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2025-01-12T11:05:15Z

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Unter dem '''Exponentialansatz''' versteht man in der [[Mathematik]] einen [[Ansatz (Mathematik)|Ansatz]] zur Lösung einer [[lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen Differentialgleichung]] mit konstanten Koeffizienten, deren Inhomogenität von exponentieller Struktur ist. Die Idee ist, dass dann auch eine partikuläre Lösung von ähnlicher Gestalt wie die Inhomogenität existiert. Durch einen solchen Lösungsansatz wird die Differentialgleichung auf ein [[lineares Gleichungssystem]] zurückgeführt. Die Idee für diesen Ansatz geht auf [[Leonhard Euler]] zurück.

== Formulierung ==

Gegeben sei eine lineare Differentialgleichung
:<math>y^{(n)}(x) + \sum_{k=0}^{n-1}c_ky^{(k)}(x) = b(x)</math>
mit konstanten Koeffizienten <math>c_0, \ldots, c_{n-1} \in \mathbb{C}</math>, worin die Inhomogenität die Struktur
:<math>b(x) = e^{(\alpha + i\beta)x}\sum_{k=0}^la_kx^k\ ,\ \alpha, \beta \in \mathbb{R}\ ,\ a_0, \ldots, a_l \in \mathbb{C}</math>
besitzt. Weiter bezeichne <math>j \in \mathbb{N}_0</math> die Nullstellenordnung von <math>\alpha + i\beta</math> bezüglich des [[Charakteristisches Polynom|charakteristischen Polynoms]] der zugehörigen homogenen Gleichung
:<math>\chi(\lambda) := \lambda^n + \sum_{k=0}^{n-1}c_k\lambda^k\ .</math>
Dann existiert eine spezielle Lösung <math>y_{sp}</math> der Form
:<math>y_{sp}(x) = e^{(\alpha + i\beta)x}\sum_{k=j}^{l+j}b_kx^k\ ,\ b_j, \ldots, b_{l+j} \in \mathbb{C}\ .</math>

== Beispiel ==

Man betrachte die lineare [[Differentialgleichung]]
:<math>y''(x) + y(x) = xe^{ix}\ .</math>
Nun ist <math>i</math> [[Nullstelle]] erster Ordnung des [[Polynom|Polynoms]] <math>\chi(\lambda) = \lambda^2+1</math>. Also existiert nach obigem Satz eine spezielle Lösung der Gestalt
:<math>y_{sp}(x) = (ax+bx^2)e^{ix}\ .</math>
Aus
:<math>\ y_{sp}'(x) = (a+2bx)e^{ix} + i(ax+bx^2)e^{ix}</math>
und
:<math>\ y_{sp}''(x) = 2be^{ix} + 2i(a+2bx)e^{ix} + i^2(ax+bx^2)e^{ix}</math>
erhält man von der Differentialgleichung
:<math>(2b+2ai+4bix)e^{ix} = xe^{ix}\ .</math>
[[Koeffizientenvergleich]] liefert die bestimmenden Gleichungen
:<math>2b+2ai = 0\ ,\ 4bi = 1\ ,</math>
welches <math>a=\tfrac{1}{4}</math> und <math>b=-\tfrac{1}{4}i</math> impliziert. Also ist
:<math>y_{sp}(x) = \left(\frac{1}{4}x-\frac{i}{4}x^2\right)e^{ix}</math>
eine spezielle Lösung obiger inhomogener Differentialgleichung.

== Literatur ==

* Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis Teil 1''. 5. Auflage. Teubner-Verlag 1988, ISBN 3-519-42221-2, S. 413–428.

[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]

Exponentialansatz - Versionsgeschichte

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