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2020-02-29T14:52:23Z

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'''Extensivität''' bezeichnet in der Mathematik die Eigenschaft einer Abbildung, Mengen „zu vergrößern“. Entsprechend „verkleinern“ '''intensive''' (auch ''anti-extensive'') Abbildungen Mengen.

== Definition ==

Sei <math>(A,\leq)</math> eine [[Ordnungsrelation#Halbordnung|teilweise geordnete Menge]]. Eine Abbildung
: <math>f\colon\, A \to A</math>

heißt '''extensiv''', falls gilt:
: <math>a \leq f(a)</math> für alle <math>a \in A</math>.

Sie heißt '''intensiv''', falls gilt:
: <math>f(a) \leq a</math> für alle <math>a \in A</math>.

== Beispiele ==

# Auf <math>(A,\leq)</math> ist die Identität <math>\operatorname{id}_A\colon\, a \mapsto a</math> extensiv und intensiv, da <math>a \leq a</math> immer gilt.
# Definitionsgemäß sind [[Hüllenoperator]]en extensiv und [[Kernoperator]]en intensiv auf der [[Potenzmenge]] einer beliebigen Menge mit der [[Teilmenge|mengentheoretischen Inklusion]] als Halbordnung.

== Fixpunktsatz von Bourbaki-Kneser ==

Nach dem [[Fixpunktsatz]] von [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki]] und [[Hellmuth Kneser|Kneser]] besitzt jede extensive Abbildung <math>f\colon A \rightarrow A</math> bereits dann einen Fixpunkt, falls <math>A</math> [[Ordnungsrelation|streng induktiv geordnet]] ist. Daraus lässt sich unter Zuhilfenahme des [[Auswahlaxiom|Auswahlaxioms]] das [[Lemma von Zorn]] beweisen.

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Marcel Erné
|Titel=Einführung in die Ordnungstheorie
|Verlag=Bibliographisches Institut u. a.
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1982
|ISBN=3-411-01638-8}}
* {{Literatur
|Autor=Heinrich Werner
|Titel=Einführung in die allgemeine Algebra
|Reihe=BI-Hochschultaschenbücher
|BandReihe=120
|Verlag=Bibliographisches Institut
|Ort=Mannheim u. a.
|Datum=1978
|ISBN=3-411-00120-8}}
* [[Serge Lang]]: ''Algebra.'' 3. edition, reprinted, with corrections. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1993, ISBN 0-201-55540-9.

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Ordnungstheorie]]

Extensive Abbildung - Versionsgeschichte

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