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2022-09-23T16:11:16Z

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Der Begriff der '''exakten Sequenz''' oder ''exakten Folge'' spielt eine zentrale Rolle im [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet der [[homologische Algebra|homologischen Algebra]]. Besonders wichtig sind die '''kurzen exakten Sequenzen'''.

== Definition ==
Eine Sequenz
:<math>A'\longrightarrow A\longrightarrow A''</math>
von Objekten und Morphismen in einer geeigneten [[Kategorientheorie|Kategorie]]
heißt ''exakt an der Stelle'' <math>A</math>, wenn
:<math>\mathrm{im}(A'\to A)=\ker(A\to A'')</math>
gilt, d. h. wenn das [[Bild (Mathematik)|Bild]] eines Pfeils gleich dem [[Kern (Algebra)|Kern]] des nächsten ist. Eine längere Sequenz
:<math>A_1\longrightarrow A_2\longrightarrow A_3\longrightarrow A_4\longrightarrow A_5</math>
heißt ''exakt'', wenn sie exakt an den Stellen <math>A_2</math>, <math>A_3</math> und <math>A_4</math> ist (analog für kürzere oder längere Sequenzen).

Geeignet in diesem Sinne ist eine Kategorie offenbar nur dann, wenn sinnvoll von Kern und Bild gesprochen werden kann.
Dies ist der Fall für alle [[abelsche Kategorie|abelschen Kategorien]], aber auch beispielsweise für die Kategorie ''Grp'' der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppen]] und [[Gruppenhomomorphismus|Gruppenhomomorphismen]].

== Beispiele ==
* Ist <math> f\colon A' \to A </math> ein Homomorphismus zwischen [[Abelsche Gruppe#Homomorphismen|abelschen Gruppen]], dann ist <math> \operatorname{im}(A' \to A)= \operatorname{Bild}(f):=\{f(a') |a'\in A'\} </math> und <math> \operatorname{ker}(A'\to A)=\operatorname{Kern}(f):=\{a'|a'\in A', f(a')=0 \} </math>. Die Folge <math> A'\overset{f}{\longrightarrow}A \overset{g}{\longrightarrow}A'' </math> ist daher exakt an der Stelle <math> A </math>, wenn <math> \operatorname{Bild}(f)= \operatorname{Kern}(g) </math> ist.
* Eine Sequenz <math>0\longrightarrow A' \;\overset{f}{\longrightarrow} \; A</math> ist genau dann exakt, wenn <math>f \colon A'\to A</math> ein [[Monomorphismus]], d. h. [[Injektive Funktion|injektiv]] ist. Unter Verwendung eines Hakenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:<math>A' \;\overset{f}{\hookrightarrow}\; A</math>
* Eine Sequenz
::<math>A\;\overset{g}{\longrightarrow} \; A''\longrightarrow 0</math> ist genau dann exakt, wenn <math>g \colon A\to A''</math> ein [[Epimorphismus]], d. h. [[Surjektive Funktion|surjektiv]] ist. Unter Verwendung eines Zweispitzenpfeils kann dies auch mit 2 Termen geschrieben werden:
::<math>A \;\overset{g}{\twoheadrightarrow}\; A''</math>
* Für jeden Homomorphismus <math>f\colon A\to B</math> von [[Vektorraum|Vektorräumen]] ([[Abelsche Gruppe|abelschen Gruppen]], [[Modul (Mathematik)|Moduln]], jeden Morphismus einer abelschen Kategorie) existiert eine exakte Sequenz, wie folgt:
::<math>0\longrightarrow\ker f\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow\mathrm{coker}\,f\longrightarrow0</math>
:In ''Grp'' ist die Sequenz jedoch bei <math>B</math> nur exakt, wenn das Bild von <math>f</math> ein Normalteiler in <math>B</math> ist. Auch in [[additive Kategorie|additiven]], aber nicht abelschen Kategorien ist die Exaktheit nicht notwendigerweise gegeben. Dabei bezeichnet <math>\operatorname{coker} f</math> den [[Kokern]] von <math>f</math>.
* Für eine Gruppe <math>G</math> seien
** <math>Z(G)\,</math> das [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]],
** <math>\mathrm{Aut}\,G</math> die Gruppe der [[Automorphismus|Automorphismen]],
** <math>\mathrm{Inn}\,G</math> die Gruppe der inneren Automorphismen und
** <math>\mathrm{Out}\,G=\mathrm{Aut}\,G/\mathrm{Inn}\,G</math> die Gruppe der äußeren Automorphismen
:von <math>G</math>. Dann ist die Sequenz
::<math>1\longrightarrow Z(G)\longrightarrow G\longrightarrow\mathrm{Aut}\,G\longrightarrow\mathrm{Out}\,G\longrightarrow1</math>
:exakt. Der mittlere Pfeil ist dabei durch
::<math>g\mapsto(h\mapsto ghg^{-1})\in\mathrm{Inn}\,G\subseteq\mathrm{Aut}\,G</math>
:gegeben.

== Kurze exakte Sequenzen ==
=== Definition ===
Eine exakte Sequenz der Form
:<math>0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0</math>
heißt ''kurze exakte Sequenz''.

=== Zerfallende kurze exakte Sequenzen ===
Eine kurze exakte Sequenz ''zerfällt'', wenn
<math>A\to A''</math> einen [[Retraktion und Koretraktion|Schnitt]] hat. Vereinzelt wird anstatt ''zerfällt'' auch die Bezeichnung ''spaltet auf'' benutzt, die auf eine nicht ganz korrekte Übersetzung des englischen Begriffs ''split'' zurückzuführen ist.

In einer additiven Kategorie folgt hieraus auch, dass <math>A'\to A</math> eine [[Retraktion und Koretraktion|Retraktion]] hat,
dass die entstehende Sequenz
:<math>0\longleftarrow A'\longleftarrow A\longleftarrow A''\longleftarrow 0</math>
ebenfalls exakt ist und dass diese Sequenzen [[Isomorphismus|isomorph]] zu
:<math>0\longrightarrow A'\longrightarrow A'\oplus A''\longrightarrow A''\longrightarrow0</math>
bzw.
:<math>0\longleftarrow A'\longleftarrow A'\oplus A''\longleftarrow A''\longleftarrow 0</math>
sind.

Zerfällt eine kurze exakte Sequenz in der Kategorie der Gruppen, ergibt sich daraus lediglich
eine Operation von <math>A''</math> auf <math>A'</math>, und
dass <math>A</math> [[semidirektes Produkt]] von <math>A'</math> und <math>A''</math>
bezüglich dieser [[Gruppenoperation|Operation]] ist. Beispielsweise ist die [[zyklische Gruppe]] <math>\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}</math> Untergruppe der [[symmetrische Gruppe|symmetrischen Gruppe]] <math>S_3</math>, woraus sich die kurze exakte Sequenz
:<math>0\longrightarrow \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\longrightarrow S_3 \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\longrightarrow0</math>
ergibt; indem man das nicht-neutrale Element der <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math> auf ein Element der Ordnung 2 in <math>S_3</math> abbildet, erhält man eine Spaltung.

=== Aufteilung einer langen exakten Sequenz ===
Jede lange exakte Folge lässt sich in kurze exakte Folgen zerlegen, indem man [[Kern (Algebra)|Kerne]] und [[Kern (Algebra)#Kokern|Kokerne]] einfügt: Ist
:<math>A_1\longrightarrow A_2\longrightarrow A_3\longrightarrow A_4\longrightarrow A_5</math>
eine exakte Sequenz, so sei
:<math>Z_n:=\ker(A_n\to A_{n+1})=\mathrm{im}(A_{n-1}\to A_n)=\mathrm{coker}(A_{n-2}\to A_{n-1}).</math>
Dann gibt es kurze exakte Sequenzen
:<math>0\longrightarrow Z_n\longrightarrow A_n\longrightarrow Z_{n+1}\longrightarrow0.</math>
Ist <math>(A_*)</math> ein [[Kettenkomplex]], so ist die Exaktheit all dieser kurzen Sequenz äquivalent zur Exaktheit der langen Sequenz.

=== Erweiterungen ===
Im Kontext einer kurzen exakten Sequenz
:<math>0\longrightarrow A'\longrightarrow A\longrightarrow A''\longrightarrow0</math>
sagt man auch, dass <math>A</math> eine [[Gruppenerweiterung|Erweiterung]] von <math>A''</math> durch <math>A'</math> ist.

Ist zum Beispiel <math>N</math> ein [[Normalteiler]] in der [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] <math>G</math> und <math>G/N</math> die [[Faktorgruppe]], so erhält man eine kurze, exakte Sequenz
:<math>0\longrightarrow N\longrightarrow G\longrightarrow G/N\longrightarrow0</math>,
wobei der zweite Pfeil die Einbettung von <math>N</math> in <math>G</math> und der dritte die [[Quotientenabbildung]] ist. Damit ist <math>G</math> eine Erweiterung von <math>N</math> und <math>G/N</math> und man kann die Frage nach einer Klassifikation aller möglichen Erweiterungen von <math>N</math> und <math>G/N</math> stellen. Entsprechende Fragestellungen erhält man etwa in der [[Kategorientheorie|Kategorie]] der [[Ring (Algebra)|Ringe]] oder Moduln über einem festen Ring. Dies führt zu mathematischen Begriffen wie [[Ext (Mathematik)|Ext]] oder [[Gruppenkohomologie]].

== Siehe auch ==
* [[Exakter Funktor]]
* [[Kettenkomplex]]

== Literatur ==
* [[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra''. Springer Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-76437-3, S. 77–79.

[[Kategorie:Homologische Algebra]]
[[Kategorie:Kategorientheorie]]

Exakte Sequenz - Versionsgeschichte

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