imported>Aka: /* Weblinks */ https, Kleinkram

2021-07-07T10:35:20Z

Weblinks: https, Kleinkram

Neue Seite

Als '''Eulersche Reihe''' wird die Identität

:<math>\frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2\pi nx )}{n}=\frac{1}{2}-x,\; 0<x<1</math>

bezeichnet.

Die Eulersche Reihe teilte [[Leonhard Euler]] in seinem Brief vom 4. Juli 1744 an [[Christian Goldbach]] mit, allerdings ohne Beweis. Fast zehn Jahre später veröffentlichte er in seinem Werk ''[[Institutiones calculi differentialis]]'' einen Beweis. Die Eulersche Reihe ist eine sehr einfach in eine [[Fourierreihe]] entwickelbare Funktion. Die [[Bernoulli-Polynom]]e und die [[Poissonsche Summenformel]] lassen sich auf diese für die Analysis fundamentale Reihe zurückführen.

Die Eulersche Reihe bildet den Imaginärteil der Reihe

:<math>\sum _{n=1}^{\infty} \frac{e^{2\pi inx}}{n},\; x\in \R,\; x\notin \Z </math>

== Hauptsatz ==
Sei das Intervall <math>I:=(0,1)</math> gegeben. Seien des Weiteren <math>a,b \in I,\ a<b </math> zwei Punkte aus <math>I</math>. Folgende Funktionenreihe konvergiert gleichmäßig auf <math>\bar{I}:=[a,b]</math>
und es gilt:

:<math>\sum _{n=1}^{\infty} \frac{e^{2\pi inx}}{n}=-\log \left[ 2\sin(\pi x)\right] +i\pi \left( \frac{1}{2}-x\right) ,\; 0<x<1</math>

== Literatur ==
* [[Max Koecher]]: ''Klassische elementare Analysis'', [[Birkhäuser Verlag]], Basel-Boston, 1987

== Weblinks ==
* [https://www.mathi.uni-heidelberg.de/~theiders/PS-Analysis/Eulersche_Reihe_Felipe_Mueller.pdf Ausarbeitung zur Eulerschen Reihe mit Beweis] (PDF-Datei; 131 kB)

[[Kategorie:Folgen und Reihen]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]

Eulersche Reihe - Versionsgeschichte

imported>Aka: /* Weblinks */ https, Kleinkram