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2026-01-29T14:48:50Z

Evolventen einer Neilschen Parabel: Komma

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[[Datei:Evolvente-parabel.svg|mini|Zwei Evolventen (rot) einer Parabel]]
Die '''Evolvente''' (auch '''Involute''') ist ein Begriff aus dem [[Mathematik|mathematischen]] Teilgebiet [[Differentialgeometrie]]. Jeder [[rektifizierbar]]en [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] wird eine Schar von anderen Kurven als deren ''Evolventen'' zugeordnet, die durch die ''Abwicklung'' von deren [[Tangente]] entstehen.

Anschaulich lässt sich die Evolvente als '''Fadenlinie''' darstellen: Ein flacher Körper, dessen eine Seitenfläche die Form der Ausgangskurve hat, wird auf ein Blatt Papier gelegt. Über die Ausgangskurve ist ein dünner Faden gewickelt und straff gespannt. Am äußeren Ende des Fadens wird ein Stift befestigt, dessen Spitze auf dem Papier aufliegt. Dann wird der Faden langsam von der Kurve abgewickelt, wobei er stets straff gehalten wird. Die Kurve, die auf dem Papier entsteht, ist eine Evolvente.

Da der Faden anfangs eine beliebige Länge haben kann, gibt es zu jeder Kurve unendlich viele Evolventen, die alle [[Parallel (Geometrie)|parallel]] zueinander verlaufen, das heißt: Sind zwei Evolventen gegeben, so ist jede Normale der einen auch Normale der anderen, und alle diese Normalen sind zwischen den beiden Evolventen gleich lang. Jede Normale '''einer''' Evolvente ist also Normale '''aller''' Evolventen.
Die Normalen der Evolventen sind einfach die Tangenten der gegebenen Kurve. Diese ist Hüllkurve (Enveloppe) der Evolventennormalen.
Meist ist mit ''Evolvente'' die [[Kreisevolvente]] gemeint; dies ist jedoch nur ein Spezialfall der allgemeinen Evolvente.

== Evolvente einer parametrisierten Kurve ==
Beschreibt <math>\vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2]</math> eine [[reguläre Kurve]] in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und ist <math>a\in (t_1,t_2)</math>, so ist die zugehörige Kurve mit der Parameterdarstellung
:<math>\vec X=\vec C_a(t)=\vec c(t) -\frac{\vec c'(t)}{|\vec c'(t)|}\; \int_a^t|\vec c'(w)|\; \mathrm dw</math>
eine ''Evolvente'' der gegebenen Kurve.<br />
Das Integral beschreibt die aktuelle Länge des abgewickelten Fadens der Kurve in dem Intervall <math>[a,t]</math> und der Vektor davor ist der Tangenteneinheitsvektor. Addiert man zu dem Integral eine beliebige, aber feste Zahl <math>l_0</math>, so erhält man eine Evolvente mit einem um <math>l_0</math> längeren Faden. Also: Nicht nur mit dem Parameter <math>a</math> kann man die Fadenlänge und damit die Evolventen variieren, sondern auch durch Addition einer Zahl <math>l_0</math> zu dem Integral (s. [[#Evolventen einer Neilschen Parabel|Beispiel Neilsche Parabel]]).

Ist <math>\vec x=\vec c(t)=(x(t),y(t))^T</math>, so ist
:<math>\begin{align}
X(t) &= x(t) - \frac{x'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \, \mathrm dw \\
Y(t) &= y(t) - \frac{y'(t)}{\sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}} \int_a^t \sqrt{x'(w)^2 + y'(w)^2} \, \mathrm dw \; .
\end{align}</math>

== Eigenschaften der Evolventen ==
[[Datei:Evolvente-prop.svg|mini|Evolvente: Eigenschaften]]
Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die [[Bogenlänge]] <math>s</math> der gegebenen Kurve als [[Kurve (Mathematik)#Differenzierbare Kurven, Krümmung|Parameter]] zu verwenden. Denn dann [[Frenetsche Formeln|gilt]] <math>\;|\vec c'(s)|=1\;</math> und <math>\;\vec c''(s)=\kappa(s)\vec n(s)\;</math>, wobei <math>\kappa</math> die Krümmung und <math>\vec n</math> die Einheitsnormale ist. Für die Evolvente ergibt sich:
:<math>\vec C_a(s)=\vec c(s) -\vec c'(s)(s-a)\;</math> und
:<math>\vec C_a'(s)=-\vec c''(s)(s-a)=-\kappa(s)\vec n(s)(s-a)\;.</math>
Hieraus folgt:
*Die Evolvente ist im Punkt <math>\vec C_a(a)</math> ''nicht regulär'' (es ist <math>| \vec C_a'(a)|=0</math>),
und aus <math>\; \vec C_a'(s)\cdot\vec c'(s)=0 \;</math> folgt:
*Die Normale der Evolvente im Punkt <math>\vec C_a(s)</math> ist Tangente der gegebenen Kurve im Punkt <math>\vec c(s)</math> und
*die Evolventen sind [[Parallelkurve|parallele Kurven]], da <math>\vec C_a(s)=\vec C_0(s)+a\vec c'(s)</math> und <math>\vec c'(s)</math> die Einheitsnormale in <math>\vec C_0(s)</math> ist.

Die letzte Eigenschaft legt die folgende '''Strategie zur Bestimmung der Evolventen''' einer Kurve nahe:
#Verwende eine ''Parameterdarstellung'' der gegebenen Kurve, die eine möglichst einfache Stammfunktion des zu lösenden Integrals zulässt.
#Überlege, für welchen ''Anfangsparameter'' <math>a</math> und/oder welche ''Fadenverlängerung'' <math>l_0</math> das Integral einfach wird.
#Findet man auf diese Weise eine einfach zu beschreibende Evolvente, so ergeben sich alle Evolventen als ''Parallelkurven'' davon.

== Beispiele ==
[[Datei:Evolvente-kreis.svg|mini|Evolventen eines Kreises]]

=== Evolventen eines Kreises ===
{{Hauptartikel|Kreisevolvente}}
Für den Kreis mit der Parameterdarstellung <math>\; (r\cos(t),r\sin(t))\;</math> ist
<math>\vec c'(t)=(-r\sin t,r\cos t)^T</math> und damit <math>|\vec c'(t)|=r</math>. Das Integral hat den Wert <math>r(t-a)</math>. Also sind die Gleichungen der Evolvente:
:<math>X(t)=r(\cos (t+a)+ t\sin (t+a))</math>
:<math>Y(t)=r(\sin (t+a)-t\cos (t+a))</math>
In der Zeichnung sind die Evolventen für <math>a=-0{,}5</math> (grün), <math>a=0</math> (rot), <math>a=0{,}5</math> (magenta) und <math>a=1</math> (cyan) gezeichnet. Die Evolventen sind ähnlich einer [[Archimedische Spirale|archimedischen Spirale]], sie sind aber keine.

Für die [[Bogenlänge]] der Evolvente mit <math>0\le t\le t_2</math> ergibt sich

:<math>L = \frac{r}{2} {t_2}^2 \; .</math>

=== Evolventen einer Neilschen Parabel ===
[[Datei:Evolvente-np.svg|300px|mini|Evolventen einer neilschen Parabel (blau). Nur die rote Kurve ist eine Parabel.]]
Die Parameterdarstellung <math>\; \vec c(t)=\left( \tfrac{t^3}{3},\tfrac{t^2}{2} \right)
^T\;</math> beschreibt eine [[Neilsche Parabel]]. Wegen <math>\; \vec c'(t)=(t^2,t)^T\;</math> ist <math>\;|\vec c'(t)|=t\sqrt{t^2+1}</math> und <math>\int_0^t w\sqrt{w^2+1}\;\mathrm dw = \frac{1}{3}\sqrt{t^2+1}^3 -1/3</math>. Verlängert man den Faden um <math>l_0=1/3</math>, wird die Rechnung einfach und es ergibt sich
:<math>X(t)=\; \cdots\; = -\frac{t}{3}</math>
:<math>Y(t)= \; \cdots \; =\frac{t^2}{6}-\frac{1}{3} \ .</math>
Elimination des Parameters <math>t</math> liefert die ''Parabel'' mit der Gleichung <math>\; Y=\frac{3}{2}X^2-\frac{1}{3}\; .</math><br />
Also:
*Die Evolventen der Neilschen Parabel <math>\;(\tfrac{t^3}{3},\tfrac{t^2}{2})\;</math> sind ''Parallelkurven'' der Parabel <math>\; y=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}\; .</math>
(Man beachte: Die Parallelkurven einer Parabel sind keine Parabeln mehr!)

''Bemerkung:'' Berechnet man die ''Evolute'' der Parabel <math>\; y=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{3}\;</math>, so ergibt sich wieder die Neilsche Parabel <math>\; (\tfrac{t^3}{3},\tfrac{t^2}{2})\;</math> (s. Abschnitt [[#Evolvente und Evolute|Evolvente und Evolute]].)
[[Datei:Involute.gif|mini|Die rote Evolvente einer Kettenlinie (blau) ist eine Traktrix.]]

=== Evolventen der Kettenlinie ===
Für die [[Kettenlinie (Mathematik)|Kettenlinie]] <math>\; (t,\cosh t)\;</math> ergibt sich <math>\;\vec c'(t)=(1,\sinh t)^T\;</math> und wegen <math>\; \cosh^2 t -\sinh^2 t=1\; </math> ist <math>\; |\vec c'(t)|=\cosh t</math> und <math>\; \int_0^t \cdots=\sinh t\; .</math>
Damit ergibt sich die Parameterdarstellung der Evolvente:
:<math>(t-\tanh t,1/\cosh t)\; .</math>
Dies ist die Parameterdarstellung einer [[Traktrix]]. Es gilt:
*Die Evolventen der Kettenlinie <math>\; (t,\cosh t)\;</math> sind Parallelkurven der Traktrix <math>(t-\tanh t,1/\cosh t)\; .</math>

=== Evolventen einer Zykloide ===
[[Datei:Evolvente-zy.svg|250px|mini|Evolventen einer Zykloide (blau): Nur die rote Kurve ist wieder eine Zykloide.]]
Die Parameterdarstellung <math>\; \vec c(t)=(t-\sin t,1-\cos t)^T\;</math> beschreibt eine [[Zykloide]]. Wegen <math>\; \vec c'(t)=(1-\cos t,\sin t)^T\;</math> ist <math>\;|\vec c'(t)|=\cdots =2\sin\frac{t}{2}</math> und <math>\int_\pi^t 2\sin\frac{w}{2}\;\mathrm dw = -4\cos\frac{t}{2}</math>. (Es wurden einige trigonometrische Formeln verwendet.)<br />
Es ergibt sich
:<math>X(t)=\; \cdots\; = t+\sin t</math>
:<math>Y(t)= \; \cdots \; =3+\cos t \ .</math>
Diese Gleichungen beschreiben die im Bild (rot) gezeigte verschobene Zykloide.<br />
Also gilt:
*Die Evolventen der Zykloide <math>\; (t-\sin t,1-\cos t)\;</math> sind ''Parallelkurven'' der Zykloide
:<math>(t+\sin t, 3+\cos t) \; .</math>

== Evolvente und Evolute ==
Die [[Evolute]] einer gegebenen Kurve <math>k_0</math> besteht aus den Krümmungsmittelpunkten von <math>k_0</math>. Die Verbindung zwischen Evolute und Evolvente besteht in folgendem Zusammenhang:<ref>Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille, Andreas Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und …'' Springer-Verlag, 2012, ISBN 3834883468, S. 30.</ref><ref>Richard Courant: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung, 1. Band.'' Springer-Verlag, 1955, S. 267.</ref>
* Jede Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

Wegen dieser Wechselbeziehung wird die Evolvente zuweilen auch ''Involute'' genannt.

== Anwendungen ==

=== Technik ===
In der [[Technik]] hat die Evolvente besonders bei der Konstruktion von [[Zahnrad|Zahnrädern]] und [[Zahnstange]]n eine große Bedeutung. Bei der häufig angewandten [[Evolventenverzahnung]] ist der Querschnitt einer Zahnflanke Teil einer [[Kreisevolvente]]. Dadurch wird gewährleistet, dass sich im Eingriff stehende Zähne entlang einer geraden Eingriffslinie (der Tangente an die Grundkreise) berühren. Die Evolventenform ist dabei einfacher zu fertigen als die ebenfalls verwendete [[Zykloide]]nform der Zahnflanke.

=== Medizin ===
Auch im Bereich der [[Medizin]] findet sich der Begriff wieder. So haben die Evolvente der spiralig gekrümmten [[Femurcondyl]]en im [[Kniegelenk]] und deren daher auf der resultierenden Evolute zu findende Schnittpunkte der [[Transversalebene|transversalen]] Bewegungsachsen ihre Bedeutung im Verständnis der [[Biomechanik]] des Knies und kniespezifischer Gelenkseigenschaften.

=== Sport ===
In der [[Leichtathletik]] werden die Startlinien auf einer 400-Meter-Bahn mit Hilfe der Evolvente berechnet, damit Läufer auf den Außenbahnen dieselbe Strecke zurücklegen wie Läufer auf den weiter innen liegenden Bahnen. Dies gilt insbesondere für den [[200-Meter-Lauf|200]]- und [[400-Meter-Lauf]], die [[Staffellauf|Sprintstaffeln]] sowie die Langstreckenwettbewerbe.

== Literatur ==
*K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und …'' Springer-Verlag, 2012, ISBN 3834883468.
*''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3 87144 323 9, S. 475.
*A. Ostrowski: ''Evolute, Evolvente und Parallelkurven.'' Springer, Basel 1972, ISBN 978-3-0348-5528-0.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Zahnradtechnik]]
[[Kategorie:Getriebelehre]]
[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]

Evolvente - Versionsgeschichte

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