test für zwei Stichproben ==

Der ''F''-Test ist ein Begriff aus der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]], er bezeichnet eine Gruppe von [[Statistischer Test|Hypothesentests]] mit [[F-Verteilung|''F''-verteilter]] [[Teststatistik]]. Bei der [[Varianzanalyse]] ist mit dem ''F''-Test der Test gemeint, der für zwei Stichproben aus unabhängigen normalverteilten Grundgesamtheiten die Unterschiede in den Varianzen prüft.

Der ''F''-Test setzt zwei unabhängige normalverteilte Grundgesamtheiten (Gruppen) voraus mit den Parametern <math>\mu_1</math> und <math>\sigma_1^2</math> bzw. <math>\mu_2</math> und <math>\sigma_2^2</math>. Es wird vermutet, dass die Varianz in der zweiten Grundgesamtheit (Gruppe) größer sein könnte als die in der ersten Grundgesamtheit. Um dies zu prüfen, wird aus jeder Grundgesamtheit eine [[Zufallsstichprobe]] gezogen, wobei die Stichprobenumfänge <math>n_1</math> und <math>n_2</math> auch verschieden groß sein dürfen. Die Stichprobenvariablen <math>X_{1,1},\dots ,X_{1,n_1}</math> der ersten Grundgesamtheit und <math>X_{2,1},\dots ,X_{2,n_2}</math> der zweiten Grundgesamtheit müssen dabei unabhängig sowohl innerhalb einer Gruppe als auch untereinander sein.

Für den Test der [[Nullhypothese]]: <math>H_0\colon\,\sigma_2^2 = \sigma_1^2</math> gegen die [[Alternativhypothese]]: <math>H_1\colon\,\sigma_2^2 >\sigma_1^2</math> eignet sich der ''F''-Test, dessen Teststatistik der Quotient der geschätzten [[Varianz (Stochastik)|Varianzen]] der beiden Stichproben ist:

:<math>F_{\mathrm{Stichprobe}} =\frac{S^2_2}{S^2_1}=\frac{\displaystyle \frac{1}{n_2-1}\sum_{i=1}^{n_2} (X_{2,i}-\overline{X}_2)^2}{\displaystyle \frac{1}{n_1-1}\sum_{i=1}^{n_1} (X_{1,i}-\overline{X}_1)^2}.</math>

Dabei sind <math>S_1^2</math>, <math>S_2^2</math> die [[Stichprobenvarianz (Schätzfunktion)|Stichprobenvarianzen]] und <math>\overline{X}_1</math>, <math>\overline{X}_2</math> die [[Stichprobenmittel]] innerhalb der beiden Gruppen.

Unter der Gültigkeit der Nullhypothese ist die Teststatistik <math>F_{\mathrm{Stichprobe}}</math> ''F''-verteilt mit <math>n_2-1</math> [[Anzahl der Freiheitsgrade (Statistik)|Freiheitsgraden]] im Zähler und <math>n_1-1</math> im Nenner. Die Nullhypothese wird abgelehnt für zu große Werte der Teststatistik. Man bestimmt dazu den [[Ablehnbereich|kritischen Wert]] oder man berechnet den [[p-Wert]] des Prüfwerts. Dies geschieht am einfachsten unter Zuhilfenahme einer [[b:Statistik: Tabelle der F-Verteilung|''F''-Wert-Tabelle]].

Der kritische Wert ''K'' ergibt sich aus der Bedingung:

:<math>P\left(F(n_2-1,n_1-1)\ge K \mid H_0\right)\le \alpha_0,</math>

mit <math>\alpha_0</math> dem erwünschten [[Signifikanzniveau]].

Den ''p''-Wert berechnet man mittels:

:<math>p=P\left(F(n_2-1,n_1-1)\ge f_{\mathrm{Stichprobe}} \mid H_0\right),</math>

mit <math>f_{\mathrm{Stichprobe}}</math>, dem in der Stichprobe gefundenen Wert der Teststatistik <math>F_{\mathrm{Stichprobe}}</math>.

Hat man ''K'' bestimmt, dann lehnt man <math>H_0</math> ab, falls <math>f_{\mathrm{Stichprobe}}\ge K</math>. Hat man den p-Wert ''p'' berechnet, lehnt man <math>H_0</math> ab, falls <math>p\le \alpha_0</math>.

Häufig wird für das Signifikanzniveau <math>\alpha_0</math> der Wert 5 % gewählt. Es handelt sich dabei aber nur um eine gängige Konvention, siehe auch den Artikel [[Statistische Signifikanz]]. Allerdings können aus der erhaltenen Wahrscheinlichkeit <math>P(F\mid H_0)</math> keine direkten Rückschlüsse auf die Wahrscheinlichkeit der Gültigkeit der Alternativhypothese gezogen werden.

Um eine Entscheidung zu fällen, muss man wissen, welcher [[Verteilungsfunktion|Verteilung]] die [[Teststatistik]] <math>F_{\mathrm{Stichprobe}}</math> folgt. Dazu betrachtet man zunächst Zähler und Nenner der Prüfgröße genauer. Beide sind die Summe von quadrierten, um ihren Mittelwert bereinigten [[Normalverteilung|normalverteilten]] [[Zufallsvariable]]n, jeweils dividiert durch die um eins reduzierte Stichprobengröße. Teilt man Zähler und Nenner durch die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2</math> in der Grundgesamtheit, was den Wert des Quotienten nicht verändert, und multipliziert mit dem Faktor <math>\tfrac{1}{n_i-1}</math>, so folgen beide einer [[Chi-Quadrat-Verteilung]] und es gilt<ref>Statistik-Nachhilfe.de: [https://www.statistik-nachhilfe.de/ratgeber/statistik/induktive-statistik/signifikanztests-hypothesentests/pruefung-auf-streuung/f-test F-Test]</ref>

: <math>\frac{S_1^2}{\sigma_1^2} \cdot (n_1 - 1) = \frac{n_1 - 1}{\sigma_1^2} \cdot \frac{1}{n_1 - 1} \cdot \sum_{i=1}^{n_1} (X_{1,i} - \overline{X}_1)^2 = \sum_{i=1}^{n_1} \left(\frac{X_{1,i} - \overline{X}}{\sigma_1}\right)^2</math>

=== Beispiel ===
Ein Unternehmen will die Herstellung eines seiner Produkte auf ein Verfahren umstellen, das bessere Qualität verspricht. Das neue Verfahren wäre zwar teurer, aber sollte eine kleinere Streuung aufweisen. Als Test werden 100 Produkte, hergestellt mit dem neuen Verfahren B, verglichen mit 120 Produkten, die mit der alten Methode A produziert worden sind. Die Produkte B weisen eine Varianz von 80 auf, und die Produkte A eine Varianz von 95. Getestet wird

: <math>H_0\colon \sigma_A=\sigma_B</math>

gegen

: <math>H_1\colon \sigma_A >\sigma_B</math>

Die Teststatistik hat den Prüfwert:

:<math>f_{\mathrm{Stichprobe}}=\frac{s_A^2}{s_B^2}=\frac{95}{80}= 1{,}1875</math>

Dieser F-Wert stammt unter der Nullhypothese aus einer <math>F_{(119;\, 99)}</math>-Verteilung. Der p-Wert des Stichprobenergebnisses ist also:

:<math>P(F(119;\, 99) \geq 1{,}1875) \approx 0{,}189.</math>

Die Nullhypothese kann also nicht abgelehnt werden, und somit wird die Produktion nicht auf das neue Verfahren umgestellt. Dabei bleibt die Frage, ob diese Entscheidung gerechtfertigt ist. Was wäre, wenn das neue Verfahren tatsächlich eine kleinere Varianz bewirkt, aber aufgrund der Stichprobe ist dies unentdeckt geblieben? Aber auch wenn die Nullhypothese abgelehnt worden wäre, also ein signifikanter Unterschied zwischen den Varianzen aufgefunden worden wäre, hätte doch der Unterschied unbedeutend klein sein können. Zuerst stellt sich natürlich die Frage, ob der Test im Stande wäre, den Unterschied zu entdecken. Dazu betrachtet man die Teststärke. Das Signifikanzniveau <math>\alpha_0</math> ist auch der Minimalwert der Teststärke. Das führt also nicht weiter. In der Praxis aber würde die Produktion natürlich nur dann umgestellt, wenn eine erhebliche Verbesserung zu erwarten wäre, z. B. eine Abnahme der Standardabweichung um 25 %. Wie wahrscheinlich ist es, dass der Test einen solchen Unterschied entdeckt? Das ist genau der Wert der Teststärke für <math>\sigma_B=0{,}75 \sigma_A</math>. Die Berechnung erfordert zuerst die Berechnung des kritischen Werts <math>f_{\mathrm{krit}}</math>. Dazu unterstellen wir <math>\alpha_0=5\ \%</math>, und lesen aus einer Tabelle ab:

:<math>f_{\mathrm{krit}}=1{,}378.</math>

Es gilt also:
:<math>P(F_{\mathrm{Stichprobe}}\ge 1{,}378|H_0)=0{,}05.</math>

Der gesuchte Wert der Teststärke ist die Wahrscheinlichkeit, die erwähnte Abnahme der Standardabweichung zu entdecken, also:

:<math>
\begin{align}
&P(H_0\ \text{ablehnen}|\sigma_B=\tfrac 34\sigma_A) \\
=\ &P(F_{\mathrm{Stichprobe}}\ge f_{\mathrm{krit}}|\sigma_B=\tfrac 34\sigma_A) \\
=\ &P\left(\left.\frac{S_A^2}{S_B^2}\ge f_{\mathrm{krit}}\right| \frac{\sigma_B}{\sigma_A} =\tfrac 34\right) \\
=\ &P\left(\frac{S_A^2/\sigma_A^2}{S_B^2/\sigma_B^2}\ge (\tfrac 34)^2f_{\mathrm{krit}}\right) \\
=\ &P\left(F(119;99)\ge 0{,}775\right) \\
=\ &0{,}91
\end{align}
</math>

Das bedeutet: Wenn die Varianz um 25 % oder mehr abnimmt, so wird das in mindestens 91 % der Fälle entdeckt.

== ''F''-Test für mehrere Stichprobenvergleiche ==
Der [[Varianzanalyse#Einfache Varianzanalyse|einfachen Varianzanalyse]] liegt ebenfalls der ''F''-Test zugrunde. Hier werden die Quadratsumme der Behandlung und die [[Residuenquadratsumme]] einander gegenübergestellt.

== ''F''-Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells ==
{{Hauptartikel|Globaler F-Test}}
Beim globalen ''F''-Tests (auch ''Overall-F-Test'' oder ''F-Test auf Gesamtsignifikanz eines Modells'') wird geprüft, ob mindestens eine erklärende Variable einen Erklärungsgehalt für das Modell liefert und das Modell somit als Gesamtes signifikant ist.

== Einordnung ==
* F-Tests sind in der Regel Beispiele für [[Likelihood-Quotienten-Test]]s.

== Literatur ==
* [[Jürgen Bortz|J. Bortz]], C. Schuster: ''Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler.'' 7. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2010, ISBN 978-3-642-12769-4.
* [[Lothar Sachs]]: ''Angewandte Statistik: Anwendung statistischer Methoden.'' 11. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2004, ISBN 3-540-40555-0.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Parametrischer Test]]

F-Test - Versionsgeschichte

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