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2026-01-17T17:01:35Z

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[[Datei:Ewaldkugel.png|mini|Ewaldkonstruktion. Der schwarze Kreis in der Abbildung zeigt dabei eine mögliche Detektorposition, auf dem am Schnittpunkt mit dem gebeugten Strahl ein Beugungsmaximum zu sehen ist.|350x350px]]

Mit Hilfe der '''Ewaldkugel''' (benannt nach [[Paul Peter Ewald]]) lässt sich die [[Laue-Bedingung]] für [[konstruktive Interferenz]] bei der [[Streuung (Physik)|Streuung]] an einem [[Kristall]] anschaulich darstellen. Die Konstruktion verknüpft dabei den (realen) [[Ortsraum]] und den [[Reziproker Raum |reziproken Raum]].

== Konstruktion ==
Im Folgenden wird für das reziproke Gitter
* die [[Kristallographie|kristallographisch]]e Definition <math>|\vec{k}| = \frac{1}{\lambda}</math> verwendet
* anstatt der in der [[Festkörperphysik]] üblichen <math>|\vec{k}| = \frac{2\pi}{\lambda}</math>,
jeweils mit
* der [[Wellenlänge]] λ des einfallenden Strahls (im Bild [[Röntgenstrahlung]])
* dem [[Wellenvektor]] <math>\vec{k}</math>.

Die Kugel wird wie folgt konstruiert (vgl. die Abbildung):
Im Zentrum der Ewaldkugel liegt der Ursprung des Realraums, in dem sich der zu messende Kristall befindet (im Bild grün gezeichnet). Der Radius der Ewaldkugel beträgt 1/λ. Daher liegen alle Wellenvektoren <math>\vec {k}</math> auf der Oberfläche dieser Kugel (im Bild rot gezeichnet).

Der Ursprung des zu diesem [[Kristallgitter]] gehörenden reziproken Gitters (Punkte im Bild) wird in den Schnittpunkt der Ewaldkugel mit dem primären Röntgenstrahl gelegt, der durch den Kristall geht (im Bild blau gezeichnet). Der Röntgenstrahl läuft daher immer entlang eines Kugeldurchmessers.

Drehungen des Kristalls um den Ursprung des realen Raums führen zu einer entsprechenden Drehung des reziproken Gitters um den Ursprung des reziproken Raums. Reziprokes Gitter und Kristall behalten dabei dieselbe Orientierung. Wird der Kristall so gedreht, dass noch ein weiterer Punkt des reziproken Gitters auf der Oberfläche der Ewaldkugel liegt, so erfüllt der entsprechende Wellenvektor <math>\vec {k_s}</math> zusätzlich die Bedingung

:<math>\Delta \vec k = \vec {k_s}- \vec {k_i} = \vec G </math> (ein Vektor des reziproken Gitters).

Dies ist die Laue-Bedingung. Genau in diesem Fall findet also elastische Streuung in Richtung von <math>\vec {k_s} </math> statt.

== Interpretation ==
Diese Konstruktion dient zur Veranschaulichung vieler Messverfahren in der Kristallographie. Aus ihr wird z. B. ersichtlich, dass nur die Punkte des reziproken Gitters die Laue-Bedingung erfüllen können, die in einer Entfernung kleiner <math>2 | \vec {k_s} |</math> vom Ursprung entfernt liegen (im Bild dargestellt durch den schwarzen Kreis, die Lagenkugel mit Radius 2/λ). 

So wird auch anschaulich klar, warum bei großen Wellenlängen <math>\lambda</math> (d. h. kleiner [[Wellenzahl]] <math>|\vec{k}| = k</math>) keine Beugung am Kristall stattfinden kann: Es gibt keine möglichen Vektoren <math>\vec G</math> mehr, die die Laue-Bedingung erfüllen können, da die Ewald-Kugel zu klein wird.

== Siehe auch ==
* [[Röntgenbeugung]]
* [[Elektronenbeugung]]
* [[Drehkristallmethode]]

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=[[Paul Peter Ewald|P. P. Ewald]]
| Titel=Zur Theorie der Interferenzen der Röntgenstrahlen in Kristallen
| Sammelwerk=Physik. Z
| Band=14
| Nummer=
| Jahr=1913
| Seiten=465-472
}}
* {{Literatur
| Autor=[[Martin J. Buerger]]
| Titel=Kristallographie
| Auflage=1
| Verlag=Walter de Gruyter
| Ort=Berlin
| Jahr=1977
| ISBN=3-11-004286-X
}}

== Weblinks ==
* [https://dictionary.iucr.org/Ewald_sphere Ewald sphere (IUCr, engl.)]

[[Kategorie:Kristallographie]]

Ewaldkugel - Versionsgeschichte

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