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2026-04-24T12:46:36Z

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Die '''Extremwerttheorie''' (englisch '''extreme value theory''') ist ein Teilgebiet der [[Mathematische Statistik|mathematischen Statistik]], das sich mit maximalen und minimalen Werten von [[Stichprobe]]n beschäftigt.

Ein zentrales Resultat ist die Tatsache, dass für das [[Extremwert|Maximum]] (und das Minimum) einer [[Stichprobe]] (''egal welcher [[Häufigkeitsverteilung|Verteilung]]'') nur drei Typen von [[Grenzverteilung|Grenzverteilungen]] möglich sind, welche sich in einer so genannten [[Extremwertverteilung|verallgemeinerten Extremwertverteilung]] zusammenfassen lassen. [[Max-stabile Prozesse]] erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall.

== Definitionen ==
Es seien <math>X_1, \ldots, X_n</math> [[unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen]] mit Werten in den [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] und <math>M_n = \max_{1\leq i \leq n} X_i</math> ihr Maximum. Ferner bezeichne <math>F(x) = P(M_n \leq x)\;</math> die [[Verteilungsfunktion]] von <math>M_n</math>, und sei <math>G</math> eine nicht-ausgeartete Verteilungsfunktion – also keine Funktion, die nur die Werte Null oder Eins annehmen kann. Falls dann Folgen <math>a_n, b_n\;</math> existieren, so dass die Konvergenz <math>F(b_n + a_nx) \rightarrow G(x)\;</math> gilt, so kann <math>G</math> nur eine der folgenden Verteilungen sein (''Satz von Fisher-Tippett-Gnedenko''), je nachdem, ob die Ausläufer der Verteilung [[Exponentialfunktion|exponentiell]] abfallen, [[Polynom|polynomiell]] abfallen oder an einer Stelle den Wert Null erreichen:

* [[Gumbelverteilung|Gumbel-Typ]] (Typ I). Genauer: Wenn die Variable <math>X</math> eine [[Gumbel-Verteilung]] hat, so hat <math>\log(X)</math> eine Extremwertverteilung vom Typ I.
* [[Fréchet-Verteilung|Fréchet-Typ]] (Typ II). Genauer: Wenn die Variable <math>X</math> eine [[Fréchet-Verteilung]] hat, so hat <math>1/X</math> eine Extremwertverteilung vom Typ II.
* [[Weibull-Verteilung|Weibull-Typ]] (Typ III). Genauer: Wenn die Variable <math>X</math> eine [[Weibull-Verteilung]] hat, so hat <math>-X</math> eine Extremwertverteilung vom Typ III.

Diese drei Verteilungen können auch zu einer einzigen Klasse ([[Jenkinson-von-Mises-Darstellung]]) parametrisiert werden. Die (oder eine) verallgemeinerte Verteilung heißt [[Extremwertverteilung]]. Als Parameter werden oft <math>K, \sigma</math> und <math>\mu</math> verwendet, wobei <math>K<0</math> eine Typ-III-Verteilung beschreibt und <math>K>0</math> eine Typ-II-Verteilung.

== Anwendungen ==
Sie findet unter anderem Anwendung in der [[Finanzmathematik]] und [[Versicherungsmathematik]]. Die Theorie wurde u. a. angewendet für die Untersuchung der Rekordentwicklung in der Leichtathletik<ref>Daniel Gembris: ''Entwicklung von Rekorden in der Leichtathletik.'' In: ''Spektrum der Wissenschaft.'' Nr. 8, 2008, S. 14–16. [https://www.spektrum.de/alias/mathematik/entwicklung-von-rekorden-in-der-leichtathletik/962674 (spektrum.de)]</ref> und von Klimarekorden.<ref>Gregor Wergen, Joachim Krug, Stefan Rahmstorf: ''Klimarekorde.'' In: ''Spektrum der Wissenschaft.'' Nr. 2, 2014, S. 80–87. [https://www.spektrum.de/alias/statistik/klimarekorde/1216444 (spektrum.de)]</ref>

Typische Fragestellungen könnten unter anderem sein:
* Wie hoch soll ein [[Staudamm]] gebaut werden, wenn man sichergehen möchte, dass er in den nächsten 100 Jahren nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % überschwemmt wird?
* Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines [[Börsencrash]]s im kommenden Jahr, der zu einem Kursverfall von mehr als 15 % führt?
* Wie groß ist die Festigkeit des schwächsten Volumenelementes eines Bauteils? Vergleiche [[Wöhlerkurve]]

=== Nicht-Normalverteilungen mit „Fat tails“ ===
Für solche sehr seltene Ereignisse, also z. B. sehr hohe wirtschaftliche Gewinne oder Verluste, sind in der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] der extremen Ereignisse unter Umständen nicht mehr die gewohnten [[Normalverteilung]]en (oder Überlagerungen davon) charakteristisch, die sich wie [[Gaußfunktion]]en verhalten, also wie „Standard-Glockenkurven“ der Breite <math>\sigma</math>, genauer: wie <math>dx' / \sqrt{2\pi\sigma}\,\cdot e^{-{(x-x')^2}/(2\sigma )}</math>, die also im Randbereich rascher als exponentiell abfallen. Stattdessen dominieren Verteilungsfunktionen, die im Zentralbereich wie Gaußfunktionen aussehen, aber im Randbereich nur algebraisch klein werden, <math>\sim dx'\cdot |x-x'|^{-\alpha }</math>, mit einem charakteristischen „fat tail“-Exponenten, der in der physikalischen Literatur mit <math>\alpha</math> bezeichnet wird und bestimmte „universelle“ Werte annehmen kann.<ref>Rosario N. Mantegna, [[Eugene Stanley|H. Eugene Stanley]]: ''An Introduction to Econophysics: Correlations and Complexity in Finance.'' Cambridge University Press, Cambridge 1999, ISBN 0-521-62008-2. ({{Webarchiv | url=http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521620082 | wayback=20160410141855 | text=cambridge.org}})</ref>

== Literatur ==
* Paul Embrechts, [[Claudia Klüppelberg]], Thomas Mikosch: ''Modelling Extremal Events for Insurance and Finance.'' Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8.
* [[Emil Julius Gumbel]]: ''Statistics of extremes.'' Columbia University Press, New York 1958, ISBN 978-0-231-92958-5.
* [[Laurens de Haan]], Ana Ferreira: ''Extreme Value Theory. An Introduction.'' Springer, New York 2006, ISBN 978-1-4419-2020-1.
* Rolf-Dieter Reiss, Michael Thomas: ''Statistical Analysis of Extreme Values with Applications to Insurance, Finance, Hydrology an Other Fields.'' 3. Auflage. Birkhäuser, Basel 2007, ISBN 978-3-7643-7230-9.
* Sidney I. Resnick: ''Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes.'' Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-75952-4.

== Weblinks ==
* [http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=187 Advanced Extremal Models for Operational Risk] (PDF; 112 kB)
* [http://www.risknet.de/typo3conf/ext/bx_elibrary/elibrarydownload.php?&downloaddata=197 Wenn es um Kopf und Kragen geht: Extremwerttheorie] (PDF; 271 kB)

== Einzelnachweise ==
<references />
[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Versicherungsmathematik]]

Extremwerttheorie - Versionsgeschichte

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