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2023-10-08T13:50:35Z

Das gehört auf die Diskussionsseite, nicht in die Einleitung des Artikels. Die letzte Textänderung von 2A01:599:200:D9AD:D0E0:2B61:D96D:F5EF wurde verworfen und die Version 234369969 von 79.235.205.242 wiederhergestellt.

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[[Datei:Evolute-parab.svg|300px|mini|Die Evolute (rot) einer Kurve (Parabel, blau) ist der geometrische Ort aller Krümmungsmittelpunkte oder auch die Einhüllende ihrer Normalen]]

Die '''Evolute''' einer ebenen [[Kurve (Mathematik)|Kurve]] ist
* die Bahn, auf der sich der [[Mittelpunkt]] des [[Krümmungskreis]]es der Kurve bewegt, wenn dieser die gesamte Kurve durchläuft.
Oder auch:
* die [[Einhüllende|Hüllkurve]] (Enveloppe) der [[Normalenvektor|Normalen]] der gegebenen Kurve.
Evoluten stehen in engem Zusammenhang mit den [[Evolvente]]n einer gegebenen Kurve, denn es gilt: Eine Kurve ist die Evolute jeder ihrer Evolventen.

== Evolute einer parametrisierten Kurve ==
Beschreibt <math>\vec x= \vec c(t),\; t\in [t_1,t_2]</math> eine [[reguläre Kurve]] in der euklidischen Ebene, deren Krümmung nirgends 0 ist, und sind <math>\rho(t)</math> der [[Krümmungskreis]]radius und <math>\vec n(t)</math> die zum Krümmungsmittelpunkt weisende Einheitsnormale, so ist
* <math>\vec E(t)=\vec c(t) +\rho (t)\vec n(t)</math>
die ''Evolute'' der gegebenen Kurve.

Ist <math>\vec c(t)=(x(t),y(t))^T</math> und <math>\vec E=(X,Y)^T</math>, so ist
* <math>\displaystyle X(t) = x(t) - \frac{y'(t) \cdot \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) \cdot y''(t) - x''(t) \cdot y'(t)}</math> und
: <math>\displaystyle Y(t) = y(t) + \frac{x'(t) \cdot \Big(x'(t)^2+y'(t)^2\Big)}{x'(t) \cdot y''(t) - x''(t) \cdot y'(t)}</math>.

== Eigenschaften der Evolute ==
[[Datei:Evolute-parab-2.svg|mini|Evolute: Die Normale in P ist Tangente in M.]]
Um Eigenschaften einer regulären Kurve herzuleiten, ist es vorteilhaft, die [[Bogenlänge]] <math>s</math> der gegebenen Kurve als [[Kurve (Mathematik)#Differenzierbare Kurven, Krümmung|Parameter]] zu verwenden. Denn dann gilt (s. [[Frenetsche Formeln]]) <math>\;|\vec c'|=1\;</math> und {{nowrap|<math>\;\vec n'=-\vec c'/\rho\;</math>.}} Daraus folgt für den Tangentenvektor der Evolute <math>\;\vec E=\vec c +\rho \vec n \;</math>:
:<math>\vec E'=\vec c' +\rho'\vec n +\rho\vec n'=\rho'\vec n\; .</math>
Aus dieser Gleichung ergeben sich die folgenden Eigenschaften einer Evolute:
* Die Evolute ist in Punkten mit <math>\rho'=0</math> ''nicht regulär,'' d. h., sie hat in Punkten maximaler oder minimaler Krümmung ''Spitzen'' (s. Parabel, Ellipse, Nephroide).
* Die Normalen der gegebenen Kurve sind Tangenten der Evolute, d. h.: Die Evolute ist die ''Einhüllende der Normalen'' der gegebenen Kurve.
* In Abschnitten der gegebenen Kurve, in denen <math>\rho'>0</math> bzw. <math>\rho'<0</math> gilt, ist sie eine Evolvente ihrer Evolute. (Im Bild ist die blaue Parabel eine Evolvente der roten Neilschen Parabel.)

''Beweis'' der letzten Eigenschaft:<br />
In dem betrachteten Abschnitt sei <math>\rho'>0</math>. Eine [[Evolvente]] der Evolute lässt sich folgendermaßen beschreiben:
:<math>\vec C_0=\vec E -\frac{\vec E'}{|\vec E'|}\;\Big(\int_0^s|\vec E'(w)|\; \mathrm dw+l_0\;\Big)\; ,</math>
wobei <math>l_0</math> eine Fadenverlängerung bedeutet (s. [[Evolvente#Evolvente einer parametrisierten Kurve|Evolvente]]).<br />
Mit <math>\vec E=\vec c +\rho\vec n\; ,\; \vec E'=\rho'\vec n</math> und <math>\rho'>0</math> ergibt sich
:<math>\vec C_0 = \vec c +\rho\vec n-\vec n \;\Big(\int_0^s\rho'(w)\; \mathrm dw\;+l_0\Big)= \vec c +(\rho(0)-l_0)\; \vec n\; .</math>
D. h., für die Fadenverlängerung <math>l_0=\rho(0)</math> erhält man die gegebene Kurve wieder.

* ''Parallele Kurven'' besitzen dieselbe Evolute.
''Beweis:'' Eine zur gegebenen Kurve im Abstand <math>d</math> parallele Kurve besitzt die Parameterdarstellung <math>\vec c_d =\vec c +d\vec n</math> und den Krümmungsradius (s. [[Parallelkurve#Parallelkurve einer parametrisierten Kurve|Parallelkurve]]) <math>\rho_d=\rho -d</math>. Die Evolute der Parallelkurve ist also <math>\vec E_d=\vec c_d +\rho_d \vec n=\vec c +d\vec n +(\rho -d)\vec n=\vec c +\rho \vec n = \vec E\; .</math>

== Beispiele ==
=== Evolute der Normalparabel ===
Die Normalparabel lässt sich durch die Parameterdarstellung <math>(t,t^2)</math> beschreiben. Nach den obigen Formeln ergeben sich für die Evolute die folgenden Gleichungen:
:<math>X=\cdots=-4t^3</math>
:<math>Y=\cdots=\frac{1}{2}+3t^2</math>
Dies ist die Parameterdarstellung einer [[Neilsche Parabel|Neilschen Parabel]].
[[Datei:Evolute-elli.svg|mini|Evolute (rot) einer Ellipse]]
[[Datei:Nephroide-evolute.svg|300px|mini|Die Evolute der großen Nephroide (blau) ist die kleine Nephroide (rot)]]

=== Evolute einer Ellipse ===
Für die Ellipse mit der Parameterdarstellung <math>(a\cos t, b\sin t)</math> ergibt sich:<ref>R.Courant: ''Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung.'' Band 1, Springer-Verlag, 1955, S. 268.</ref>
:<math>X=\cdots = \frac{a^2-b^2}{a}\cos ^3t</math>
:<math>Y=\cdots = \frac{b^2-a^2}{b}\sin ^3t</math>
Diese Gleichungen beschreiben eine schiefe [[Astroide]]. Elimination von <math>t</math> liefert die implizite Darstellung
* <math>(aX)^{\tfrac{2}{3}} +(bY)^{\tfrac{2}{3}}=(a^2-b^2)^{\tfrac{2}{3}}\ .</math>

== Evoluten bekannter Kurven ==
* Zu einer [[Astroide]]: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
* Zu einer [[Ellipse]]: eine schiefe Astroide
* Zu einer [[Kardioide]]: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
* Zu einem [[Kreis (Geometrie)|Kreis]]: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
* Zu einer [[Deltoide]]: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
* Zu einer [[Zykloide]]: eine kongruente Zykloide
* Zu einer [[Epizykloide]]: eine vergrößerte Epizykloide
* Zu einer [[Hypozykloide]]: eine ähnliche Hypozykloide
* Zu einer [[Logarithmische Spirale|logarithmischen Spirale]]: die gleiche logarithmische Spirale
* Zu einer [[Nephroide]]: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
* Zu einer [[Parabel (Mathematik)|Parabel]]: eine [[Neilsche Parabel]]
* Zu einer [[Traktrix]]: eine [[Katenoide]] (Kettenlinie)

== Einzelnachweise ==
<references />

== Literatur ==
* K. Burg, H. Haf, F. Wille, A. Meister: ''Vektoranalysis: Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und …'' Springer-Verlag, 2012, ISBN 3-8348-8346-8, S. 30.
* ''Kleine Enzyklopädie Mathematik.'' Harry Deutsch Verlag, 1977, ISBN 3-87144-323-9, S. 475.

== Weblinks ==
{{Commonscat}}
* {{MathWorld|Evolute|Evolute}}

[[Kategorie:Kurve (Geometrie)]]
[[Kategorie:Elementare Differentialgeometrie]]

Evolute - Versionsgeschichte

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