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2026-04-04T12:46:57Z

Anwendungsbeispiel: etwas mehr nach Lehrbuchbeispielen formuliert

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[[Datei:ExpDichteF.svg|mini|340px|Dichte der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für λ]]

Die '''Exponentialverteilung''' (auch '''negative Exponentialverteilung''') ist eine stetige [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]] über der Menge der nicht-negativen [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]], die durch eine [[Exponentialfunktion]] gegeben ist. Sie wird als Modell vorrangig bei der Beantwortung der Frage nach der Länge von zufälligen [[Zeitintervall]]en benutzt, wie z. B.

* Zeit zwischen zwei Anrufen
* Lebensdauer von Atomen beim [[Radioaktivität|radioaktiven Zerfall]]
* Lebensdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen.
* als grobes Modell für kleine und mittlere Schäden in Hausrat, Kraftfahrzeug-Haftpflicht, Kasko in der [[Versicherungsmathematik]]

<math>\lambda</math> steht für die Zahl der erwarteten Ereignisse pro Einheitsintervall. Wie aus dem Diagramm ersichtlich, sind kürzere Intervalle zwischen Ereignissen (Intervalllänge <math>x</math>) wahrscheinlicher. Seltener treten aber auch sehr lange Intervalle auf. Die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] kann durchaus Werte >1 annehmen (z. B. für <math>\lambda = 2</math>), da die [[Fläche unter der Kurve]] auf 1 normiert ist (Normierungseigenschaft). Konkrete Wahrscheinlichkeitsangaben über das Eintreten des nächsten Ereignisses gewinnt man hier am ehesten aus der [[#Verteilungsfunktion|Verteilungsfunktion]].

Oft ist die tatsächliche Verteilung keine Exponentialverteilung, jedoch ist die Exponentialverteilung einfach zu handhaben und wird zur Vereinfachung unterstellt. Sie ist anwendbar, wenn ein [[Poisson-Prozess]] vorliegt, also die [[Poisson-Verteilung#„Seltene“ Ereignisse|poissonschen Annahmen]] erfüllt sind.

Die Exponentialverteilung ist ein Teil der viel größeren und allgemeineren [[Exponentialfamilie]], einer Klasse von Wahrscheinlichkeitsmaßen, die sich durch eine leichte Handhabbarkeit auszeichnen.

== Definition ==
Eine stetige [[Zufallsvariable]] <math>X</math> genügt der Exponentialverteilung <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> mit dem positiven reellen inversen [[Skalenparameter]] <math>\lambda\in\R_{>0}</math>, wenn sie die [[Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion|Dichtefunktion]]
:<math>f_{\lambda}(x)= \begin{cases}\displaystyle
\lambda{\rm e}^{-\lambda x} & x\geq 0, \\
0 & x < 0
\end{cases}</math>
besitzt. Wenn eine Zufallsvariable diese Dichte hat, dann schreibt man auch <math>X \sim\mathcal{E}(\lambda)</math> oder <math>X \sim\operatorname{Exp}(\lambda)</math>.

Der Parameter <math>\lambda</math> besitzt den Charakter einer Ereignisrate und <math>1/\lambda</math> den eines Ereignisabstandes (mittlere Reichweite oder mittlere Lebensdauer).

Eine (vor allem im angelsächsischen Raum übliche) alternative Parametrisierung führt zur Dichtefunktion
:<math> f_{\mu} (x)= \begin{cases}\displaystyle
\tfrac{1}{\mu} \mathrm{e}^{-\frac{x}{\mu}} & x\geq 0, \\
0 & x < 0.
\end{cases}</math>

Die Beziehung zur obigen Parametrisierung ist dabei einfach <math>\mu=1/\lambda</math>. Um Missverständnissen vorzubeugen, wird empfohlen, den [[Erwartungswert]] explizit anzugeben, also von einer ''Exponentialverteilung mit Erwartungswert'' <math>1/\lambda</math> zu sprechen.

== Eigenschaften ==

=== Verteilungsfunktion ===
[[Datei:ExpVerteilungF.svg|mini|260px|Verteilungsfunktion der Exponentialverteilung mit verschiedenen Werten für <math>\lambda</math>.]]
Die (kumulative) [[Verteilungsfunktion]] der Exponentialverteilung ist
:<math>
F(x)= \int\limits_{0}^x f_\lambda\left(t\right)\ {\rm d}t =
\begin{cases}
1-\mathrm{e}^{-\lambda x}&, x > 0, \\
0 &, x \leq 0.
\end{cases}</math>

Sie erlaubt die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Auftretens des nächsten Ereignisses im Intervall von <math>0</math> bis <math>x</math>.

Die Wahrscheinlichkeit für eine Intervalllänge größer als <math>x</math> bis zum nächsten Ereignis beträgt <math>\mathrm{e}^{-\lambda x}</math>.

=== Erwartungswert ===
Die Exponentialverteilung besitzt den [[Erwartungswert]] <math>\tfrac{1}{\lambda}</math>, denn
:<math> \operatorname{E}(X) = \int\limits_0^\infty x \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\, \mathrm{d}x = \frac{1}{\lambda}</math>.

Der Erwartungswert entspricht der mittleren Betriebsdauer von Bauteilen, Maschinen und Geräten, wenn Alterungserscheinungen nicht betrachtet werden müssen. Er wird in diesem Zusammenhang als [[Mean Time Between Failures]] (MTBF) bezeichnet.

=== Median ===
Die Exponentialverteilung besitzt ihren [[Median (Stochastik)|Median]] bei
:<math>\tilde{x} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda}</math>.

=== Modus ===
Den maximalen Wert nimmt die Dichtefunktion der Exponentialverteilung bei
<math>x = 0</math> an, d. h., der [[Modus (Stochastik)|Modus]] ist
:<math>x_D = 0</math>.

=== Varianz ===
Die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] ergibt sich analog mittels
:<math>\operatorname{Var}(X) = \int\limits_0^\infty \left( x-\frac{1}{\lambda}\right)^2 \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x
= \lambda\int\limits_0^\infty x^2 \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x -2 \int\limits_0^\infty x \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x
+ \frac{1}{\lambda}\int\limits_0^\infty \mathrm{e}^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x
= \frac{1}{\lambda^2}</math>.

=== Standardabweichung ===
Für die [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] ergibt sich
:<math>\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{\frac{1}{\lambda^2}} = \frac{1}{\lambda}</math>.

=== Variationskoeffizient ===
Aus [[Erwartungswert]] und [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] erhält man unmittelbar den [[Variationskoeffizient]]en. Es gilt
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \frac{\sqrt{\sigma^2(X)}}{\operatorname{E}(X)}=\frac{\sqrt{\operatorname{Var}(X)}}{\operatorname{E}(X)}</math>.
Also gilt
:<math>\operatorname{VarK}(X) = 1</math>.

=== Geometrischer Mittelwert ===
Das [[Geometrisches Mittel|Geometrische Mittel]] der Exponentialverteilung ist
:<math> \operatorname{GM}(X) = \exp\left( \int\limits_0^\infty \ln(x) \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}\, \mathrm{d}x \right) = \exp\left( \ln\left( \frac{1}{\lambda} \right) - \gamma \right) = \frac{1}{\lambda \mathrm{e}^{\gamma}}</math>,
wobei <math>\gamma</math> die [[Euler-Mascheroni-Konstante]] bezeichnet.

=== Weitere Streumaße ===
Die [[mittlere absolute Abweichung]]
:<math> e = \frac{2/\mathrm{e}}{\lambda} \approx \frac{0{,}736}{\lambda}</math>
ist kleiner als die Standardabweichung, die [[Mittlere absolute Abweichung vom Median|mittlere absolute Abweichung bezüglich des Medians]]
:<math> \mathit{MD} = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0{,}693}{\lambda}</math>
ist noch etwas kleiner.

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] besitzt unabhängig vom Parameter <math>\lambda</math> immer den Wert 2. Die Verteilung ist ein typischer Vertreter einer [[Schiefe (Statistik)#Lage von Mittelwert und Median|rechtsschiefen Verteilung]], für die auch <math>\tilde{x} < E(X)</math> gilt.

=== Wölbung ===
Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] besitzt unabhängig vom Parameter <math>\lambda</math> immer den Wert 9. Somit hat der Exzess den Wert 6.

=== Quantile ===
Die Quantilfunktion der Exponentialverteilung lässt sich angeben und ist
:<math>F^{-1}_\lambda(p)=\frac{-\ln(1-p)}{\lambda} </math>.

Damit ist der [[Quantil (Wahrscheinlichkeitstheorie)#Quartil|Interquartilabstand]] <math> \frac{\ln 3}{\lambda} \approx \frac{1{,}10}{\lambda}</math>.

=== Höhere Momente ===
Die k-ten [[Moment (Stochastik)|Momente]] sind
:<math> \operatorname{E}(X^k)=\frac{k!}{\lambda^k} </math>.

Dies lässt sich zum Beispiel mit der k-ten Ableitung der momenterzeugenden Funktion zeigen.

=== Kumulanten ===
Die [[kumulantenerzeugende Funktion]] ist
:<math> g_X(t)=\ln \left( \frac{\lambda}{\lambda-t} \right) </math> für <math>t < \lambda</math>.
Damit ist die k-te [[Kumulante]]
<math> \kappa_k=\frac{(k-1)!}{\lambda^k} </math>

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\varphi_{X}(t) = \frac{\lambda}{\lambda-\operatorname{i}t}</math>.

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der Exponentialverteilung ist
:<math>m_{X}(t) = \frac{\lambda}{\lambda-t}</math> für <math>t < \lambda</math>.

=== Entropie ===
Die [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]] der Exponentialverteilung beträgt
:<math>H(X) = 1 - \ln(\lambda)</math>.

=== Überlebenswahrscheinlichkeit ===
Da die Exponentialverteilung auch als Lebensdauerverteilung und im technischen Bereichen als Ausdruck für die Zuverlässigkeit eines Gerätes verwendet wird, ist es möglich, damit zusammenhängende Größen wie [[Überlebensfunktion]] und die [[Ausfallrate]] mit Hilfe der Verteilungsfunktion anzugeben. So nennt man das Komplement der Verteilungsfunktion die Überlebensfunktion:

:<math>P(X\operatorname>x) = 1-F(x) = \mathrm{e}^{-\lambda x}</math>

Damit ergibt sich unmittelbar die auf einen Zeitpunkt <math>x_{0}</math> bezogene bedingte Überlebenswahrscheinlichkeit

:<math>P(X>x_{0}+x | X>x_{0}) = \frac{\mathrm{e}^{-\lambda (x_{0}+x)}}{\mathrm{e}^{-\lambda x_{0}}} = \mathrm{e}^{-\lambda x}</math>

Die Exponentialverteilung ist eine gedächtnislose Lebensdauerverteilung, d. h. die Überlebenswahrscheinlichkeit in Bezug auf einen bestimmten Zeitpunkt ist unabhängig vom bisher erreichten Alter. Im Gegensatz zur [[Weibull-Verteilung]] kann die Exponentialverteilung nur für sogenannte ermüdungsfreie Systeme verwendet werden

Die [[Ausfallrate]] <math>h(x)</math> ergibt sich zu

:<math>h(x) = \frac{f(x)}{1-F(x)} = \frac{\lambda \mathrm{e}^{-\lambda x}}{\mathrm{e}^{-\lambda x}} = \lambda</math>

Sie ist für die Exponentialverteilung zeitlich und räumlich konstant und wird in der Literatur üblicherweise mit der Konstanten λ bezeichnet.

=== Gedächtnislosigkeit ===
Die Exponentialverteilung ist im folgenden Sinne [[Gedächtnislosigkeit|gedächtnislos]]: Ist bekannt, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable <math>X</math> den Wert <math>x</math> überschreitet, so ist die [[bedingte Wahrscheinlichkeit]], dass sie <math>x</math> um mindestens <math>t</math> überschreitet, genau so groß wie die, dass eine exponentialverteilte Zufallsvariable (mit gleichem Parameter <math>\lambda</math>) den Wert <math>t</math> überschreitet, formal

:<math>P\left(X \ge x+t \, \mid\, X \ge x\right) = P\left(X\ge t\right)</math>.

Die Gedächtnislosigkeit ist sogar eine definierende Eigenschaft der Exponentialverteilung; diese ist die einzig mögliche stetige Verteilung mit dieser Eigenschaft. Dies folgt direkt mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und der daraus entstehenden [[Funktionalgleichung]].
Das diskrete Pendant hierzu ist die [[geometrische Verteilung]] als einzig mögliche diskrete gedächtnislose Verteilung.

Die Exponentialverteilung ist folglich auch die einzige stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die eine konstante [[Ausfallrate]] aufweist.

=== Weitere Eigenschaften ===
Sind <math>X_1\sim\mathrm{Exp}(\lambda_1) , \, \ldots \, , X_n\sim\mathrm{Exp}(\lambda_n)</math> stochastisch unabhängig, so
ist <math>\min(X_1,\ldots,X_n)\sim\operatorname{Exp}(\lambda_1+\dotsb+\lambda_n)</math>

Sind <math>X_1\sim\mathrm{Exp}(\lambda) , \, \ldots \, , X_n\sim\mathrm{Exp}(\lambda)</math> stochastisch unabhängig, so die Summe
ist <math>X_1+\ldots+X_n \sim\operatorname{Erl}(n,\lambda)
</math> Erlang-verteilt.

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur stetigen Gleichverteilung ===
Wenn <math>X</math> eine auf dem Intervall <math>[0, 1]</math> [[Stetige Gleichverteilung|gleichverteilte]] stetige Zufallsvariable ist, dann genügt <math>Y=-\tfrac{1}{\lambda}\ln(X)</math> der
Exponentialverteilung mit dem Parameter <math>\lambda</math>.

=== Beziehung zur Normalverteilung ===
Sind die Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> [[Normalverteilung|standardnormalverteilt]] und [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|unabhängig]], so ist <math> X^2+Y^2</math> exponentialverteilt mit Parameter <math>\lambda=\tfrac12</math>.

=== Beziehung zur geometrischen Verteilung ===
In Analogie zur diskreten [[Geometrische Verteilung|geometrischen Verteilung]] bestimmt die stetige Exponentialverteilung die Wartezeit bis zum ersten Eintreffen eines Ereignisses, das gemäß einem Poisson-Prozess auftritt; die geometrische Verteilung kann also als diskretes Äquivalent zur Exponentialverteilung betrachtet werden.

* Wenn <math>X\sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math>, dann ist <math>\lfloor X\rfloor \sim \operatorname{Geo}(1-e^{-\lambda})</math>, eine geometrische Verteilung auf <math>0,1,2,3,...</math>.
* Wenn <math>X\sim \operatorname{Exp}(\lambda)</math>, dann ist <math>\lceil X\rceil \sim \operatorname{Geo}(1-e^{-\lambda})</math>, eine geometrische Verteilung auf <math>1,2,3,4,...</math>.

=== Beziehung zur Gammaverteilung ===
* Die Verallgemeinerung der Exponentialverteilung, d. h. die Wartezeit bis zum Eintreffen des <math>n</math>-ten Ereignisses eines Poisson-Prozesses, wird mit der [[Gammaverteilung]] beschrieben. Die Exponentialverteilung mit Parameter <math>\lambda</math> ist also identisch mit der Gammaverteilung mit Parametern <math>1</math> und <math>\lambda</math>. Die Exponentialverteilung besitzt demnach auch alle Eigenschaften der Gammaverteilung. Insbesondere ist die Summe von <math>n</math> unabhängigen, <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math>-verteilten Zufallsvariablen gamma- oder [[Erlang-Verteilung|Erlang-verteilt]] mit Parametern <math>n</math> und <math>\lambda</math>.

* Die Faltung von zwei Exponentialverteilungen mit demselben <math>\lambda</math> ergibt eine [[Gammaverteilung]] mit <math>p=2</math>, <math>b=\lambda</math>.

=== Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung ===
Ist der Parameter <math>\lambda</math> der Exponentialverteilung <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> eine Zufallsvariable, die wie eine [[Gammaverteilung]] <math>G(a,b)</math> verteilt ist, dann ist die hervorgehende Zufallsvariable wie eine [[Gamma-Gamma-Verteilung]] <math>G(a,b,1)</math> verteilt.

=== Beziehung zur Pareto-Verteilung ===
Wenn <math>X</math> [[Pareto-Verteilung|Pareto-verteilt]] <math>\operatorname{Par}(\lambda,1)</math> mit Parametern <math>\lambda</math> und <math>1</math> ist, dann ist <math>\log{X}</math> exponentialverteilt <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> mit dem Parameter <math>\lambda</math>.

=== Beziehung zur Poisson-Verteilung ===
Die Abstände zwischen dem Eintreten zufälliger Ereignisse können häufig mit der Exponentialverteilung beschrieben werden. Insbesondere gilt, dass der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen eines Poisson-Prozesses mit Rate <math>\lambda</math> exponentialverteilt mit dem Parameter <math>\lambda</math> ist. In diesem Fall ist die Anzahl der Ereignisse in einem Intervall der Länge <math>\Delta w</math> Poisson-verteilt mit Parameter <math>\lambda \cdot \Delta w</math>.

Herleitung: Sei w eine Orts- oder Zeitvariable und <math>\lambda</math> die kleine konstante Eintretenshäufigkeit von Ereignissen im Einheitsintervall von w. Dann findet man mit den [[Poisson-Verteilung|poissonschen Annahmen]] die Wahrscheinlichkeit für das nächste Eintreten eines Ereignisses im kleinen Intervall <math>[w,w+\Delta w]</math> als Produkt der Wahrscheinlichkeit, kein Ereignis bis w und eins im Intervall <math>[w,w+\Delta w]</math> zu haben:

:<math>P_1(w+\Delta w) = \mathrm{e}^{-\lambda \cdot w}\cdot \lambda \Delta w</math>

Daraus ergibt sich nach Division durch <math>\Delta w</math> die Wahrscheinlichkeitsdichte <math> f_{\lambda} (w)= \lambda \mathrm{e}^{-\lambda \cdot w}</math> der Exponentialverteilung mit <math>\lambda</math> als Ereignisrate und <math>1/\lambda</math> als mittlerem Ereignisabstand.

=== Beziehung zur Erlang-Verteilung ===
* Für einen Poisson-Prozess wird die zufällige Anzahl der Ereignisse bis zu einem definierten Zeitpunkt mittels [[Poisson-Verteilung]] bestimmt, die zufällige Zeit bis zum <math>n</math>-ten Ereignis ist [[Erlang-Verteilung|Erlang-verteilt]]. Im Fall <math>n=1</math> geht diese Erlang-Verteilung in eine Exponentialverteilung über <math>\operatorname{Erl}(\lambda,1)=\operatorname{Exp}(\lambda)</math>, mit der die Zeit bis zum ersten zufälligen Ereignis sowie die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Ereignissen bestimmt werden kann.

* Die Summe von <math>n</math> unabhängigen <math>\operatorname{Exp}(\lambda)</math> exponentialverteilten Zufallsgrößen hat die [[Erlang-Verteilung]] <math>n</math>-ter Ordnung <math>\operatorname{Erl}(\lambda,n)</math>.

=== Beziehung zur Weibull-Verteilung ===
* Mit <math>\beta=1</math> geht die [[Weibull-Verteilung]] in die Exponentialverteilung über. Mit anderen Worten: Die Exponentialverteilung behandelt Probleme mit konstanter [[Ausfallrate]] <math>\lambda</math>. Untersucht man jedoch Fragestellungen mit steigender (<math>\lambda>1</math>) oder fallender (<math>\lambda<1</math>) Ausfallrate, dann geht man von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung über.
* Wenn <math>X</math> exponentialverteilt ist, dann ist <math>X^\lambda</math> Weibull-verteilt.

=== Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung ===
Die [[Chi-Quadrat-Verteilung]] geht für <math>n=2</math> in die Exponentialverteilung mit dem Parameter <math>\lambda=\tfrac{1}{2}</math> über.

=== Beziehung zur Rayleigh-Verteilung ===
Wenn <math>X</math> exponentialverteilt ist mit Rate <math>\lambda</math>, dann ist <math>\sqrt{X}</math> [[Rayleigh-Verteilung|Rayleigh-verteilt]] mit Skalenparameter <math>\frac{1}{\sqrt{2 \lambda}}</math>.

=== Beziehung zur Laplace-Verteilung ===
Sind <math> X_\lambda, Y_\lambda </math> zwei unabhängige Zufallsvariablen, die beide Exponentialverteilt zum Parameter <math> \lambda </math> sind, dann ist sowohl <math>X_\lambda- Y_\lambda </math> als auch <math>Y_\lambda- X_\lambda </math> [[Laplace-Verteilung|Laplace-verteilt]].

=== Beziehung zur Standard-Gumbel-Minimum-Verteilung ===
Die Dichte des [[Logarithmus]] einer standard-exponentialverteilten Zufallsvariablen <math>X \sim \operatorname{Exp}(\lambda = 1)</math> folgt einer Standard-[[Gumbel-Verteilung#Standard-Fall|Gumbel-Verteilung]] (Minimum)

:<math>f(z) = \operatorname{exp}\left( z\right)\operatorname{exp}\left( -\operatorname{exp}\left( z\right)\right)</math> .

== Anwendungsbeispiel ==
Die Exponentialverteilung ist eine typische Lebensdauerverteilung. So ist beispielsweise die Lebensdauer von elektronischen Bauelementen häufig annähernd exponentialverteilt. Hierbei spielt besonders die Gedächtnislosigkeit eine bedeutende Rolle: die Wahrscheinlichkeit, dass ein x Tage altes Bauelement noch mindestens t Tage hält, ist demnach genauso groß wie die, dass ein neues Bauelement überhaupt t Tage hält. Charakteristisch bei der Exponentialverteilung ist die konstante Ausfallrate <math>\lambda</math>.

Dies ist zum Beispiel bei Glühlampen nur annähernd richtig, da diese nur beim Einschalten stark beansprucht werden. Auf Lebewesen darf ebenfalls keine Exponentialverteilung angewendet werden, sonst wäre zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, dass ein Achtzigjähriger noch weitere fünfzig Jahre lebt, genauso hoch wie die, dass ein Neugeborener das fünfzigste Lebensjahr erreicht.

'''Beispiel:''' In einer Elektronikfirma werden Funkwecker produziert. Im Rahmen der Qualitätssicherung wird anhand von Reklamationen die Funktionsdauer der Wecker untersucht. Es stellt sich heraus, dass durchschnittlich pro Tag 5 ‰ der Wecker unabhängig von ihrem Alter ausfallen, das heißt die mittlere oder durchschnittliche Lebensdauer eines Weckers beträgt <math>\tfrac{1}{\lambda} = \tfrac{1*Tage}{o,oo5} = 200</math> Tage.

Die Zufallsgröße <math>X=</math> „Zeitdauer der Funktionsfähigkeit eines Funkweckers in Tagen“ ist also exponentialverteilt mit der Ausfallrate <math>\lambda=0{,}005 \tfrac{1}{Tage}</math>.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Wecker höchstens (noch) 20 Tage hält, ist

:<math>1-\mathrm{e}^{-0{,}005 \cdot 20} = 0{,}0952</math>

d. h. nach 20 Tagen sind durchschnittlich ca. 10 % der Wecker ausgefallen.

Entsprechend ist der Anteil der Wecker, die mindestens 180 Tage aushalten,

:<math>1-\left(1-\mathrm{e}^{-0{,}005 \cdot 180}\right) = 1-0{,}5934 = 0{,}4066</math>

also halten durchschnittlich ca. 40 % der Wecker länger als 180 Tage.

Obwohl bei einer exponentialverteilten Lebensdauerverteilung am Anfang absolut betrachtet mehr Geräte ausfallen, ist die Ausfallrate konstant: in jedem Zeitintervall fallen relativ betrachtet immer gleich viele Geräte aus. Dieser Umstand darf nicht mit den Frühausfällen der [[Badewannenkurve]] verwechselt werden. Hier ist zu Beginn die Ausfallrate <math>\lambda</math> höher und nicht konstant über die Lebensdauer. Zur Beschreibung der Badewannenkurve ist eine andere Lebensdauerverteilung ([[Weibull-Verteilung]]) notwendig.

== Zufallszahlen ==
Zur Erzeugung exponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die [[Inversionsmethode]] an.

Die nach dem [[Simulationslemma]] zu bildende Inverse der Verteilungsfunktion <math>F(x)=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}</math> lautet hierbei <math>F^{-1}(y) = - \tfrac{1}{\lambda} \ln ( 1 - y )</math>. Zu einer Folge von [[Standardzufallszahl]]en <math>u_i</math> lässt sich daher eine Folge <math>x_i := - \tfrac{1}{\lambda} \ln ( 1 - u_i )</math> exponentialverteilter [[Zufallszahl]]en berechnen. Einfacher kann stattdessen auch <math>x_i := - \tfrac{1}{\lambda} \ln ( u_i )</math> gerechnet werden.

== Siehe auch ==
* [[Mortalität]] (Übergang von der Exponentialverteilung zur Weibull-Verteilung)
* [[Liste univariater Wahrscheinlichkeitsverteilungen]]
* [[Laplace-Verteilung|Doppelexponentialverteilung]]

== Weblinks ==
* [https://www.exponentialverteilung.de www.exponentialverteilung.de] – Erklärung, Aufgaben, Veranschaulichung

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4016019-1}}

[[Kategorie:Absolutstetige Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]

Exponentialverteilung - Versionsgeschichte

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