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2025-05-08T06:48:12Z

Funktorialität: Linkfix

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'''Ext''' ist ein [[Bifunktor]], der in der [[Homologische Algebra|homologischen Algebra]] eine zentrale Rolle spielt.

== Definition ==

Sei <math>\mathcal{A}</math> eine [[abelsche Kategorie]], zum Beispiel die Kategorie der [[Modul (Mathematik)|Moduln]] eines [[Ring (Algebra)|Ringes]], die nach dem [[Einbettungssatz von Mitchell]] das Standardbeispiel ist. Zu zwei Objekten <math>X</math> und <math>Z</math> aus <math>\mathcal{A}</math> sei <math>\mathcal{E}</math> die Klasse der kurzen [[Exakte Sequenz|exakten Sequenzen]] der Form
:<math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0.</math>
Auf <math>\mathcal{E}</math> wird nun eine [[Äquivalenzrelation]] definiert. Zwei exakte Sequenzen <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> und <math>0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0</math> sind äquivalent, wenn es einen [[Morphismus]] <math>g \colon Y\to Y'</math> gibt, so dass das Diagramm
:<math>\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow g && \downarrow \operatorname{id}\\
0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}
</math>
kommutiert. Dabei ist <math>\operatorname{id}</math> der [[Identische Abbildung|identische]] Morphismus.

Aus dem [[Fünferlemma]] folgt sofort, dass wenn es solch einen Morphismus <math>g</math> gibt, dieser ein [[Isomorphismus]] sein muss. Die Klasse <math>\mathcal{E}</math> modulo dieser Äquivalenzrelation ist eine Menge und wird mit <math>\mathrm{Ext}(Z,X)</math> bezeichnet. Auf dieser Menge lässt sich eine Gruppenstruktur definieren.<ref>Sergei I. Gelfand & Yuri Ivanovich Manin: ''Homological Algebra'', Springer, Berlin, 1999, ISBN 978-3-540-65378-3</ref><ref>Charles A. Weibel: ''An introduction to homological algebra'', Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, 1999, ISBN 978-0-521-55987-4</ref>

== Funktorialität ==

Morphismen in der abelschen Kategorie induzieren auf folgende Weise Morphismen zwischen den Ext-Gruppen, so dass <math>\mathrm{Ext}</math> zu einem zweistelligen Funktor wird.

Zu <math>g \colon X\to X'</math> und der Sequenz <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> kann man den [[Pushout|Push-out]] bilden:
:<math>\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow g && \downarrow && \\
0 & \to & X' & \to & Y'
\end{matrix}
</math>

Wegen der [[Universelle Eigenschaft|universellen Eigenschaft]] des Push-outs gibt es einen induzierten Epimorphismus von Y' nach Z, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
:<math>\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0\\
& & \downarrow g && \downarrow && \downarrow \operatorname{id} \\
0 & \to & X' & \to & Y' & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}
</math>

Dabei ist die untere Zeile ebenfalls exakt und ihre Äquivalenzklasse somit ein Element in <math>\mathrm{Ext}(Z,X')</math>.

Bildet man die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> auf die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X'\rightarrow Y'\rightarrow Z\rightarrow 0</math> ab, so erhält man einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus <math>\mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z,X')</math>.

Dual funktioniert das auch mit Morphismen von Z' nach Z. Zu <math>g \colon Z'\to Z</math> und der Sequenz <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> kann man folgenden [[Faserprodukt|Pull-back]] bilden:
:<math>\begin{matrix}
& & & & Y' & \to & Z' & \to & 0\\
& & && \downarrow && \downarrow g\\
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}.
</math>

Wegen der universellen Eigenschaft des Pull-backs gibt es einen induzierten Monomorphismus von X nach Y', so dass das folgende Diagramm kommutiert:
:<math>\begin{matrix}
0 & \to & X & \to & Y' & \to & Z' & \to & 0\\
& & \downarrow \operatorname{id} && \downarrow && \downarrow g \\
0 & \to & X & \to & Y & \to & Z & \to & 0
\end{matrix}
</math>

Dabei ist die obere Zeile ebenfalls exakt und definiert somit ein Element in <math>\mathrm{Ext}(Z',X)</math>.

Bildet man die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math> auf die Äquivalenzklasse von <math>0\rightarrow X\rightarrow Y'\rightarrow Z'\rightarrow 0</math> ab, so erhält man wieder einen wohldefinierten Gruppenhomomorphismus <math>\mathrm{Ext}(Z,X)\rightarrow \mathrm{Ext}(Z',X)</math>.

== Ext als Ableitung des Hom-Funktors ==

Eine andere Möglichkeit der Definition verwendet die [[Abgeleiteter Funktor|abgeleiteten Funktoren]] von [[Hom-Funktor|Hom]]. Die oben definierte Konstruktion kann mit der ersten Rechtsableitung des Hom-Funktors identifiziert werden.

Genauer betrachtet man eine abelsche Kategorie mit ausreichend vielen projektiven Objekten (d. h. jedes Objekt ist Quotient eines projektiven Objektes) den kontravarianten Funktor <math>\mathrm{Hom}(-,X)</math> und definiert
:<math>\mathrm{Ext}^n(Z,X) := R_n\mathrm{Hom}(-,X)(Z)</math>,
das heißt man bildet die <math>n</math>-te Rechtsableitung von <math>\mathrm{Hom}(-,X)</math> und wendet den so entstandenen Funktor auf <math>Z</math> an.

Etwas konkreter bedeutet das folgendes: Es sei <math>n\ge 1</math> und
:<math>\begin{array}{ccccc}
\ldots \rightarrow & P_n & \rightarrow & P_{n-1} & \rightarrow \ldots \rightarrow Z \rightarrow 0 \\
& \lambda_n \downarrow & \nearrow \kappa_n \\
& K_n
\end{array}</math>
eine [[projektive Auflösung]] von <math>Z</math> mit einem [[Epimorphismus]] <math>\lambda_n:P_n\rightarrow K_n</math> und einem [[Monomorphismus]] <math>\kappa_n:K_n \rightarrow P_{n-1}</math>, so dass <math>(P_n \rightarrow P_{n-1}) = \kappa_n\circ \lambda_n</math>.
Weiter sei <math>\kappa_n^* = \mathrm{Hom}(\kappa_n,X)</math> der induzierte Homomorphismus
:<math>\kappa_n^*: \mathrm{Hom}(P_{n-1},X)\rightarrow \mathrm{Hom}(K_n,X),\, f\mapsto f\circ \kappa_n</math>.
Dann ist
:<math>\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong \mathrm{coker}(\kappa_n^*) = \mathrm{Hom}(K_n,X)/\kappa_n^*( \mathrm{Hom}(P_{n-1},X))</math>.

Die Elemente aus <math>\mathrm{Ext}^n(Z,X)</math> sind also gewisse Äquivalenzklassen von Elementen aus <math>\mathrm{Hom}(K_n,X)</math>.<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra'', American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.13</ref>

Schließlich sei darauf hingewiesen, dass man die Rollen von <math>X</math> und <math>Z</math> auch vertauschen kann, man erhält
:<math>\mathrm{Ext}^n(Z,X) \cong R_n\mathrm{Hom}(Z,-)(X)</math>.

== Zusammenhang zwischen Ext und Ext<sup>1</sup> ==
In diesem Abschnitt soll erläutert werden, wie die oben definierten Konstrukte <math>\mathrm{Ext}</math> und <math>\mathrm{Ext}^1</math> zusammenhängen. Wir konstruieren eine Abbildung <math>\mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X)</math>.

Sei <math>0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz, die ein Element aus <math>\mathrm{Ext}(Z,X)</math> definiert. Weiter sei <math>0 \rightarrow K \rightarrow P \rightarrow Z \rightarrow 0</math> eine kurze exakte Sequenz mit projektivem <math>P</math>. Mittels der [[Projektivität]] von <math>P</math> kann man ein kommutatives Diagramm
:<math>\begin{array}{ccccccc}
0 \rightarrow & K & \rightarrow & P & \rightarrow & Z & \rightarrow 0 \\
& \downarrow \psi & & \downarrow \varphi & & \Vert \\
0 \rightarrow & X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z & \rightarrow 0
\end{array}</math>
konstruieren.
Dann ist <math>\psi \in \mathrm{Hom}(K,X)</math> ein Homomorphismus, dessen Äquivalenzklasse nach obiger Darstellung von <math>\mathrm{Ext}^n(Z,X)</math> ein Element aus <math>\mathrm{Ext}^1(Z,X)</math> definiert.

Bildet man die Äquivalenzklasse von <math>0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0</math> in <math>\mathrm{Ext}(Z,X)</math> auf die Äquivalenzklasse von <math>\psi</math> in <math>\mathrm{Ext}^1(Z,X)</math> ab, so erhält man eine wohldefinierte Abbildung <math>\mathrm{Ext}(Z,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,X)</math>, von der man zeigen kann, dass es sich um einen [[Gruppenisomorphismus]] handelt.<ref>Peter Hilton: ''Lectures in Homological Algebra'', American Mathematical Society (2005), ISBN 0-8218-3872-5, Theorem 4.5</ref>

Daher kann man <math>\mathrm{Ext}</math> mit <math>\mathrm{Ext}^1</math> identifizieren, das heißt <math>\mathrm{Ext}</math> kann in diesem Sinne als erste Rechtsableitung des <math>\mathrm{Hom}</math>-Funktors definiert werden.

== Lange exakte Sequenz ==
Der Hom-Funktor ist [[linksexakt]], das heißt für eine kurze exakte Sequenz
:<math>0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0</math>
und ein weiteres Objekt (Modul) <math>A</math> hat man eine exakte Sequenz
:<math> 0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z)</math>,
und diese lässt sich im Allgemeinen nicht exakt mit 0 fortsetzen.
Wegen der Linksexaktheit stimmt die 0-te Ableitung des Hom-Funktors mit Hom überein, das heißt, wenn man obige Definition von <math>\mathrm{Ext}^n</math> auf <math>n=0</math> ausdehnt, so hat man <math>\mathrm{Ext}^0 = \mathrm{Hom}</math>.
Die lange exakte Sequenz für abgeleitete [[Additiver Funktor|additive Funktoren]] liefert daher die folgende exakte Sequenz
:<math> 0\rightarrow \mathrm{Hom}(A,X) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Y) \rightarrow \mathrm{Hom}(A,Z) </math>
::<math>\rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,X) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Y) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(A,Z) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(A,X) \rightarrow \ldots</math>.
Analog erhält man eine lange exakte Sequenz
:<math> 0\rightarrow \mathrm{Hom}(Z,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(Y,A) \rightarrow \mathrm{Hom}(X,A) </math>
::<math>\rightarrow \mathrm{Ext}^1(Z,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(Y,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^1(X,A) \rightarrow \mathrm{Ext}^2(Z,A) \rightarrow \ldots</math>.
In diesem Sinne schließen die Ext-Funktoren die durch die fehlende Exaktheit des Hom-Funktors entstandene Lücke.<ref>[[Saunders Mac Lane]]: ''Homology'', Springer [[Grundlehren der mathematischen Wissenschaften]] Band 114 (1967), Kap. III, Theorem 3.4 und Theorem 9.1</ref>

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Kategorientheorie}}

[[Kategorie:Kategorientheorie]]
[[Kategorie:Homologische Algebra]]

Ext (Mathematik) - Versionsgeschichte

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