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2025-03-23T21:17:13Z

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[[Datei:Euler line 4 points.svg|mini|hochkant=1.5|Euler-Gerade ''e'' (schwarz),<br /> Höhenschnittpunkt ''H'' (rot),<br /> Schwerpunkt ''S'' (grün, Schnittpunkt der Seitenhalbierenden),<br /> Umkreismittelpunkt U (blau, Schnittpunkt der Mittelsenkrechten),<br /> Feuerbachkreis mit Mittelpunkt ''N'' (schwarz)]]

Die '''eulersche Gerade''' oder '''Euler-Gerade''' ist eine spezielle [[Gerade]] eines nicht-gleichseitigen [[Dreieck]]s. Auf ihr liegen u. a. der [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]], der [[Umkreis]]mittelpunkt und der [[Höhenschnittpunkt]] des gegebenen Dreiecks. Sie ist benannt nach [[Leonhard Euler]]. Dieser veröffentlichte 1763 die Erkenntnis, dass die genannten drei Punkte [[Kollineare Punkte|kollinear]] sind, also auf einer Geraden liegen.<ref>{{Literatur |Autor=[[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]] |Titel=Ebene Geometrie |Auflage=3 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-49327-3 |Seiten=163}}</ref> Auch der Mittelpunkt des [[Feuerbachkreis]]es<ref name="Koecher-Krieg">{{Literatur |Autor=Max Koecher, Aloys Krieg |Titel=Ebene Geometrie |Auflage=3 |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin |Datum=2007 |ISBN=978-3-540-49327-3 |Seiten=162-166}}</ref> und viele weitere [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichnete Dreieckspunkte]] liegen auf der eulerschen Geraden. Für das allgemeine [[Tetraeder]] im dreidimensionalen Raum gibt es den analogen Begriff (s. u.).

== Eigenschaften ==

=== Grundlegende Aussagen ===
In einem Dreieck liegen der Schwerpunkt ''S'', der Höhenschnittpunkt ''H'' und der Umkreismittelpunkt ''U'' auf einer gemeinsamen Geraden, der Euler-Geraden. Da der Mittelpunkt des Feuerbachkreises ''N'' zugleich der Mittelpunkt der Strecke ''HU'' ist, liegt dieser ebenfalls auf der Euler-Geraden. Darüber hinaus gelten für diese vier Punkte die Aussagen <math>|HU| = 3 |SU| = 6 |NS|</math>, <math>|HS| = 4 |NS|</math>, <math>|HN| = 3 |NS|</math>, <math>|NU| = 3 |NS|</math> und <math>|SU| = 2 |NS|</math>.

[[Datei:Euler gerade gleichung.svg|mini|hochkant=1.5|Euler-Gleichung und Feuerbach-Gleichung]]

Für die [[Ortsvektor]]en der vier Punkte S, H, U und N gelten die folgenden Gleichungen:<ref name="Koecher-Krieg" />
*<math>3\vec{S}=\vec{H}+2\vec{U}</math> (''Euler-Gleichung'')
*<math>3\vec{S}=\vec{U}+2\vec{N}</math> (''Feuerbach-Gleichung'')

=== Beweisidee ===

Die Aussagen lassen sich elementargeometrisch begründen durch eine [[zentrische Streckung]] mit dem Zentrum S und dem Streckfaktor <math>-\tfrac{1}{2}</math>. Bei dieser Abbildung werden die Ecken des gegebenen Dreiecks auf die Seitenmittelpunkte abgebildet. Die Höhen gehen in die Mittelsenkrechten über, folglich auch der Höhenschnittpunkt in den Umkreismittelpunkt. Das Bild des Umkreises bezüglich dieser zentrischen Streckung ist der Feuerbachkreis.

=== Sonderfälle ===

In einem [[Gleichschenkliges Dreieck|gleichschenkligen Dreieck]] stimmt die eulersche Gerade mit der zur Basis gehörigen [[Seitenhalbierende]]n ([[Mittelsenkrechte]]n, [[Höhe (Geometrie)|Höhe]], [[Winkelhalbierende]]n) überein. Im Falle eines [[Gleichseitiges Dreieck|gleichseitigen Dreiecks]] kann man nicht mehr von der eulerschen Geraden sprechen, weil dann die drei bestimmenden Punkte ''S'', ''U'' und ''H'' zu einem Punkt zusammenfallen. (Sonst könnte ja ''jede'' Gerade durch diesen einen Punkt als eulersche Gerade aufgefasst werden, was man aber der Eindeutigkeit halber vermeidet.) Ist ein Dreieck [[Rechtwinkliges Dreieck|rechtwinklig]], so stimmt die eulersche Gerade mit der zur [[Hypotenuse]] gehörigen Seitenhalbierenden überein, da sich in diesem Fall die Mittelsenkrechten auf der Hypotenuse schneiden.

=== Weitere Eigenschaften ===

Auf der eulerschen Geraden des Dreiecks ''ABC'' liegt auch der Umkreismittelpunkt <math>X_{26}</math> des [[Tangentendreieck]]s (also des Dreiecks, das von den Tangenten an den Umkreis in den Punkten ''A'', ''B'' und ''C'' gebildet wird).<ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X26 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers |sprache=en |abruf=2025-01-18}}</ref> Darüber hinaus enthält die eulersche Gerade noch weitere ausgezeichnete Punkte des Dreiecks, unter anderem den [[Longchamps-Punkt]] <math>X_{20}</math><ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X20 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers |sprache=en |abruf=2025-01-18}}</ref>, den [[Schiffler-Punkt]] <math>X_{21}</math><ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X21 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers |sprache=en |abruf=2025-01-18}}</ref> und den [[Exeter-Punkt]] <math>X_{22}</math><ref>{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X22 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers |sprache=en |abruf=2025-01-18}}</ref>.

Der Mittelpunkt des [[Inkreis]]es des Dreiecks liegt auf der eulerschen Gerade genau dann, wenn das Dreieck gleichschenklig ist.<ref>{{Literatur |Autor=Allan L. Edmonds, Mowaffaq Hajja, Horst Martini |Titel=Orthocentric Simplices and Biregularity |Sammelwerk=Results in Mathematics |Band=52 |Nummer=1–2 |Datum=2008-08 |ISSN=1422-6383 |DOI=10.1007/s00025-008-0294-4 |Seiten=41–50 |Online=http://link.springer.com/10.1007/s00025-008-0294-4 |Abruf=2019-08-29}}</ref>

== Darstellung ==

In [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] <math>(x : y : z)</math> ausgedrückt, lautet die Gleichung der eulerschen Geraden (gleichwertig)
:<math>(b^2 - c^2) (b^2 + c^2 - a^2) \, x + (c^2 - a^2) (c^2 + a^2 - b^2) \, y + (a^2 - b^2) (a^2 + b^2 - c^2) \, z = 0,</math><ref>{{Internetquelle |autor=Sava Grozdev, Deko Dekov |titel=Barycentric Coordinates: Formula Sheet |url=https://www.journal-1.eu/2016-2/Grozdev-Dekov-Barycentric-Coordinates-pp.75-82.pdf |abruf=2025-01-18}}</ref>
:<math>(\sin(2\gamma) - \sin(2\beta)) \, x + (\sin(2\alpha) - \sin(2\gamma)) \, y + (\sin(2\beta) - \sin(2\alpha)) \, z = 0</math>
oder
:<math>(\tan\gamma - \tan\beta) \, x + (\tan\alpha - \tan\gamma) \, y + (\tan\beta - \tan\alpha) \, z = 0.</math>
Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

== Tetraeder ==
[[Datei:Euler line tetraeder.png|mini|hochkant=1.2|Euler-Gerade (schwarz) eines Tetraeders (grün)]]

Für ein allgemeines Tetraeder <math> \mathcal{T} \subset \R^3 </math> nennt man (in Analogie zum zweidimensionalen Fall des Dreiecks) die '''eulersche Gerade''' oder '''Euler-Gerade''' von <math> \mathcal{T} </math> diejenige Gerade <math> e(\mathcal{T}) \subset \R^3 </math>, welche den [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]] <math> S({\mathcal{T}}) </math> von <math> \mathcal{T} </math> und den [[Mittelpunkt#Mittelpunkte besonderer Kreise|Mittelpunkt]] <math> U({\mathcal{T}}) </math> der [[Umkugel]] von <math> \mathcal{T} </math> verbindet.<ref> {{Literatur |Autor=Nathan Altshiller-Court |Titel=Modern Pure Solid Geometry |Auflage=2. |Verlag=Chelsea Publishing Company |Ort=Bronx NY |Datum=1964 |OCLC=1597161 |Fundstelle=S. 77}}
</ref>

== Literatur ==
* [[Max Koecher]], [[Aloys Krieg]]: ''Ebene Geometrie''. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 162–166
* {{Literatur
|Autor=Nathan Altshiller-Court
|Titel=Modern Pure Solid Geometry
|Auflage=2.
|Verlag=Chelsea Publishing Company
|Ort=Bronx NY
|Datum=1964
|OCLC=1597161}}

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=EulerLine |title=Euler Line}}
* Heinz Theo Lutstorf: [http://e-collection.library.ethz.ch/view/eth:6268 ''Die Euler-Gerade und ihre ursprüngliche Herleitung. Betrachtungen zu Eulers Urtext - eine Studie in klassischer Algebra''. 1. Dezember 2012]

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Dreiecksgeometrie]]
[[Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber]]

Eulersche Gerade - Versionsgeschichte

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