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Die '''eulersche Last''' <math>P_{Euler}</math> wird im Anhang über ''Elastische Kurven'' der 1744 veröffentlichten Arbeit (E065) angegeben. [[Leonhard Euler]] berechnet neun unterschiedliche Klassen von Biegelinien gerader und nur an den Enden belasteter [[Stab (Statik)|Stäbe]] aus ideal [[Linear-elastisches Verhalten|linear-elastischem]] Material mit kleinen oder großen [[Verformung]]en bzw. Verkrümmungen.

Zur ersten Klasse gehören Stäbe, die durch die Wirkung einer [[Belastung (Physik)|Last]] <math>P</math> [[infinitesimal]] [[sinus]]förmig verbogen bzw. verkrümmt werden oder die gerade bleiben. Für sie kann die Vereinfachung getroffen werden, dass die Stablänge <math>s</math> auch im verformten Zustand gleich der Länge der Verbindungsgeraden der Stabenden ist.

Zur [[Biegelinie]] des Stabes

:<math>w(x) = w \cdot \sin (\pi \cdot x / s)</math>

gehört die Ver[[krümmung]] des Stabes

:<math>1/r(x) = w(x)'' = - \pi^2 / s^2 \cdot w \cdot \sin (\pi \cdot x / s).</math>

Aus der Verkrümmung des Stabes entsteht mit der [[Biegesteifigkeit]] <math>EI</math> das widerstehende [[Biegemoment]]

:<math>M_R(x) = - EI / r(x) = - EI \cdot w(x)''.</math>

Die Last <math>P</math> verursacht im Stab das einwirkende Biegemoment

:<math>M_E(x) = P \cdot w(x).</math>

Im Gleichgewichtszustand des Stabes, <math>M_E(x) = M_R(x)</math>, gilt die Beziehung

:<math>P \cdot w \cdot \sin (\pi \cdot x / s) = EI \cdot \pi^2 / s^2 \cdot w \cdot \sin (\pi \cdot x / s)</math>.

Sie ist mit <math>w = 0</math> für beliebig große Lasten <math>P</math> erfüllt und mit <math>w > 0</math> für

:<math>P = EI \cdot \pi^2 / s^2 = P_{Euler}.</math>

Nach der Übersetzung von Truesdell und mit den dort verwendeten Bezeichnungen <math>EI = B</math> und <math>s = 2\,f</math> hat Euler diesen Sachverhalt in § 25 gefunden und folgendermaßen beschrieben: ''… the force required to produce this infinitely small curvature of the band is a finite quantity, P = ¼ pi² • B / f². That is, if the ends A und B are tied together by a thread AB, then this thread is pulled by the force ¼ pi² • B / f².''

Diese Erkenntnis wendet Euler später in § 37 auch zur Angabe der [[Tragfähigkeit (Technik)|Tragfähigkeit]] einer mit <math>P</math> belasteten [[Stütze (Bauteil)|Stütze]] der Länge <math>l = s</math> an. ''… If the weight P is not too great, then the most to be feared is a bending of the column.'' Und weiter: ''… we have seen that the force needed to bend the column ever so little is pi² • B / s². Therefore unless the weight P to be supported satisfies P > pi² • B / s² there is no fear of bending …''.

Die eulersche Last <math>P_{Euler}</math> wird heute als [[Knicklast]] der beidseitig gelenkig gelagerten Stütze (Euler-Fall 2) verstanden, bei der das Stabilitätsversagen der Stütze eintritt.

Die neun Klassen von Biegelinien nicht mit den [[Knicken #Eulersche Knickfälle (Biegeknicken)|eulerschen Knickfällen]] verwechselt werden dürfen.

== Siehe auch ==
* [[Balkentheorie]]

== Literatur ==
* Leonhard Euler: ''Von den elastischen Kurven''. 1744
** Übersetzung ins Deutsche in: H. Linsenbarth: ''Abhandlungen über das Gleichgewicht und die Schwingungen der ebenen elastischen Kurven''. Leipzig, 1910, Ostwald’s Klassiker.
* [[Clifford Truesdell]]: ''The Rational Mechanics of Flexible or Elastic Bodies, 1638-1788''. Introduction to Leonhardi Euleri Opera Omnia Vol. X et XI Seriei secundae. Füssli, Birkhäuser, Zürich, Basel, 1960, ISBN 978-3-7643-1441-5.

[[Kategorie:Technische Mechanik]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]

Eulersche Last - Versionsgeschichte

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