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Das '''Extensionalitätsaxiom''' ist ein [[Axiom]] der [[Mengenlehre]], das 1888 von [[Richard Dedekind]] formuliert wurde und besagt, dass zwei Klassen oder Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben.<ref>[[Richard Dedekind]]: ''Was sind und was sollen die Zahlen?'' Vieweg, Braunschweig 1888, § 1.2, Zitat: „Das System ''S'' ist daher dasselbe wie das System ''T'', in Zeichen ''S''=''T'', wenn jedes Element von ''S'' auch Element von ''T'' und jedes Element von ''T'' auch Element von ''S'' ist.“ [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN23569441X online].</ref> Von Dedekind übernahm [[Ernst Zermelo]] das Extensionalitätsaxiom in die erste [[axiomatische Mengenlehre]], die [[Zermelo-Mengenlehre]] von 1907.<ref>[[Ernst Zermelo]]: ''[https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN235181684_0065 Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. (1907).]'' In: ''[[Mathematische Annalen]].'' Bd. 65, 1908, S. 261–281, dort Axiom II S. 263, das Axiom der ''Bestimmtheit'', von der Dedekind spricht. Zermelo erwähnt Dedekind einleitend als Vorbild.</ref> Von dort aus kam es in die erweiterte [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] ZF und alle späteren Versionen der axiomatischen Mengenlehre.
== Präzisierung ==
In der heute maßgeblichen prädikatenlogischen Form der [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] ZF, in der alle Objekte Mengen sind, lautet das ''Extensionalitätsaxiom'' formal:
: <math>\forall A,B\colon (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))</math>
In Mengenlehren mit [[Urelement]]en werden die Variablen auf Mengen eingeschränkt, etwa in [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre#ZF mit Urelementen|ZFU]]:
:<math>A\text{ ist Menge } \land B\text{ ist Menge } \Rightarrow (A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B))</math>
In Mengenlehren mit [[Klasse (Mengenlehre)|Klassen]] wird das Extensionalitätsaxiom allgemeiner mit freien Klassenvariablen gebraucht, etwa in der [[Ackermann-Mengenlehre]] oder in der [[Klassenlogik#Klassenlogik im engeren Sinn|Klassenlogik]]:
:<math>A=B \iff\forall C\colon (C\in A \iff C\in B)</math>

== Bedeutung ==
Das Extensionalitätsaxiom garantiert die Eindeutigkeit einer Klasse oder Menge <math>M</math>, deren Elemente durch eine Eigenschaft ihrer Elemente <math>A(x)</math> beschrieben wird, also durch eine Bedingung der Form
:<math>\forall x\colon (x \in M \iff A(x))</math>
Mit dem Extensionalitätsaxiom und dem üblichen [[Klasse (Mengenlehre)#Klassenterme|Abstraktionsprinzip]] folgt daraus dann die Gleichheit:
:<math>M\,=\,\{x\mid A(x)\}</math>
Diese Eindeutigkeit ergibt sich insbesondere für die im [[Leermengenaxiom]], [[Paarmengenaxiom]], [[Potenzmengenaxiom]], [[Vereinigungsaxiom]], [[Aussonderungsaxiom]], [[Ersetzungsaxiom]] geforderten Mengen und erlaubt dort die Einführung der üblichen Klassenschreibweisen.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste ZFC Axiome}}

{{SORTIERUNG:Extensionalitatsaxiom}}
[[Kategorie:Axiom der Mengenlehre]]

Extensionalitätsaxiom - Versionsgeschichte

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