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2024-09-26T11:44:49Z

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Der '''Exakte Fisher-Test''' (Fisher-Yates-Test, exakter [[Chi-Quadrat-Test]])<ref>{{Internetquelle |url=https://www.isi-web.org/glossary/610 |titel=ISI Glossary – Fisher-Yates test ; Fisher-Irwin test ; Fisher exact test ; exact chi-squared test |werk=isi-web.org |hrsg=[[International Statistical Institute]] |abruf=2024-04-06 |sprache=en}}</ref> ist ein [[exakter Test|exakter]] [[Signifikanztest]] auf [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|Unabhängigkeit]] in [[Kontingenztafel]]n. Im Gegensatz zum [[ Chi-Quadrat-Test#Unabhängigkeitstest | Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test]] stellt er jedoch keine Voraussetzungen an den Stichprobenumfang und liefert auch bei einer geringen Anzahl von Beobachtungen zuverlässige Resultate. Er geht auf den britischen Statistiker [[Ronald Aylmer Fisher]] zurück.
Ursprünglich wurde er für zwei [[Dichotomie|dichotome]] Variablen entwickelt, also für 2x2-[[Kontingenztafel]]n, aber er kann auch auf größere Kontingenztafeln erweitert werden.<ref>Mehta, C. R. and Patel, N. R. (1986) Algorithm 643. FEXACT: A Fortran subroutine for Fisher's exact test on unordered r*c contingency tables. ACM Transactions on Mathematical Software, 12, S. 154–161, {{DOI|10.1145/6497.214326}}.</ref>

== Idee ==
{| class="centered
|
{| class="wikitable"
| colspan="4" align="center" | Erwartete Häufigkeiten bei<br>Gültigkeit der Nullhypothese.
|-
!
!A
!nicht A
!<math>\sum</math>
|- align="right"
!B
|<math>h_a</math>
|<math>h_c</math>
|<math>h_B</math>
|- align="right"
!nicht B
|<math>h_b</math>
|<math>h_d</math>
|<math>h_{\bar{B}}</math>
|- align="right"
! <math>\sum</math>
| <math>h_A</math>
| <math>h_{\bar{A}}</math>
| <math>n</math>
|}
|
{| class="wikitable"
| colspan="4" align="center" | Beobachtete Häufigkeiten<br>in der Stichprobe.
|-
!
!A
!nicht A
!<math>\sum</math>
|- align="right"
!B
|<math>a</math>
|<math>c</math>
|<math>a+c</math>
|- align="right"
!nicht B
|<math>b</math>
|<math>d</math>
|<math>b+d</math>
|- align="right"
! <math>\sum</math>
| <math>a+b</math>
| <math>c+d</math>
| <math>n=a+b+c+d</math>
|}
|}

Fishers exakter Test ist eine Alternative zum Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test bei einer 2x2-Kontingenztafel. Die rechte obere Kontingenztabelle enthält die beobachteten Häufigkeiten <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> und <math>d</math> für die vier Merkmalskombinationen, während die linke obere Kontingenztabelle die erwarteten Häufigkeiten unter der Gültigkeit der [[Nullhypothese]] enthält. Der Wert der Teststatistik ergäbe sich beim Chi-Quadrat-Unabhängigkeits-Test als

:<math>t = \frac{(a-h_a)^2}{h_a}+\frac{(b-h_b)^2}{h_b}+\frac{(c-h_c)^2}{h_c}+\frac{(d-h_d)^2}{h_d}</math>

und die zugehörige [[Teststatistik]] <math>T</math> wäre dann approximativ <math>\chi^2</math>-verteilt mit einem [[Freiheitsgrad]], falls die Hypothese der Unabhängigkeit richtig ist. Damit die [[Approximation]] gilt, muss jedoch gelten <math>h_a\geq5</math>, <math>h_b\geq5</math>, <math>h_c\geq5</math> und <math>h_d\geq5</math>.

Sind die vier Randhäufigkeiten <math>h_A</math>, <math>h_B</math>, <math>h_{\bar{A}}</math> und <math>h_{\bar{B}}</math> fest, dann reicht es jedoch eine der Zellen zu betrachten. Sobald z. B. der Wert von <math>h_a</math> festliegt, liegen aufgrund der fixierten Randhäufigkeiten auch die Werte für <math>h_b</math>, <math>h_c</math> und schließlich auch <math>h_d</math> fest.

Fisher zeigte, dass die Anzahl der Beobachtungen <math>H_a</math> in der linken oberen Ecke einer [[Hypergeometrische Verteilung|hypergeometrischen Verteilung]] folgt:

:<math>H_a \sim Hyp(N_{hyp}=n, M_{hyp}=h_B, n_{hyp}=h_A)</math>.

Die unbekannten Randverteilungen werden aus der Stichprobe mittels deren Randhäufigkeiten geschätzt, so dass folgt:

:<math>H_a \sim Hyp(N_{hyp}=n, M_{hyp}=a+c, n_{hyp}=a+b)</math>

und die Wahrscheinlichkeit, dass <math>H_a=a</math>, ergibt sich zu

:<math>P(H_a=a) = \frac{ {M_{hyp} \choose a} {N_{hyp} - M_{hyp} \choose n_{hyp} - a} }{ {N_{hyp} \choose n_{hyp}} } = \frac{ {a+c \choose a} {b+d \choose b} }{ {n \choose a+b } }</math>

Alternativ kann nach Bortz, Lienert und Boehnke (1990) die Wahrscheinlichkeit geschrieben werden als

:<math>P(H_a=a) = \frac{{(a + b)!}{(c +d)!}{(a + c)!}{(b +d)!}}{{n!}{a!b!c!d!}} </math>

Ist der Wert von <math>a</math> in der Stichprobe zu klein oder zu groß, dann muss die Nullhypothese abgelehnt werden.

== Vorgehensweise ==

[[Bild:Fstest.svg|miniatur|Wahrscheinlichkeitsverteilung für <math>a</math> für das Schülerbeispiel.]]
{| class="wikitable"
|-
!Leistungen der Schüler<br />einer kleinen Klasse
!männlich
!weiblich
!Summe
|- align="right"
!genügend
| 3
| 1
| '''4'''
|- align="right"
!ungenügend
| 2
| 2
| '''4'''
|- align="right"
! Summe
| '''5'''
| '''3'''
|
|}

Die Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann bei dem Beispiel nicht mit dem Chi-Quadrat-Test bzw. dem [[Vierfeldertest]] auf seine statistische Signifikanz geprüft werden. Der exakte Test von Fisher hält dagegen auch bei wenigen Beobachtungen das geforderte [[Signifikanzniveau|Niveau]] ein.

Wählt man z. B. ein Signifikanzniveau <math>\alpha=15\,\%</math>, so ergeben sich die kritischen Werte als 2 bzw. 3, d. h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden, wenn <math>a=2</math> oder <math>a=3</math> ist. Ist <math>a<2</math> oder ist <math>a>3</math>, dann kann die Nullhypothese verworfen werden. Im Beispiel ist <math>a=3</math>, d. h. die Nullhypothese der Unabhängigkeit der Schülerleistung vom Geschlecht kann nicht verworfen werden.

Daneben gibt es noch drei weitere Tabellen (siehe unten), für die gilt, dass die Summe der Spalten- und Zeilenhäufigkeiten gleich den beobachteten Werten sind.

{| class="centered"
|
{| class="wikitable"
! <math>a=1</math>
!männl.
!weibl.
|-
!genügend
| align="right" |1
| align="right" |3
|-
!ungenügend
| align="right" |4
| align="right" |0
|}
|
{| class="wikitable"
! <math>a=2</math>
!männl.
!weibl.
|-
!genügend
| align="right" |2
| align="right" |2
|-
!ungenügend
| align="right" |3
| align="right" |1
|}
|
{| class="wikitable"
! <math>a=4</math>
!männl.
!weibl.
|-
!genügend
| align="right" |4
| align="right" |0
|-
!ungenügend
| align="right" |1
| align="right" |3
|}
|}

Dieses Beispiel zeigt auch, dass der exakte Test nach Fisher ein [[konservativer Test]] ist. Denn die Wahrscheinlichkeit, dass man fälschlicherweise die Alternativhypothese annimmt ([[Fehler 1. Art]]), ergibt sich zu

:<math>P(''H_1''|H_0) = P(H_a=0)+P(H_a=1)+P(H_a=4)+P(H_a=5)=14{,}28\,\% < \alpha=15\,\%</math>,

also kleiner als das vorgegebene Signifikanzniveau.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|GNU_R:_fisher.test|Fisher-Test mit R durchführen}}
* [https://www.langsrud.com/stat/Fishertest.htm Fisher-Test online berechnen]

== Einzelnachweise ==
<references />



[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]

Exakter Test nach Fisher - Versionsgeschichte

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