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2025-02-19T08:07:58Z

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{{Dieser Artikel| behandelt die Verfahren zur Ausdehnung von Aussagen über ihre eigentlichen Gültigkeitsbereiche. Für das gleichnamige Jazzalbum von John McLaughlin siehe [[Extrapolation (Album)]].}}

'''Extrapolation''' ist in der [[Mathematik]] und [[Wirtschaft]] die Fortführung einer [[Zeitreihenanalyse|Zeitreihe]] über den letzten beobachteten [[Zeitpunkt]] oder [[Zahl|Wert]] hinaus, vorwärts oder rückwärts, also eine [[Schätzung]] anhand der beobachteten Entwicklungstrends.

== Gebrauch in der Mathematik ==
In der Mathematik ist die Extrapolation ein „Verfahren zur Beschleunigung der [[Grenzwert (Folge)|Konvergenz]] einer gegebenen [[Folge (Mathematik)|Folge]] gegen den gesuchten [[Grenzwert (Folge)|Grenzwert]]“.<ref>[https://www.google.de/books/edition/Lexikon_der_Mathematik_Band_2/rSagDQAAQBAJ?hl=de&gbpv=1&dq=Extrapolation+lexikon&pg=PA111&printsec=frontcover#spf=1616843858563 Springer Verlag (Hrsg.), ''Lexikon der Mathematik'', Band 2, 2016, S. 111]</ref> Eine statistische Extrapolation bezeichnet man auch als [[Hochrechnung]].

Eine andere Herangehensweise ist die [[Interpolation (Mathematik)|Interpolation]], bei der innerhalb des Bereichs gesicherter Werte (ggf. auch gesicherter Erkenntnisse) das Verhalten auch für Fälle beschrieben wird, die nicht untersucht wurden. Meist setzt die Extrapolation eine Interpolation voraus wie im Falle der [[Richardson-Extrapolation]] zur [[Numerik|numerischen]] [[Differentiation]]. Hierbei wird durch einige [[Stützstelle]]n ein [[Interpolationspolynom]] gelegt und dann der Wert des Interpolationspolynoms bei dem zu errechnenden Wert bestimmt. Dies gilt als sinnvoll, wenn die einzelnen Berechnungen der Funktionswerte nahe dem [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwert]] immer aufwändiger werden und es somit von der Komplexität her als nicht vertretbar erscheint, sehr nah an den Grenzwert heranzugehen. Um den Extrapolationsfehler klein zu halten, gilt es allerdings als notwendig, gewisse Kriterien für die Wahl der Stützstellen festzulegen. Dabei zeigt sich, dass der Quotient der aufeinanderfolgenden Abstände der Stützstellen zum Grenzwert einer festen Zahl kleiner 1 ist.

Eine Anwendung dieser Vorgehensweise ist bspw. die [[Romberg-Integration]], zur Berechnung des numerischen Werts eines [[Integralrechnung|Integrals]].

Man kann Extrapolation auch zur Berechnung des [[Grenzwert (Funktion)|Grenzwertes]] von [[Folge (Mathematik)|Folgen]] und [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] verwenden. Im Falle von divergenten [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] nennt man entsprechende Extrapolationsverfahren auch '''Summationsverfahren'''. Die [[Trendextrapolation]] versucht, anhand vergangener Zeitreihen die zukünftige Entwicklung ([[Trend (Statistik)|Trend]]) vorauszusagen.

== Anwendungsbeispiele ==
Es wird unterstellt, dass ein Fahrzeug eine gerade Strecke von 1000 Metern in 1 Minute zurücklegt. Wenn angenommen wird, dass das Fahrzeug seine Geschwindigkeit nicht verändert, kann man [[Linearität (Physik)|linear]] ''[[Interpolation (Mathematik)|interpolieren]]'' und berechnen, an welchem Ort sich das Fahrzeug nach 0,5 Minuten befunden hat – nämlich 500 Meter vom Anfangsort entfernt. Angenommen, das Fahrzeug ändert seine Geschwindigkeit auch weiterhin nicht, kann man ''extrapolieren'', dass es nach 1,5 Minuten 1500 Meter vom Anfangsort entfernt sein wird. Da aber verschiedene Annahmen erforderlich sind, um das weitere Verhalten über den ursprünglichen Verlauf der Fahrt hinaus zu beschreiben, ist eine Extrapolation ggf. mit einer großen [[Unsicherheit]] behaftet. Wenn das Fahrzeug beispielsweise nach 1000 m anhält, stimmt das Ergebnis nicht mehr. Das gilt auch für die Trendextrapolation, bei der angenommen wird, dass die in der Vergangenheit wirksamen trendbildenden Faktoren auch in der Zukunft in gleicher Weise vorhanden sein werden.

Weitere Beispiele für Extrapolation sind u. a.:
* Rückschluss aus der bisherigen Zeit für die bereits bearbeiteten Elemente auf die Gesamtzeit für alle Elemente.
* Rückschluss aus dem bisherigen Wachstum eines Kindes auf die spätere Körpergröße.
* Rückschluss aus den an der Erdoberfläche [[Aufschluss (Geologie)|aufgeschlossenen]] [[Gestein]]en und [[Geologie|geologischen]] Strukturen auf die Lagerung derselben im Untergrund.
* Rückschluss aus den heutigen physikalischen/astronomischen Verhältnissen auf den [[Urknall]].
* Rückschluss aus den gewichteten vergangenen Werten auf zukünftige Werte ([[exponentielle Glättung]]).
* Rückschluss nach dem Gesetz von [[Jacques Alexandre César Charles|Charles]] (1787) und [[Joseph Louis Gay-Lussac|Gay-Lussac]] (1808) auf den [[Absoluter Nullpunkt|absoluten Nullpunkt]] von −273,15 °C (0 K) (siehe [[Thermische Zustandsgleichung Idealer Gase]]).
* Prognosen der [[Demografie|Bevölkerungsentwicklung]] über einen sehr langen Zeitraum (z. B. für das Jahr 2100) hinweg, die allein auf Annahmen und ungesicherten Zahlen, die aus der aktuellen Entwicklung gefolgert werden, basieren.
* Prognosen zur Entwicklung des [[Weltklima|Weltklimas]] bzw. der [[Globale Erwärmung|globalen Erwärmung.]]

== Gebrauch in der Literatur ==
Die ''Science Fiction and Fantasy Writers of America'' definiert Extrapolation in der [[Science-Fiction|Science Fiction]] als „Fortspinnen“ von wissenschaftlichem Faktenwissen, sodass eine Handlung um eine absehbare technische, soziale oder sonstige Entwicklung gebaut werden kann. Als moderne Beispiele nennt Science-Fiction-Autorin Joan Slonczewski die Werke von [[Michael Crichton]] (technische Extrapolation), von [[Ursula K. Le Guin]] (sozialwissenschaftliche Extrapolation) und sich selbst (ökologische Extrapolation; Slonczewski ist Biologin). Die Verwendung von harten Daten ist auch ein essentielles [[Kriterium]] zur Unterscheidung von Science Fiction und [[Fantasy]].<ref name=sf>{{Webarchiv | url=http://www.sfwa.org/writing/writer.htm | wayback=20090222191922 | text=Science in Science Fiction: Making it Work}}, Joan Slonczewski, Science Fiction and Fantasy Writers of America, Inc, sfwa.org.</ref>

== Siehe auch ==
{{Wiktionary|Extrapolation}}
* [[Trendanalyse]]
* [[Folgentransformation]]

== Literatur ==
* C. Brezinski und M. Redivo Zaglia: ''Extrapolation Methods. Theory and Practice.'' North-Holland, 1991.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4153421-9}}

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Regressionsanalyse]]
[[Kategorie:Stichprobentheorie]]
[[Kategorie:Wirtschafts- und Sozialstatistik]]

Extrapolation - Versionsgeschichte

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