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2019-11-29T09:48:28Z

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Ein '''Extremalpunkt''' einer [[konvexe Menge|konvexen Menge]] ''K'' eines [[Körper der reellen Zahlen|reellen]] [[Vektorraum]]s ist ein Punkt ''x'' aus ''K'', der sich nicht als [[Konvexkombination]] zweier verschiedener Punkte aus ''K'' darstellen lässt, also zwischen keinen zwei anderen Punkten aus ''K'' liegt. Das heißt, es gibt keine Punkte <math> a \ne b \in K </math> mit <math>x = \lambda a+(1-\lambda)b</math> für ein <math>0 < \lambda < 1</math>.

== Erläuterungen und Beispiele ==
[[Bild:Extreme points.svg|mini|Extremalpunkte ''(rot)'' einer konvexen Menge K ''(blau und rot)'' können nicht als Konvexkombination zweier verschiedener Punkte aus K dargestellt werden]]
# Ein Punkt <math>x \in K</math> ist genau dann ein Extremalpunkt der konvexen Menge <math>K</math>, wenn die [[Restmenge]] <math>K\setminus\{x\}</math> ihrerseits eine konvexe Menge ist.
# Ein [[Dreieck]] ist eine konvexe Menge, die Extremalpunkte sind genau die Ecken des Dreiecks.
# Eine [[abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] [[Kugel]] im <math>\mathbb{R}^n</math> ist konvex, die Extremalpunkte sind genau die [[Randpunkt]]e. Das gilt in allen [[Hilbertraum|Hilberträumen]] oder allgemeiner in allen [[Strikt konvexer Raum|strikt konvexen Räumen]]. Eine [[Offene Menge|offene]] Kugel hat keine Extremalpunkte.
# Die positiven [[Funktional]]e mit [[Norm (Mathematik)|Norm]] 1 einer kommutativen [[C*-Algebra]] bilden eine konvexe Menge. Die Extremalpunkte sind genau die multiplikativen Funktionale.
# Nach dem [[Satz von Birkhoff und von Neumann]] sind die Permutationsmatrizen genau die Extremalpunkte der doppelt-stochastischen Matrizen.

== Anwendungen ==
* Die Extremalpunkte eines [[Polyeder]]s nennt man [[Ecke]]n. Sie spielen eine wichtige Rolle der [[Lineare Optimierung#Geometrische Interpretation|geometrischen Interpretation der linearen Optimierung]].
* In vielen Situationen gelingen Charakterisierungen von Extremalpunkten als Objekte mit besonderen Eigenschaften wie im Beispiel 3. Der [[Satz von Krein-Milman]] führt dann zu Sätzen über die Existenz solcher Objekte.
* In der [[Choquet-Theorie]] wird die Vorstellung, dass ein Punkt einer konvexen Menge als Mittelung über deren Extremalpunkte darstellbar ist, präzisiert.
* Die Extremalpunkte spielen in der [[Analysis]], der [[Lineare Optimierung|Linearen Optimierung]] und der [[Variationsrechnung]] eine wichtige Rolle, da durch sie die Bestimmung von [[Extremwert|Extremstellen]] gewisser [[stetig]]er [[reellwertige Funktion|reellwertiger]] [[Funktional]]e erheblich vereinfacht wird. Dieser Sachverhalt wird durch das [[Maximumprinzip von Bauer]] beschrieben.

== Abschlusseigenschaften ==
[[Datei:ExtremalpunkteDoppelkegel.PNG|miniatur|links]]
Die Menge der Extremalpunkte ist im Allgemeinen nicht abgeschlossen. Ein dreidimensionales Beispiel erhält man durch das Zusammenfügen zweier schiefer Kegel zu einem Doppelkegel, so dass die Verbindungsstrecke zwischen den Spitzen <math>P</math> und <math>R</math> (siehe nebenstehende Skizze) auf den Mantelflächen verläuft und die gemeinsame Kreislinie in einem Punkt <math>Q</math> trifft. Die Menge der Extremalpunkte dieses Doppelkegels besteht aus den Kegelspitzen <math>P</math> und <math>R</math> und allen Punkten der Kreislinie ohne <math>Q</math>, denn dieser Punkt lässt sich ja aus <math>P</math> und <math>R</math> konvex kombinieren. <math>Q</math> liegt aber im Abschluss der Extremalpunktmenge.

[[Datei:ExtremalpunkteEinheitskugel.PNG|miniatur]]
Im unendlichdimensionalen Fall kann die Menge der Extremalpunkte dicht liegen. Ein einfaches Beispiel ist die Einheitskugel <math>U</math> in einem unendlichdimensionalen [[Hilbertraum]] <math>H</math> mit der [[schwache Topologie|schwachen Topologie]] (bezüglich dieser ist <math>U</math> kompakt).
Die Extremalpunktmenge ist die Menge aller Vektoren mit Länge 1.
Um zu sehen, dass die Extremalpunktmenge dicht in <math>U</math> liegt, sei <math>x_0</math> ein Vektor mit <math>\|x_0\|<1</math> und <math>V</math> eine schwache Umgebung von <math>x_0</math>. Dann gibt es Vektoren <math>y_1,\ldots,y_n \in H</math> und ein <math>\varepsilon > 0</math> mit <math>\{x\in H;\,|\langle x-x_0, y_i\rangle | < \varepsilon\,\mbox{ für alle } i=1,\ldots n\} \subset V</math>. Da <math>H</math> unendlichdimensional ist, gibt es einen zu den <math>y_i</math> orthogonalen Vektor <math>y</math> und dann ein <math>\lambda > 0</math>, so dass der Vektor <math>x_0+\lambda y</math> die Länge 1 hat und folglich ein Extremalpunkt ist. Da <math>\langle (x_0+\lambda y)-x_0,y_i\rangle = \lambda \langle y,y_i\rangle = 0</math>, folgt <math>x_0+\lambda y \in V</math>. Damit ist gezeigt, dass jede schwache Umgebung eines Vektors der Länge < 1 einen Extremalpunkt enthält. Daher fällt der Abschluss der Extremalpunktmenge mit <math>U</math> zusammen.

== Extremale Mengen ==
Die Definition eines Extremalpunktes lässt sich auf natürliche Weise auf Mengen übertragen: Eine '''extremale Menge''' ist eine [[Teilmenge]] einer [[konvexe Menge|konvexen Menge]] mit der Eigenschaft, dass sich Punkte aus dieser Menge nur dann als [[Konvexkombination]] von Punkten aus der konvexen Menge darstellen lassen, wenn diese Punkte bereits in der Teilmenge selbst enthalten sind. Formal:
:Sei <math>X</math> ein Vektorraum, <math>K\subset X</math> konvex und <math>M\subset K</math>. Dann ist <math>M</math> eine extremale Menge, falls gilt:
:<math>\forall\, \alpha \in (0, 1) ~ \forall \, x_1,x_2\in K\!:~ \alpha x_1+(1-\alpha)x_2\in M ~ \Rightarrow ~ x_1,x_2\in M.</math>
Typische Beispiele sind Seiten oder Kanten von Polyedern. Ein oft benutzter Satz ist, dass Extremalpunkte von extremalen Mengen bereits Extremalpunkte der umgebenden konvexen Menge sind.

== Literatur ==
* [[Richard Kadison|R.V. Kadison]], [[John Ringrose|J. R. Ringrose]]: ''Fundamentals of Operator Algebras'', Academic Press 1983
* {{Literatur
|Autor=[[Nicolas Bourbaki|N. Bourbaki]]
|Titel=Topological Vector Spaces: Chapters 1 - 5
|Auflage=
|Verlag=[[Springer Science%2BBusiness Media|Springer Verlag]]
|Ort=Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo
|Datum=1987
|ISBN=3-540-13627-4
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Bourbaki&s5=Topological&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=910295 MR0910295]}}

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Extremalpunkt - Versionsgeschichte

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