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In der Mathematik definiert man die '''Evolution''' <math>\Phi</math> einer [[Differentialgleichung]] <math>x'(t) = f(t, x(t))</math> als eine zweiparametrige [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]], gegeben durch:

:<math>\Phi^{t,t_0} x_0 := x(t)</math>

wobei
* <math>x(t)</math> die Lösung des [[Anfangswertproblem]]s ist, das aus der o. g. Dgl. und der [[Anfangsbedingung]] <math>x(t_0) = x_0</math> besteht, und
* <math>|t - t_0|</math> [[hinreichend]] klein sein soll.

In Worten: Die Evolution bildet den Wert <math>x_0</math> einer beliebigen Lösungskurve <math>x</math> zum Zeitpunkt <math>t_0</math> ab auf den Wert <math>x(t)</math> der Lösungskurve zum Zeitpunkt <math>t</math>. Sie beschreibt also die [[Zeitentwicklung|weitere Entwicklung]] der Lösung ausgehend vom Startpunkt <math>x_0</math>.

Die Evolution der Differentialgleichung hat folgende Eigenschaften:
* <math>\Phi^{t_0,t_0}x_0 = x_0</math>
* <math>\frac{d}{d\tau}\Phi^{t+\tau,t}x |_{\tau=0} = f(t,x(t))</math>
* <math>\Phi^{t_2,t_1}\Phi^{t_1,t}x_0 = \Phi^{t_2,t}x_0</math> für <math>t\leq t_1\leq t_2</math> ([[Transitive Relation|Transitivität]]).

Im Fall [[autonome Differentialgleichung|autonomer Differentialgleichungen]] <math>x'=f(x)</math> ist die Startzeit <math>t_0</math> beliebig. Man schreibt dann statt <math>\Phi^{t,t_0}</math> einfach <math>\Phi^{t}</math> und bezeichnet <math>\Phi^{t}</math> als [[Phasenfluss]].

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]

Evolution (Mathematik) - Versionsgeschichte

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