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2022-08-25T13:57:39Z

Einleitung: reihenfolge wie später

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[[Datei:GevDensity 2.svg|mini|Beispiele der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen der Extremwertverteilungsfamilie.]]

Die '''verallgemeinerte Extremwertverteilung'''<ref>Paul Embrechts, [[Claudia Klüppelberg]], Thomas Mikosch: ''Modelling Extremal Events for Insurance and Finance.'' Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8, S. 152–168.</ref><ref>{{Internetquelle |autor=[[Eric Weisstein|Eric W. Weisstein]] |url=https://mathworld.wolfram.com/ExtremeValueDistribution.html |titel=Extreme Value Distribution |sprache=en |abruf=2021-08-06}}</ref> ist eine stetige [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]. Sie spielt eine herausragende Rolle in der [[Extremwerttheorie]], da sie alle möglichen asymptotischen Verteilungen des Maximums einer [[Zufallsstichprobe|einfachen Zufallsstichprobe]] in einer Darstellung zusammenfasst.
Die verallgemeinerte Extremwertverteilung fasst die [[Gumbel-Verteilung]], die [[Fréchet-Verteilung]] und die [[Weibull-Verteilung]] zusammen.

== Definition ==
Eine stetige Zufallsgröße <math>X</math> genügt einer verallgemeinerten Extremwertverteilung mit den Parametern <math>\mu \in \R</math>, <math>\sigma>0</math> und <math>\xi \in \R</math>, wenn sie die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]]
:<math>f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\sigma}\,t(x)^{\xi+1}e^{-t(x)} &\text{falls } 1+\xi(\tfrac{x-\mu}{\sigma}) > 0 \\
0&\text{sonst}
\end{cases}
</math>
mit
:<math>t(x) = \begin{cases}\big(1+\xi(\tfrac{x-\mu}{\sigma})\big)^{-1/\xi} & \textrm{falls}\ \xi\neq 0 \\ e^{-(x-\mu)/\sigma} & \textrm{falls}\ \xi=0\end{cases}</math>
besitzt. Für <math>\xi=0</math> liegt eine Gumbel-Verteilung, für <math>\xi > 0</math> eine Fréchet-Verteilung und für <math>\xi < 0</math> eine Weibull-Verteilung vor.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Extremwertverteilung - Versionsgeschichte

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